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数量关系李委明

数学运算

第01讲直接代入

一、题型评述

数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。

很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当容易。

“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时最大的误区之一。

二、破题密钥

“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。

这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果，还可以与其它方法进行结合使用。

三、例题精析

【例1】（深圳2013-47）小王的旅行箱密码为3位数，且三个数字全是非0的偶数，而且这个三位数恰好是小王今年年龄的平方数。

则小王今年（）岁。

A.17B.20C.22D.34

【例2】（浙江2013-50）某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果，其中苹果和柚子共30吨，香蕉、柚子和梨共50吨。

柚子占水果总数的1/4。

一共运来水果多少吨？

（）

A.56吨B.64吨C.80吨D.120吨

【例3】（江苏2013B-91）三位数A除以51，商是a（a是正整数），余数是商的一半，则A的最大值是

A.927B.928C.929D.990

【例4】（山东2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是48个。

问甲仓库原来有多少个集装箱？

A.33B.36C.60D.63

【例5】（河北2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。

有大、中、小三个假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。

现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：

第一次是第二次的1/3，第三次是第二次的2倍。

问三个假山的体积之比是（）。

A.1∶3∶5B.1∶4∶9C.3∶6∶7D.6∶7∶8

第02讲倍数特性

一、题型评述

“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。

这种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。

熟练运用本方法最关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。

二、破题密钥

①2、4、8整除及余数判定基本法则

1.一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（__________或5）整除；

2.一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；

3.一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。

②3、9整除及余数判定基本法则

1.一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；

2.一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除。

③7整除判定基本法则

1.一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；

2.一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。

【示例】∵362末一位“2”的2倍与“36”差“32”不能被7整除∴362不能被7整除

【示例】∵12047末三位“047”与“12”差“35”能被7整除∴12047能被7整除

④11整除判定基本法则

1.一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11的倍数；

【示例】∵7394奇数位之和“7+9＝16”与偶数位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是11的倍数∴7394不能被11整除

三、例题精析

●题型一：

直接倍数

【例1】（上海2011A-61）某人共收集邮票若干张，其中1/4是2007年以前的国内外发行的邮票，1/8是2008年国内发行的，1/19是2009年国内发行的，此外尚有不足100张的国外邮票。

则该人共有（）张邮票。

A.87B.127C.152D.239

【例2】（2011年424联考-43）某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。

凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?

（）

A.9B.12C.15D.18

●题型二：

因子倍数

【例3】（北京2014-75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。

则两个工厂每天共能生产多少个零件？

A.400B.420C.440D.460

【例4】（2012年421联考－61）某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：

甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：

（）

A.140万元B.144万元C.98万元D.112万元

●题型三：

比例倍数核心提示

若a:

b=m:

n（m,n互质），则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a+b占m+n份，是m+n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。

【例5】（广州2013-26）少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有90人，美术和舞蹈专业的学生比例为2∶3，舞蹈和唱歌专业的学生比例为3∶4,则学生人数最多的专业有多少人？

A.25B.30C.35D.40

【例6】（2012年915联考－49）甲、乙两种商品的价格比是3∶5，如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（）。

A.300元500元B.375元625元

C.450元750元D.525元875元

第03讲化归为一

一、题型评述

如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果的时候，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计算。

这种方法又被为“设1法”或者“设1思想”。

我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。

二、破题密钥

在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分数，简化计算。

三、例题精析

【例1】（重庆2013-90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯中盐水的质量是乙杯的2倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的1/2，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯浓度的多少倍？

（）

A.3/2B.4/3C.6/5D.7/6

核心提示使用“化归为一法”时，大家最大的困惑是：

什么样的量可以随便设，什么样的量不行？

总的来说，当某类量的大小在题目中无关重要时，便可以随便设为一个方便计算的数字，这样的量一般需要满足两个条件：

1.首先，这类量在题目中没有提及具体数字大小；2.其次，这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。

上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。

譬如在行程问题中，我想假设某人的速度为1，那么就必须依次满足两个条件：

1.题目中没有提及任何速度的具体数字大小；2.题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，是可以计算出速度具体大小的。

当题目中只有路程或者时间有具体大小时，我们假设一个速度为1或者其他数字，就不会影响结果。

同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数和总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为1，或者假设总价为1，但不能同时做这两件事情。

【例2】（江苏2013A-33）现需购买三种调料加工成一种新调料，三种调料价格分别为每千克20元、30元、60元。

如果购买这三种调料所花钱一样多，则每千克调料的成本是

A.30元B.35元C.40元D.60元

【例3】（河北2013-48）小王收购了一台旧电视机，然后转手卖出，赚取了30%的利润。

1个月后，客户要求退货，小王和客户达成协议，以当时交易价格的90%回收了这台电视机，后来小王又以最初的收购价格将其卖出。

问小王在这台电视机交易中的利润率为（）。

A.13%B.17%C.20%D.27%

【例4】（新疆2013-44）甲和乙两家高科技公司合并，持有甲公司30%股份的陈先生在合并后持有新公司股份的12%，赵先生拥有甲公司15%的股份和乙公司5%的股份，他在合并后的公司中拥有多少比例的股份？

（）

A.9%B.10%C.11%D.12%

【例5】（广州2013-30）某社区服务中心每个月均对居民进行“社区工作满意度”调查。

经对比发现，2月份的居民满意度是85分，比1月份上升了20%，3月份的居民满意度又比2月份下降了20%。

则3月份的居民满意度和1月份相比（）。

A.两个月持平B.3月份比1月份高4%

C.1月份比3月份高4%D.3月份比1月份低4%

【例6】（贵州2012－40）某调查队男、女队员的人数比是3∶2，分别为甲、乙、丙三个调查小组。

已知甲、乙、丙三组的人数比是10∶8∶7，甲组中男、女队员的人数比是3∶1，乙组中男、女队员的人数比是5∶3，则丙组中男、女队员的人数比是（）。

A.4∶9B.5∶9C.4∶7D.5∶7

第04讲比例假设

一、题型评述

我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。

然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法”。

二、破题密钥

尽管假设数字可能会与已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设其为某一个数字，然后看看推出的矛盾双方之间是几倍关系，按比例放大或者缩小即可。

三、例题精析

【例1】（广东2012－8）某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝每小时为52名男员工35名女员工量体。

几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还有24名男员工没有量体。

若男女员工的比例为11:

7，则该企业共有多少名员工？

（）

A.720B.810C.900D.1080

【例2】（北京2012-75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54元。

问该商品原来的售价是多少元？

A.324B.270C.135D.378

【例3】（上海2013A-60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：

大型车30元/辆、中型车15元/辆、小型车10元/辆。

某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是5∶6，中型车与小型车的数量比是4∶11，小型车的通行费总数比大型车的多270元，这天的收费总额是（）。

A.7280元B.7290元

C.7300元D.7350元

【例4】（江苏2013B-87）甲乙丙三人同去商城购物，甲花的钱的1/2等于乙花的钱的1/3，乙花的钱的3/4等于丙花的钱的4/7，结果丙比甲多花93元，则三人一共花的钱是（）？

A.432元B.422元C.429元D.430元

【例5】（浙江2013-57）一个总额为100万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来完成，甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为1/2:

1/3:

1/4:

1/6，请问甲分到的项目额为多少万？

（）

A.35万B.40万C.45万D.50万

第05讲工程问题

一、题型评述

工程问题研究工作量和工作时间、工作效率之间的关系，是近年来考题中最重要、最常考的重点题型之一。

二、破题密钥

基础公式：

工作量=工作时间⨯工作效率；

核心思想：

化归为一法（设“1”法）、比例假设法。

三、例题精析

●题型一：

基础计算型

【例1】（天津2013-9）某项工程计划300天完工，开工100天后，由于施工人员减少，工作效率下降了20%，问完成该项工程比原计划推迟了多少天？

（）

A.40B.50C.60D.70

【例2】（安徽2011-9）某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完成一项生产任务。

如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。

如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少小时完成？

（）

A.1.4B.1.8C.2.2D.2.6

●题型二：

同时合作型

【例3】（重庆2013-99）甲、乙、丙三人共同完成一项工程用了6小时，如果甲与乙的效率之比为1∶2,乙与丙的效率之比为3∶4，则乙单独完成这项工程需要多少小时？

（）

A.10B.17C.24D.31

【例4】（山东2013-61）2台大型收割机和4台小型收割机在一天内可收完全部小麦3/10，8台大型收割机和10台小型收割机在一天内可收完全部小麦。

如果单独用大型收割机和单独用小型收割机进行比较，要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用多少台?

A.8B.10C.18D.20

●题型三：

交替合作型核心提示“交替合作型”工程问题，是最新考查的重点题型，也是考生易错的难点题型。

由于合作的“交替性”，不能简单的使用基础公式进行计算，而要注重其工作的“周期性”。

【例5】（2010年425联考-94）单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间?

（）

A.13小时40分钟B.13小时45分钟C.13小时50分钟D.14小时

●题型四：

撤出加入型

【例6】（四川2013-60）建筑公司安排100名工人去修某条路，工作2天后抽调30名工人，又工作了5天后再抽走20名工人，总共用时十二天修完。

如果整条路希望在10天内修完，且中途不得增减人手，则要安排多少名工人?

A.80B.90C.100D.120

●题型五：

两项工程型

【例7】（国考2014-75）甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。

已知甲队单独完成A项目需13天，单独完成B项目需7天；乙队单独完成A项目需11天，单独完成B项目需9天。

如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务？

（）

A.1/12天B.1/9天C.1/7天D.1/6天

第06讲十字交叉

一、题型评述

“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧，对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”的效果。

二、破题密钥

“十字交叉法”实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化：

很多考生疑惑哪种题型可以使用十字交叉法，并且不知道得到的比例是哪两个量的比例，这时，可以列出上面形式的式子来判断。

当然这是平时就要积累的，如果考场之上无法判断的话，就不建议使用这种方法，直接列方程更快更准确。

三、例题精析

【例1】（山东2013-60）某单位共有职工72人,年底考核平均分数为85分,根据考核分数,90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少？

A.12B.24C.30D.42

核心提示当我们使用“十字交叉法”的时候，有一点技巧非常重要，那就是当我们计算得到比例之后，应该如何算得最后的实际数值。

譬如上例中，我们得到比例为5：

7，然后就需要跟原题中的实际数字去对照：

如果原

题中告诉我们优秀员工是

15个，正好是5的3倍，那么就把5:

7这个比例的分子、分母同时乘以3，得到15：

21；如果原题中告诉我们其他员工是56个，正好是7的8倍，那么就把5：

7这个比例的分子、分母同时乘以8，得到40：

56；而事实上，原题给的是这两者之和为72，5：

7这个比例分子、分母之和为12，是72的六分之一，所以应该把5：

7这个比例的分子、分母同时乘以6，得到30：

42，两个数字分别就是这两个部分的实际数字。

【例2】（甘肃2013-26）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高20%，则乙商品提价后为多少元？

（）

A.40B.60C.36D.84

【例3】（江苏2013B-90）有100克溶液，第一次加入20克水，溶液的浓度变成50%；第二次再加入80克浓度为40%的同种溶液，则溶液的浓度变为？

（）

A.45%B.47%C.48%D.46%

【例4】（上海2013A-63）某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元。