湘教版数学七年级上册第3章一元一次方程.docx

湘教版数学七年级上册第3章一元一次方程.docx

《湘教版数学七年级上册第3章一元一次方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湘教版数学七年级上册第3章一元一次方程.docx（54页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

湘教版数学七年级上册第3章一元一次方程

第3章　一元一次方程

3．1　建立一元一次方程模型

01　　基础题

知识点1　方程及一元一次方程的解

1．下列各式中不是方程的是（C）

A．2x＋3y＝1B．－x＋y＝4

C．3π＋4≠5D．x＝8

2．下列方程中是一元一次方程的是（C）

A．x2＋x＝5B．3x－y＝2

C．2x＝xD.＋1＝0

3．若方程2xa－2－3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝3.

知识点2　方程的解

4．下列方程中，解为x＝2的方程是（D）

A．3x＋3＝xB．－x＋3＝0

C．2x＝6D．5x－2＝8

5．在x＝0，x＝－1，x＝3中，x＝3是方程3x－9＝0的解．

6．检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解，并写出检验过程．

（1）x＝2；　　　

（2）x＝3.

解：

（1）将x＝2代入，

左边＝5×2－2＝8，右边＝7＋2×2＝11，

左边≠右边，

所以x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解．

（2）将x＝3代入，

左边＝5×3－2＝13，右边＝7＋2×3＝13，

左边＝右边，

所以x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解．

知识点3　建立一元一次方程模型

7．设某数是x，若比它的2倍大3的数是8，可列方程为（B）

A．2x－3＝8B．2x＋3＝8

C.x－3＝8D.x＋3＝8

8．一个正方形花圃边长增加2m，所得新正方形花圃的周长是28m，设原正方形花圃的边长为xm，由此可得方程为（D）

A．x＋2＝28B．4x＋2＝28

C．2（x＋2）＝28D．4（x＋2）＝28

9．如图，天平左边放着3个乒乓球，右边放着5.4g的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡．如果设1个乒乓球的质量为xg，请你列出一个含有未知数x的方程：

3x＝x＋5.4．

10．根据下列问题，设未知数并列出方程：

（1）小丽从出版社邮购3本一样的书，包括邮费的总价为37.5元，如果每本书的邮费是2元，那么每本书的价格是多少元？

（2）春运期间，汽车票价上浮20%，小明从南京去上海的票价是84元，求原来的票价；

（3）A、B两袋大米，A袋有50千克，它的比B袋的70%少8千克，B袋有多少千克大米？

解：

（1）设每本书的价格是x元，

则3x＋3×2＝37.5.

（2）设原来的票价为x元，则x＋20%x＝84.

（3）设B袋有x千克大米，则×50＋8＝70%x.

02　　中档题

11．下列方程：

①＝3；②x＝1；③x－π＝2－x；④x2＝3；⑤x＝0；⑥x＋y＝0.其中一元一次方程的个数是（B）

A．2B.3

C．4D．5

12．下列说法中，正确的是（D）

A．x＝－1是方程4x＋3＝0的解

B．m＝－1是方程9m＋4m＝13的解

C．x＝1是方程3x－2＝3的解

D．x＝0是方程0.5（x＋3）＝1.5的解

13．下列根据题意列方程中，错误的是（C）

A．某数x的3倍与5的差等于1，列方程为3x－5＝1

B．比x的一半少3的数是2，列方程为x－3＝2

C．某数x与－5的和等于x的2倍，列方程为x＋5＝2x

D．5与x的的差等于x的，列方程为5－x＝x

14．请写出一个解为x＝－的一元一次方程答案不唯一，如：

x＋＝0．

15．已知y＝1是方程my＝y＋2的解，求m2－3m＋1的值．

解：

把y＝1代入方程my＝y＋2，得m＝3.

当m＝3时，m2－3m＋1＝1.

16．已知方程（m－3）x|m|－2＋4＝m－2是关于x的一元一次方程．

求：

（1）m的值；

（2）写出这个一元一次方程．

解：

（1）依题意，得|m|－2＝1，

解得m＝±3.

又因为m－3≠0，所以m＝－3.

（2）方程为－6x＋4＝－5.

17．在一次植树活动中，甲班植树的株数比乙班多20%，乙班植树的株树比甲班的一半多10株．设乙班植树x株．

（1）列两个不同的含x的代数式，分别表示甲班植树的株数；

（2）根据题意列出含未知数x的方程；

（3）检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株．

解：

（1）根据甲班植树的株树比乙班多20%，得甲班植树的株数为（1＋20%）x.

根据乙班植树的株树比甲班的一半多10株，得甲班植树的株数为2（x－10）．

（2）（1＋20%）x＝2（x－10）．

（3）把x＝25分别代入方程的左边和右边，得

左边＝（1＋20%）×25＝30，

右边＝2×（25－10）＝30.

因为左边＝右边，

所以x＝25是方程（1＋20%）x＝2（x－10）的解．

同理可检验x＝35不是方程的解．

即甲班植树株数是25株，而不是35株．

03　　综合题

18．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：

用水量

收费标准

每户每月用水量

不超过6m3时

0.8元/m3

每户每月用水量超过

6m3时，超过部分

2元/m3

已知某户7月份缴水费8.8元，则该用户7月份的用水量为多少立方米？

（只列方程）

解：

设该用户7月份的用水量是xm3，列方程为0.8×6＋2（x－6）＝8.8.

3.2　等式的性质

01　　基础题

知识点1　等式性质1

1．下列等式变形错误的是（B）

A．若x－1＝3，则x＝4

B．若2x－1＝x，则2x－x＝－1

C．若x－3＝y－3，则x＝y

D．若3x＝2x＋4，则x＝4

2．由等式2x－1＝4可得2x＝5，这是根据等式性质1，等式两边都加上1.

3．由等式a＋＝b＋可得a＝b，这是根据等式性质1，等式两边都减去.

4．判断下列等式变形是否正确，并说明理由．

（1）若a＝b－2，则a－2＝b；

解：

不正确，在等式a＝b－2两边都减去2，所得等式应为a－2＝b－4.

（2）若2x＝3y，则2x＋3y＝6y.

解：

正确，根据等式性质1，在等式2x＝3y两边都加上3y.

知识点2　等式性质2

5．如果用“a＝b”表示一个等式，c表示一个整式，d表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a±c＝b±c”，以下借助符号正确地表示出等式的第二条性质的是（D）

A．a·c＝b·d，a÷c＝b÷d

B．a·d＝b÷d，a÷d＝b·d

C．a·d＝b·d，a÷d＝b÷d

D．a·d＝b·d，a÷d＝b÷d（d≠0）

6．下列变形中，正确的是（D）

A．若2a＝3，则a＝

B．若－2x＝1，则x＝－2

C．若5y＝4，则y＝－1

D．若6a＝2b，则3a＝b

7．若等式x＝y可以变形为＝，则有（C）

A．a＞0B．a＜0

C．a≠0D．a为任意有理数

8．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的．

（1）如果－＝，那么x＝－2y，根据等式性质2，两边都乘－10；

（2）如果－2x＝2y，那么x＝－y，根据等式性质2，两边都除以－2；

（3）如果＝4n，那么m＝12n，根据等式性质2，两边都乘3；

（4）如果x＝4，那么x＝6，根据等式性质2，两边都乘.

9．判断下列等式变形是否正确，并说明理由．

（1）若－x＝y，则x＝－2y；

解：

不正确，在等式－x＝y两边都乘－2，所得等式应为x＝－y.

（2）若3a＝－5b，则a＝－b.

解：

不正确，在等式3a＝－5b两边都除以3，所得等式应为a＝－b.

02　　中档题

10．已知a＝b，则下列等式不成立的是（D）

A．a＋1＝b＋1B．1－a＝1－b

C．3a＝3bD．2－3a＝3b－2

11．（广东中考）已知方程x－2y＋3＝8，则整式x－2y的值为（A）

A．5B．10

C．12D．15

12．下列说法正确的是（B）

A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c

B．在等式a＝b两边都除以c2＋1，可得＝

C．在等式＝两边都除以a，可得b＝c

D．在等式2x＝2a－b两边都除以2，可得x＝a－b

13．如图所示，若将天平左盘中两个等重的物品取下一个，则右盘中取下3个等重的砝码，可使天平仍然平衡．

14．若3x＋2y＝1，则－6x－4y＋2的值等于0.

15．请在括号中写出下列等式变形的理由．

（1）如果3a＋2b＝3b＋2c，那么3a＝b＋2c；

（根据等式性质1，等式两边都减去2b）

（2）如果＝，那么a＝c；

（根据等式性质2，等式两边都乘b）

（3）如果x＝2x＋3，那么－x＝3；

（根据等式性质1，等式两边都减去2x）

（4）如果xy＝1，那么x＝.

（根据等式性质2，等式两边都除以y）

16．已知2x2－3＝5，你能求出x2＋3的值吗？

请说明理由．

解：

能，由2x2－3＝5，得2x2＝5＋3，x2＝4，

所以x2＋3＝4＋3＝7.

17．下面是张铭同学今天做的家庭作业：

问题：

将等式5x－3y＝4x－3y变形．

解：

因为5x－3y＝4x－3y，

所以5x＝4x（第一步）．

所以5＝4（第二步）．

上述过程中，第一步是怎么得到的？

第二步得出错误的结论，其原因是什么？

解：

第一步是两边都加3y，

第二步错误的原因是x＝0时，两边都除以x无意义．

03　　综合题

18．已知a＋2b＝－5，4x－3y＝1，请利用等式性质求2x－4b－（a＋y）－5的值．

解：

原式＝2x－4b－a－y－5

＝（2x－y）－（a＋4b）－5.

由4x－3y＝1，得2x－y＝.

由a＋2b＝－5，得a＋4b＝－10.

故原式＝－（－10）－5

＝5.

3.3　一元一次方程的解法

第1课时　移项、合并同类项

01　　基础题

知识点1　移项

1．下列变形中属于移项的是（C）

A．由2x＝2，得x＝1

B．由＝－1，得x＝－2

C．由3x－＝0，得3x＝

D．由2x－1＝3得2x＝3－1

2．下列移项变形正确的是（D）

A．由2＋x＝3，得x＝2＋3

B．由5x＋1＝2x得5x－2x＝1

C．由3x－3＝2x＋6得3x－2x＝6－3

D．由－3＋5x＝2x得5x－2x＝3

3．把方程9y－3＝4y＋1变形为9y－4y＝1＋3，这种变形称为移项；移项要注意移项要变号，移项的依据是等式性质1．

4．下列移项对不对？

如果不对，应当怎样改正？

（1）从3x＋6＝0得3x＝6；

（2）从2x＝x－1得到2x－x＝1；

（3）从2＋x－3＝2x＋1得到2－3－1＝2x－x.

解：

（1）不对，应为：

3x＝－6.

（2）不对，应为：

2x－x＝－1.

（3）正确．

知识点2　利用移项解一元一次方程

5．方程5x＝1＋4x的解是（C）

A．x＝－5B．x＝－1

C．x＝1D．x＝2

6．（咸宁中考）若代数式x＋4的值是2，则x等于（B）

A．2B．－2

C．6D．－6

7．解方程6x＋90＝－10x＋26的步骤是：

①移项，得6x＋10x＝26－90；

②合并同类项，得16x＝－64；

③两边都除以16，得x＝－4.

8．解下列方程，并检验．

（1）3x＋9＝6；

解：

移项，得3x＝6－9，

合并同类项，得3x＝－3.

两边都除以3，得x＝－1.

检验：

把x＝－1代入原方程的左边，

左边＝3×（－1）＋9＝6，

右边＝6，

左边＝右边，

因此，x＝－1是原方程的解．

（2）3x－2＝2x＋1；

解：

移项，得3x－2x＝1＋2，

合并同类项，得x＝3.

检验：

把x＝3分别代入原方程的左、右两边，

左边＝3×3－2＝7，

右边＝2×3＋1＝7，

左边＝右边，

因此，x＝3是原方程的解．

（3）7x－19＝2x－4；

解：

移项，得7x－2x＝－4＋19，

合并同类项，得5x＝15，

两边都除以5，得x＝3.

检验略．

（4）x－3＝5x＋2.

解：

移项，得x－5x＝2＋3，

合并同类项，得－4x＝5，

两边都除以－4，得x＝－.

检验略．

02　　中档题

9．解方程3x＋5＝2x－3时，移项正确的是（C）

A．3x＋2x＝－3－5B．3x－2x＝－3＋5

C．3x－2x＝－3－5D．5－2x＝－3－3x

10．解方程4x－2＝3－x，正确的步骤是（C）

①合并同类项，得5x＝5；

②移项，得4x＋x＝3＋2；

③两边都除以5，得x＝1.

A．①②③B．③②①

C．②①③D．③①②

11．当m＝________时，方程2x＋m＝x＋1的解为x＝－4（B）

A．4B．5

C．6D．7

12．如果5m＋与m＋互为相反数，那么m的值为－.

13．小华同学在解方程5x－1＝□x＋3时，发现“□”处的数字模糊不清，但查看答案可知解为x＝2，则“□”处的数字是多少？

解：

设“□”处的数字为a，把x＝2代入方程，得

10－1＝2a＋3，解得a＝3.

14．已知x＝2是方程3x－a＝x＋1的解，试求代数式a＋5的值．

解：

把x＝2代入方程3x－a＝x＋1，得

6－a＝2＋1，

两边同时减去6，得－a＝－3，

两边同时除以－1，得a＝3，

当a＝3时，a＋5＝3＋5＝8.

15．若－2x2m＋1y5与3x5y2n－1是同类项，求mn的值．

解：

由－2x2m＋1y5与3x5y2n－1是同类项，得

2m＋1＝5，2n－1＝5，

解得m＝2，n＝3.mn＝23＝8.

16．我们定义一种新运算：

a*b＝2a－b＋ab（等号右边为通常意义的运算）：

（1）计算2*（－3）的值；

（2）解方程：

3*x＝*x.

解：

（1）由题意，得

2*（－3）＝2×2－（－3）＋2×（－3）＝1.

（2）6－x＋3x＝1－x＋x，解得x＝－2.

03　　综合题

17．有一列数，按一定规律排成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某三个相邻数的和是5103，求这三个数中最小的数．

解：

设第一个数为x，依题意，得

x－3x＋9x＝5103，

所以x＝729，所以－3x＝－2187.

所以最小的数为－2187.

第2课时　去括号

01　　基础题

知识点1　去括号

1．将－2（x－1）去括号，得（C）

A．－2x－1B．－2x－2

C．－2x＋2D．2x＋2

2．解方程3－（x＋6）＝－5（x－1）时，去括号的结果是（B）

A．3－x＋6＝－5x＋5B．3－x－6＝－5x＋5

C．3－x＋6＝－5x－5D．3－x－6＝－5x＋1

3．将多项式2（x＋2）－3（－4x＋2）去括号得2x＋4＋12x－6，合并得14x－2．

知识点2　利用去括号解一元一次方程

4．方程3（x－1）＝的解是（A）

A．x＝B．x＝－

C．x＝D．x＝－

5．（大连中考）方程3x＋2（1－x）＝4的解是（C）

A．x＝B．x＝

C．x＝2D．x＝1

6．若2（x－3）与1－3x的值相等，则x的值为（A）

A.B.

C．5D.

7．方程3（x＋4）＝x的解是x＝－6．

8．当x＝10时，代数式3（x－2）与2（2＋x）的值相等．

9．解方程：

5（x－4）－3（2x＋1）＝2（1－2x）－1.

解：

去括号，得5x－20－6x－3＝2－4x－1，

移项，得5x－6x＋4x＝2－1＋20＋3，

合并同类项，得3x＝24，

两边都除以3，得x＝8.

10．解下列方程：

（1）2（3x－2）－5x＝0；

解：

去括号，得6x－4－5x＝0，

移项，得6x－5x＝0＋4，

合并同类项，得x＝4.

（2）8y－3（3y＋2）＝－5；

解：

去括号，得8y－9y－6＝－5，

移项，得8y－9y＝－5＋6，

合并同类项，得－y＝1，

两边都除以－1，得y＝－1.

（3）3x－2（10－x）＝5；

解：

去括号，得3x－20＋2x＝5，

移项，得3x＋2x＝5＋20，

合并同类项，得5x＝25，

两边都除以5，得x＝5.

（4）2x－4（x＋3）＝－5x＋3.

解：

去括号，得2x－4x－12＝－5x＋3，

移项，得2x－4x＋5x＝3＋12，

合并同类项，得3x＝15，

两边都除以3，得x＝5.

02　　中档题

11．解方程4（x－1）－x＝2（x＋）的步骤如下：

（1）去括号，得4x－4－x＝2x＋1；

（2）移项，得4x＋x－2x＝4＋1；（3）合并同类项，得3x＝5；（4）两边都除以3，得x＝，其中错误的一步是（B）

A．

（1）B．

（2）

C．（3）D．（4）

12．当x＝－7时，代数式3x＋1的值与代数式2（3－x）的值互为相反数．

13．解下列方程：

（1）3（x＋1）＝5（2x－2）－1；

解：

x＝2.

（2）3（2y＋1）＝2（1＋y）＋3（y＋3）；

解：

y＝8.

（3）5（2x＋1）－3（22x＋11）＝4（6x＋3）；

解：

去括号，得10x＋5－66x－33＝24x＋12，

移项，得10x－66x－24x＝12－5＋33，

合并同类项，得－80x＝40，

两边都除以－80，得x＝－.

（4）5（x－4）－3（2x＋1）＝2（1－2x）－16.

解：

去括号，得5x－20－6x－3＝2－4x－16，

移项，得5x－6x＋4x＝2－16＋20＋3，

合并同类项，得3x＝9，

两边都除以3，得x＝3.

14．当x为何值时，代数式3x－1的值是代数式7＋4x的值的5倍？

解：

根据题意，得3x－1＝5（7＋4x）．

解得x＝－.

15．若方程2（2x－1）＝3x＋1与方程m＝x－1的解相同，求m的值．

解：

由2（2x－1）＝3x＋1，解得x＝3，

把x＝3代入m＝x－1，得m＝3－1＝2.

16．小明解关于y的一元一次方程3（y＋a）＝2y＋4，在去括号时，将a漏乘了3，得到方程的解是y＝3.

（1）求a的值；

（2）求该方程正确的解．

解：

（1）由题意，得y＝3是方程3y＋a＝2y＋4的解，所以3×3＋a＝2×3＋4，解得a＝1.

（2）由

（1）得a＝1，所以原方程为3（y＋1）＝2y＋4，解得y＝1.

故该方程正确的解是y＝1.

03　　综合题

17．在解方程3（x＋1）－（x－1）＝2（x－1）－（x＋1）时，我们可以将（x＋1）、（x－1）各看成一个整体，进行移项、合并同类项，得（x＋1）＝（x－1），再去分母得3（x＋1）＝2（x－1），进而求解，这种方法叫做整体求解法．请你用这种方法解方程：

5－（2x＋3）－（x－2）＝2（x－2）－（2x＋3）．

解：

5－（2x＋3）－（x－2）＝2（x－2）－（2x＋3）．

5－（2x＋3）＋（2x＋3）＝2（x－2）＋（x－2）．

5－（2x＋3）＝（x－2）．

20－2（2x＋3）＝11（x－2）．

20－4x－6＝11x－22.

－15x＝－36.

x＝.

第3课时　去分母

01　　基础题

知识点1　去分母

1．解方程－1＝，去分母时，方程两边都应乘（B）

A．10B．12C．24D．6

2．方程＋10＝k去分母正确的是（D）

A．1－k＋10＝kB．1－k＋10＝6k

C．1＋k＋10＝6kD．1－k＋60＝6k

3．方程－＝1去分母后所得的结果是3（3x＋1）－（x－1）＝6.

知识点2　利用去分母解一元一次方程

4．方程－＝1的解是（D）

A．x＝B．x＝－

C．x＝D．x＝－

5．解方程：

－＝1－.

解：

①去分母，方程两边同乘12，得

4（3x－4）－3（x－1）＝12－（x－1）．

②去括号，得12x－16－3x＋3＝12－x＋1．

③移项，得12x－3x＋x＝12＋1＋16－3.

④合并同类项，得10x＝26．

⑤两边都除以10，得x＝．

6．当x＝－时，与互为相反数．

7．解方程：

（1）＝；

解：

去分母，得4（2x－1）＝3（x＋2），

去括号，得8x－4＝3x＋6，

移项，得8x－3x＝6＋4，

合并同类项，得5x＝10，

两边都除以5，得x＝2.

（2）－＝1；

解：

去分母，得3（x＋2）－2（2x－3）＝12，

去括号，得3x＋6－4x＋6＝12，

移项合并同类项，得－x＝0，

系数化为1，得x＝0.

（3）＝1－.

解：

去分母，得2（1－2x）＝6－（x＋2），

去括号，得2－4x＝6－x－2，

移项，得－4x＋x＝6－2－2，

合并同类项，得－3x＝2，

两边都除以－3，得x＝－.

02　　中档题

8．解方程－＝1，去分母得到8x－4－3x＋3＝1，这个变形（B）

A．分母的最小公倍数找错了

B．漏乘了不含分母的项

C．分子中的多项式没有添括号，符号不对

D．无错误

9．解方程（y－1）＝，下列几种解法中，较简便的是（D）

A．先方程两边同乘6

B.先方程两边同乘5

C．括号内先通分

D.先去括号，再移项

10．若关于x的一元一次方程－＝1的解是x＝－1，则k的值是（B）

A．27B．1

C．－D．0

11．把方程－＝1中的分母化为整数，正确的是（D）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝10D.－＝1

12．如果比的值大1，那么a＝5．

13．解下列方程：

（1）－2·＝1；

解：

x＝－10.

（2）＝1－；

解：

x＝1.

（3）＝－；

解：

y＝.

（4）x－＝2－；

解：

x＝.

（5）5%x＋4%（500－x）＝23.5.

解：

x＝350.

14．某同学在解方程＝－2去分母时，方程右边的－2没有乘3，因而求得的方程的解为x＝2，试求a的值，并求出原方程的正确的解．

解：

根据该同学的做法，

去分母，得2x－1＝x＋a－2.

解得x＝a－1.

因为x＝2是方程的解，所以a＝3.

把a＝3代入原方程，得＝－2.

解得x＝－2.

03　　综合题

15．一工程甲队独做30天完成，乙队独做20天完成，现由甲队独做10天后，再和乙队合做，还需多少天才能完成？

解：

设还需要x天才能完成，根据题意，列方程得

＋（＋）x＝1.

解得x＝8.

答：

还需8天才能完成．

小专题（五）　一元一次方程的解法

1．解下列方程：

（1）3x－5＝2x；

解：

3x－2x＝5，

x＝5.

（2）x＝x＋；

解：

x－x＝，

x＝.

（3）0.5y－0.7＝6.5－1.3y；

解：

0.5y＋1.3y＝0.7＋6.5，

1．8y＝7.2，

y＝4.

（4）4x－3（20－2x）＝10；

解：

4x－60＋6x＝10，

4x＋6