（3）当a<0时，幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数．在第一象限内，
当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋
于+∞时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。
指出：
此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，
当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0，1）要除外。
思考讨论：
（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？
（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？
讲评：
（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。
对数函数的性质
（1）当a＞1时，
①x＞0，即0和负数无对数；
②当x=1时，y=0；
③当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0；
④在（0，+∞）上是增函数．
（2）当0＜a＜1时，
①x＞0，即0和负数没有对数；
②当x=1时，y=0；
③当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；
④在（0，+∞）上是减函数．
函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理数n的情况）．
对数与对数函数
学习目标
1、理解对数概念；
2、能进行对数式与指数式的互化；
3、掌握对数的运算性质；
4、培养应用意识、化归意识。
5、掌握对数函数的概念；
6、掌握对数函数的图像的性质；
7、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；
8、培养图形结合、化归等思想。
知识要点:
我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算。
1．对数的定义:
如果ab=N（a>0，且a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作:
logaN=b。
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
注意:
由于a>0，故N>0，即N为正数，可见零和负数没有对数。
上面的问题:
通常将以10为底的对数叫做常用对数，。
以e为底的对数叫做自然对数，。
2．对数式与指数式的关系
由定义可知:
对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。
它们的关系可由下图表示。
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。
3．三个对数恒等式
由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。
在（a>0，a≠1）前提下有:
4.三个运算法则:
指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。
在a>0，a≠1的前提下有:
（1）
令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，
∵，∴m+n=loga（MN），即
（2），
令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，
∵，∴，即。
（3），令am=M，则有m=logaM，∴mn=n
∵Mn=amn，∴mn=（n∈R），∴n=。
5．两个换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:
（1）
令logaM=b，则有ab=M，（ab）n=Mn，即，即，即:
。
（2），令logaM=b，则有ab=M，则有
即，即，即
当然，细心一些的同学会发现
（1）可由
（2）推出，但在解决某些问题
（1）又有它的灵活性。
而且由
（2）还可以得到一个重要的结论:
例题选讲:
第一阶梯
[例1]将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：
（1）log216=4； （3）54=625；
解：
（1）24=16
（3）∵54=625，∴log5625=4.
[例2]解下列各式中的x：
（3）2x=3；
（4）log3（x-1）=log9（x+5）.
解：
（3）x=log23.
（4）将方程变形为
[例3]求下列函数的定义域：
思路分析：
求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。
解：
（1）令x2-4x-5>0，得（x-5）（x+1）>0，故定义域为{x|x<-1，或x>5}
∴0<4x-3≤1。
所以所求定义域为{x|-1<0，或0
第二阶梯
[例4]比较下列各组数中两个值的大小
（1），；
（2）log0.31.8，；
（3），（a>0，a≠1）。
思路分析：
题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=、y=logax的两函数值，可由对数函数的单调性确定。
解：
（1）因为底数2>1，所以对数函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，于是<；
（2）因为底数为，又0<<1，所以对数函数y=在（0，+∞）上是减函数，于是log0.31.8>；
（3）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，所以<；
当0。
说明：
本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。
[例5]若a>0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是（）
（1）logax·logay=loga（x+y）；
（2）logax-logay=loga（x-y）；
（4）logaxy=logax·logay；
A、0 B、1 C、2 D、3
思路分析：
对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。
在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。
如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体。
4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。
答案：
A
[例6]已知lg2=，lg3=，求。
思路分析：
解本题的关键是设法将的常用对数分解为2，3的常用对数代入计算。
解：
第三阶梯
[例7]若方程lg（ax）·lg（ax2）=4的所有解都大于1，求a的取值范围。
思路分析：
由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。
解：
原方程化为
（lgx+lga）（lga+2lgx）=4。
2lg2x+3lga·lgx+lg2a-4=0，
令t=lgx，则原方程等价于
2t2+3tlga+lg2a-4=0，（*）
若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解均大于0，则
说明：
换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。
[例8]将y=2x的图像（）
A、先向左平行移动1个单位
B、先向右平行移动1个单位
C、先向上平行移动1个单位
D、先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2（x+1）的图像。
思路分析：
由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。
解法1：
在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2（x+1）的图像，直接观察，即可得D。
解法2：
与函数y=log2（x+1）的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位。
解法3：
本身。
函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过（0，0）点，因此排除A、B、C，即得D。
说明：
本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。
[例9]已知log189=a，18b=5，求log3645的值；（用含有a、b的式子表示）
思路分析：
当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算（扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算）。
因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。
解：
由18b=5，得b=log185，又log189=a，∴log189+log185=log3645=a+b，则
说明：
在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用。
详细题解
1．求值:
（1）
（2） （3）
解:
（1）。
（2）
（3）
注意:
lg2=log102，此为常用对数，lg22=（lg2）2，区别于。
2．求值:
（1）
（2）（3）
解:
（1）
（2）。
（3）法一：
法二：
注意:
运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。
（3）的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。
3．已知:
log23=a，log37=b，求:
log4256=?
解:
∵，∴，
4．已知:
a2+b2=7ab，a>0，b>0。
求证:
。
证明:
∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即（a+b）2=9ab，∴lg（a+b）2=lg（9ab），
∵a>0，b>0，∴2lg（a+b）=lg9+lga+lgb，∴2[lg（a+b）-lg3]=lga+lgb
即
5.已知:
求证:
3ab-bc-2ac=0。
证明:
设，则:
，
，
∵，∴3ab=bc+2ac，
即3ab-bc-2ac=0。
6．求值:
解:
另解:
设=m（m>0），∴，
∴，∴，
∴lg2=lgm，∴2=m，即。
课后练习:
1． 2．
3．
4．已知:
x·log34=1，求:
的值。
5．已知:
lg2=a，lg3=b，求:
log512的值。
参考答案:
1.- 2.- 3. 4. 5.
对数函数的性质及应用
概念与规律:
1．对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，在学习对数函数的概念，图象与性质时，要处处与指数函数相对照。
2．在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴。
（见图1）
例1．求下列函数的定义域。
（1）y=
（2）y=ln（ax-k·2x） （a>0且a≠1，k∈R）
解:
（1）因为，所以，
所以函数的定义域为（1，）（，2）。
（2）因为ax-k·2x>0，所以（）x>k。
10，当k≤0时，定义域为R；
20，当k>0时，（i）若a>2，则函数定义域为（k，+∞）；
（ii）若0，且a≠1，则函数定义域为（-∞，k）；
（iii）若a=2，则当0时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为。
例2．若>（m，n>0，且m≠1，n≠1），试比较m，n的大小。
解:
（1）当m>1，n>1时，∵＞1，由对数函数性质:
当底数和真数都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，∴n>m>1。
（2）当m>1，0时，∵>0，<0，∴0也是符合题意的解。
（3）当0，0时，∵＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0。
综上所述，m，n的大小关系有三种:
1或0或0。
例3．作出下列函数的图象:
（1）y=lgx，y=lg（-x），y=-lgx
（2）y=lg|x| （3）y=-1+lgx
解:
（1）如图2；
（2）如图3； （3）如图4。
例4．函数y=f（2x）的定义域为[-1，1]，求y=f（log2x）的定义域。
提示:
由-1≤x≤1，可得y=f（x）的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f（log2x）的定义域为[，4]。
例5．求函数y=（-x2+2x+3）的值域和单调区间。
解:
设t=-x2+2x+3，则t=-（x-1）2+4，∵y=t为减函数，且0≤4，
∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞）。
再由:
函数y=（-x2+2x+3）的定义域为-x2+2x+3>0，即-1。
∴t=-x2+2x+3在（-1，1）上递增而在[1，3）上递减，而y=t为减函数。
∴函数y=（-x2+2x+3）的减区间为（-1，1），增区间为[1，3）。
例6．已知f（x）=ax-a-x（其中0。
（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；
（2）试判断函数f-1（x）的奇偶性，并证明你的结论。
解:
（1）设y=ax-a-x，则a2x-yax-1=0，∵ax>0，解得ax=，∴x=loga，
∴所求函数的反函数f-1（x）=loga（x∈R）。
（2）∵x∈R且f-1（-x）=loga=loga=loga（）-1=-f-1（x）。
∴函数f-1（x）是奇函数。
例7．已知f（logax）=（a>0且a≠1），试判断函数f（x）的单调性。
解:
设t=logax（x∈R+，t∈R）。
当a>1时，t=logax为增函数，若t1 ∴f（t1）-f（t2）=，
∵01，∴f（t1） 当0时，同理可得f（t）在R上为增函数。
∴不论a>1或0，f（x）在R上总是增函数。
例8．已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）。
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围。
分析:
与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。
f（x）的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题。
f（x）的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f（x）取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图5，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是。
解:
（1）f（x）的定义域为R，即:
关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有 a>1。
∴a的取值范围为a>1。
（2）f（x）的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，
∴a的取值范围为0≤a≤1。
例9．已知函数h（x）=2x（x∈R），它的反函数记作g（x），A、B、C三点在函数g（x）的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8（a>1），记ΔABC的面积为S。
（1）求S=f（a）的表达式；
（2）求函数f（a）的值域；
（3）判断函数S=f（a）的单调性，并予以证明；（4）若S>2，求a的取值范围。
解:
（1）依题意有g（x）=log2x（x>0），并且A、B、C三点的坐标分别为A（a，log2a），B（a+4，log2（a+4）），C（a+8，log2（a+8））（a>1），如图6。
∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2（a+8）〕
∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2（a+4）-2log2a-2log2（a+8）。
（2）把S=f（a）变形得:
S=f（a）=2〔2log2（a+4）-log2a-log2（a+8）〕=2log2=2log2（1+）。
由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，
∴0<2log2（1+）<2log2，即0 （3）S=f（a）在定义域（1，+∞）上是减函数，证明如下:
任取a1，a2，使1 （1+）-（1+）=16（）=16·，
由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，
∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，于是可得f（a1）>f（a2）
∴S=f（a）在（1，+∞）上是减函数。
（4）由S>2，即得，解之可得:
1 课外练习:
1．已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是______。
2．已知函数f（x）=loga（a>0且a≠1，b<0）。
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）指出f（x）的单调区间；（4）求函数f（x）的反函数。
3．已知函数f（x）=lg（x+）-lg2，证明:
（1）f（x）的图象关于原点对称；
（2）f（x）为单调函数。
4．已知关于x的方程log2（x+3）-log4x2=a的解在区间（3，4）内，求实数a的取值范围。
参考答案:
1．（1，2）
2.
（1）（-∞，）（-，+∞）
（2）奇函数
（3）a>1时，f（x）在（-∞，），（-，+∞）上都是增函数，
0时，f（x）在（-∞，），（-，+∞）上都是减函数。
（4）f-1（x）=（x≠0，x∈R）。
3.
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）证明f（x）为R上的增函数。
4．log2。
专题辅导
对数与对数函数
1．本单元重、难点分析
1）重点：
对数的定义；对数的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。
2）难点：
对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。
2．典型例题选讲
例1．已知log23=a，3b=7，求log1256的值。
讲解：
先将3b=7转化为log37=b，然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式，即可求值。
[解法1]∵log23=a，∴2a=3。
又3b=7，∴7=（2a）b=2ab，故56=23+ab。
又12=3·4=2a·4=2a+2。
从而56=，故log1256=log12。
[解法2]∵log23=a，∴log32=，又3b=7，∴log37=b，从而
log1256=。
[解法3]∵log23==a，∴lg3=alg2，又3b=7，∴lg7=blg3，∴lg7=ablg2。
从而log1256=。
说明：
解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。
例2．已知loga3>logb3>0，则a，b，1的大小关系是_______。
讲解：
由对数函数的性质可知，a>1，b>1，关键是判断a与b的大小，这可以利用对数函数的单调性来解决。
[解法1]由loga3>logb3>0>0log3b>log3a>0log3b>log3a>log31。
∵y=log3x是增函数，故b>a>1。
[解法2]由loga3>logb3>0>0。
∵lg3>0，∴lga>0，lgb>0，
∴上式等价于>0lgb>lga>0lgb>lga>lg1。
∵y=lgx是增函数，故b>a>1。
[解法3]分别作出y=logax与y=logbx的图象，然后根据图象特征进行推断。
∵loga3>logb3>0，∴a>1，b>1，故y=logax与y=logbx均为增函数。
又∵loga3>logb3>0，∴当x>1时，y=logax的图象应在y=logbx图象的上方，如图所示。
根据对数函数的图象分布规律，可知：
b>a>1。
说明：
解法1利用了logab与logba互为倒数，转化为同底的对数，再利用单调性判断。
解法2利用了换底公式。
解法3利用了图象的特征。
3．容易产生的错误
1）对数式logaN=b中各字母的取值范围（a>0且a≠1，N>0，b∈R）容易记错。
2）关于对数的运算法则，要注意以下两点：
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