全等三角形中做辅助线技巧要点大归纳.docx
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全等三角形中做辅助线技巧要点大归纳
全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总
口诀:
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：
a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线;
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下
考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件
r与角有关的辅助线
（—）、截取构全等
如图1-1，/AOC=zBOC，如取0E=0F,并连接DE、DF，贝U有△OED◎△
OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1.如图1-2,AB//CD，BE平分/BCD，
CE平分/BCD，点E在AD上，求证：
BC=A
B+CDo
例2.已知：
如图1-3，AB=2AC，ZBAD=/CAD，DA=DB，求证DC1AC
例3.已知：
如图1-4，在AABC中,ZC=2ZB,AD平分ZBAC，求证：
AB-
AC=CD
分析：
此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？
练习
已知在Z\ABC中，AD平分ZBAC，ZB=2/C，求证：
AB+BD=AC
已知：
在厶ABC中，/CAB=2ZB,AE平分/CAB交BC于E,AB=
2AC，求证：
AE=2CE
3.已知：
在△ABC中，AB>AC,AD为ZBAC的平分线，M为AD上任
点。
求证：
BM-CM>AB-AC
4.已知：
D是AABC的ZBAC的外角的平分线AD上的任一点，连接D
B、DC。
求证：
BD+CD>AB+AC。
）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明
问题。
例1.如图2-1，已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BC。
求证：
/ADC+ZB=180
分析：
可由C向ZBAD的两边作垂线。
近而证/ADC与ZB之和为平角
例2.如图2-2，在z\ABC中，从=90,AB=AC,ZABD=JCBD。
求证：
BC=AB+AD
分析：
过D作DEJBC于E，贝UAD=DE=CE，贝U构
造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分
问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3.已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于
A4B3C2D1
2.已知在Z\ABC中，ZC=90,AD平分/CAB,CD=
上的点，/FAE=ZDAE。
求证：
AF=AD+CF。
5.已知：
如图2-7，在Rt△KBC中，ZACB=90,CD1AB，垂足为D，
AE平分/CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。
求证CF=BH。
（三）：
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例3.已知：
如图3-3在△ABC中，AD、AE分别/
BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。
求证：
AM=ME。
分析：
由AD、AE是ZBAC内外角平分线，可得E
AA，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4.已知：
如图3-4，在MBC中，AD平分ZBAC，AD=AB，CM1AD交
1
AD延长线于M。
求证：
AM=2（AB+AC）
分析：
题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△A
1
BD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=-EC，
2
1
另外由求证的结果AM=2（AB+AC），即卩2AM=AB+
AC,也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
练习：
1.已知：
在厶ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是ZBAC的
平分线，且CEME于E，连接DE，求DE。
2.已知BE、BF分别是△ABC的ZABC的内角与外角的平分线，AFJB
1
F于F，AEJBE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=-BC
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰
三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，
从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
例4如图，AB>AC,/仁Z2，求证：
AB—AC>BD—CD。
例5女口图，BC>BA,BD平分/ABC,且AD=CD，求证：
/A+JC=180。
练习:
1.已知，如图，/C=2zA,AC=2BC。
求证：
AABC是直角三角形
n
2.已知：
如图，AB=2AC,Z1=/2,DA=DB，求证：
DC1AC
C
3.已知CE、AD是△ABC的角平分线，ZB=60。
，求证：
AC=AE+CD
4.已知：
如图在厶ABC中，ZA=90°,AB=AC，BD是/ABC的平分线，求
证：
BC=AB+AD
由线段和差想到的辅助线
口诀:
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：
在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：
将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可
连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如:
例1、已知如图1-1:
D、E为△ABC内两点，求证:
AB+AC>BD+DE+CE.
图1-1
证明：
（法一）
在△KMN中，AM+AN>MD+DE+NE;
（1）
在△BDM中，MB+MD>BD;
（2）
在MEN中,CN+NE>CE;（3）
由
（1）+
（2）+（3）得:
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
••AB+AC>BD+DE+EC
（法二：
图1-2）
延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G,在8BF和A3FC和△GDE中有:
AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…
（1）
GF+FOGE+CE（同上）
（2）
DG+GE>DE（同上）（3）
由
（1）+
（2）+（3）得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
•'AB+AC>BD+DE+EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来
时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：
如图2-1:
已知D为AABC内的任一点，求证：
/BDC>ZBAC。
分析：
因为ZBDC与ZBAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/BDC处于在外角的位置，/BAC处于在内角的位
置;
证法一：
延长BD交AC于点E，这时ZBDC是止DC的外角,
•••BDC>ZDEC，同理ZDEC>ZBAC，二启DC>zBAC
证法二：
连接AD，并廷长交BC于F,这时ZBDF是△ABD的
外角，二启DF>/BAD，同理，/CDF>ZCAD，二启DF+
ZCDF>/BAD+/CAD，即：
/BDC>/BAC。
注意：
利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明
有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形,
如:
例如：
如图3-1:
已知AD为△ABC的中线，且/仁
理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知/仁/，
/3=/4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
证明：
在DN上截取DN=DB，连接NE，NF,贝UDN=DC，
在△DBE和△NDE中：
'DN=DB（辅助线作法）
€
.Z1=Z2（已知）
ED=ED（公共边）
•••△BE也zNDE（SAS）
••BE=NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：
CF=NF
在生FN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）
••BE+CF>EF。
注意：
当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全
等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
三、截长补短法作辅助线。
例如：
已知如图6-1:
在△ABC中，AB>AC,Z1=Z2,P为AD
上任一点
求证：
AB-AC>PB-PC。
分析：
要证：
AB-AOPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，
故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，贝UPC=PN，又在z^PNB中,PB-PNvBN，
即：
AB-AC>PB-PC。
证明：
（截长法）
在AB上截取AN=AC连接PN,在AAPN和MPC中
"AN二AC（辅助线作法）
<
/1二Z2（已知）
AP=AP（公共边）
•••△PN幻^PC（SAS）,/PC=PN（全等三角形对应边相等）
T在zSPN中，有PB-PNvBN（三角形两边之差小于第三边）
••BP-PCvAB-AC
证明：
（补短法）
延长AC至M,使AM=AB，连接在AABP和AAMP中
AB=AM（辅助线作法）
Z1=Z2（已知）
AP=AP（公共边）
•△BP坐AMP（SAS）
••PB二PM（全等三角形对应边相等）
又•••在zPCM中有：
CM>PM-PC（三角形两边之差小于第三边）
「AB-AOPB-PC。
例2如图，在四边形ABCD中，AC平分/BAD,CE1AB于E,AD+AB=2
E
AE,
求证：
/ADC+ZB=180o
AB=AC
例3已知：
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,•A=108°,BD平分•A
BC。
求证：
BC=AB+DC。
例4如图，已知Rt△KBC中，ZACB=90°,D是/CAB的平分线，DM1AB
1
于M，且AM=MB。
求证：
CD=2DB。
【夯实基础】
例：
ABC中，AD是•BAC的平分线，且BD=CD，求证
方法1:
作DE1AB于E，作DF1AC于F，证明二次全等
方法2:
辅助线同上，利用面积方法3:
倍长中线AD
连接BE
方式2:
间接倍长
【经典例题】
例1:
△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
提示：
画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边
例2:
已知在厶ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，QE交BC于F,且
DF=EF，求证：
BD=CE
方法1:
过D作DGAE交BC于G,证明△DGF^zCEF
方法2:
过E作EG/AB交BC的延长线于G,证明△EFG^zDFB
方法3:
过D作DG_LBC于G,过E作EHJBC的延长线于H
证明△BDG^zECH
提示：
倍长AD至G,连接BG，证明△BDG也/CDA
三角形BEG是等腰三角形
例4:
已知：
如图，在ABC中，AB=AC,D、E在
BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F,DF=AC.
求证：
AE平分.BAC
提示：
方法1:
倍长AE至G,连结DG
方法2:
倍长FE至H，连结CH
例5:
已知CD=AB，/BDA=/BAD,AE是△ABD的中线，求证：
/C=ZBAE
提示：
倍长AE至F，连结DF
证明△ABE也/FDE（SAS）进而证明厶ADF^ZADC（SAS）
【融会贯通】
1、在四边形ABCD中，AB/DC,E为BC边的中点，/BAE=ZEAF,AF与DC的延长线相
交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
提示：
延长AE、DF交于G
证明AB=GC、AF=GF
所以AB=AF+FC
2、如图，AD为ABC的中线，DE平分.BDA交AB
于E,DF平分ZADC交AC于F.求证：
BECFEF
提示：
方法1:
在DA上截取DG=BD，连结EG、FG
证明△BDEBQDEADCF^zDGF
所以BE=EG、CF=FG
利用三角形两边之和大于第三边
方法2:
倍长ED至H，连结CH、FH
证明FH=EF、CH=BE
利用三角形两边之和大于第三边
3、已知：
如图，ABC中，/C=90,CM_AB于M,AT平分乙BAC交CM于D，交BC于T,过D作DE//AB交BC于E，求证：
CT=BE.
提示：
过T作TN1AB于N
证明△BTN^zECD
1.如图，AB/CD,AE、DE分别平分/BAD各ZADE，求证：
AD=AB+CD
2.
如图，△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线，且B,
C在AE的异侧，
BDJAE于D，CE1AE于E。
求证:
四、由中点想到的辅助线
口诀:
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图1，AD是△ABC的中线，贝USaabd=Saacd==Saabc（因为△ABD
与AACD是等底同高的）
例1.如图2，AABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是
ADCE的中线。
已知AABC的面积为2，求：
ACDF的面积。
11
解：
因为AD是AABC的中线，所以Saacd=Saabc=X2=1，又因CD
是AACE的中线，故Sacde=Saacd=1，
111
因DF是ACDE的中线，所以Sacdf=Sacde=X1=。
UUlU
1
•••ACDF的面积为。
（二八由中点应想到利用三角形的中位线
例2.如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点,
BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
求证：
/BGE=JCHE。
证明：
连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF,
••ME是△BCD的中位线，
••ME'"CD,AJMEF=JCHE,
=2
••MF是△ABD的中位线，
••MF〔'AB,•MFE=ZBGE,
_2
••AB=CD,/ME=MF，•购EF=dMFE,从而ZBGE=JCHE。
（三）、由中线应想到延长中线
例3.图4，已知△ABC中，AB=5,AC=3，连BC上的中线AD=2，求B
C的长。
解：
延长AD至UE,使DE=AD，贝UAE=2AD=2X2=4。
在△ACD和△EBD中，
••AD=ED,ZADC=ZEDB,CD=BD,
•••△ACD绍EBD,/AC=BE,
^从'而BE=AC=3o
在△ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故ZE=90°,
••BD=W一二厂=,2-；丿=匸,故BC=2BD=2门。
例4.如图5,已知△ABC中，AD是ZBAC的平分线，AD又是BC边上
的中线。
求证：
△ABC是等腰三角形。
证明：
延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：
△BED迪CAD,
故EB=AC,ZE=Z2,
又Z1=Z2,
•••企ZE,
••AB=EB，从而AB=AC，即△ABC是等腰三角形
（四）、直角三角形斜边中线的性质
例5.如图6,已知梯形ABCD中，AB//DC,ACJBC,ADJBD，求证:
C=BD。
证明：
取AB的中点E，连结DE、CE，贝UDE、CE分别为Rt△ABD,Rt
1
△ABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此ZCDE
=ZDCE。
••AB//DC,
•CDE=Z1,ZDCE=Z2,
•1=Z2,
在△ADE和△BCE中,
••DE=CE,Z1=Z2,AE=BE,
•••△ADE绍BCE,/AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6.如图7,△ABC是等腰直角三角形，/BAC=90°,BD平分/ABC交
AC于点D,CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：
BD=2CE
证明：
延长BA,CE交于点F，在△BEF和△BEC中，
•••企Z2,BE=BE，ZBEF=ZBEC=90°，
•••△BEF逊BEC，/EF=EC，从而CF=2CE。
又Z1+ZF=Z3+ZF=90°，故/仁。
在△ABD和△ACF中，•••/=，AB=AC，ZBAD=/CA
F=90
•••△ABD绍ACF，/BD=CF,「BD=2CE。
注：
此例中BE是等腰△BCF的底边CF的中线
（六）中线延长
口诀：
三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形
例一：
如图4-1:
AD为△ABC的中线，且/仁Z2,Z3=^4，求证：
BE+CF>
EF。
证明：
廷长ED至M，使DM=DE,
MF。
在ABDE和△CDM中，
‘BD=CD（中点定义）
¥
LZ1=/5（对顶角相等）
ED=MD（辅助线作法）
•4DE^/CDM（SAS）
又••"=Z2,/3=厶（已知）
Z1+Z2+Z3+也=180°平角的定义）
•••Z3+/2=90°
即：
左DF=90°
•••zFDM=ZEDF=90°
在△EDF和△MDF中
ED=MD（辅助线作法）
、ZEDF=ZFDM（已证）
DF=DF（公共边）
••△EDF也JMDF（SAS）
••EF=MF（全等三角形对应边相等）
••在MMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）
••BE+CF>EF
上题也可加倍FD，证法同上。
注意:
当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构
造全等三角形，使题中分散的条件集中。
例二：
如图5-1:
AD为△XBC的中线，求证：
AB+AC>2AD。
分析：
要证AB+AC>2AD，由图想到：
AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有A
B+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此
题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三
角形中去
在△ACD和△EBD中
2如图，AB=CD，E为BC的中点，/BAC=ZBCA，求证：
AD=2AE。
3如图，AB=AC,AD=AE,M为BE中点，/BAC=ZDAE=90°。
求证：
A
MJDC。
4，已知△ABC,AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各
向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维
模式是全等变换中的“对折”
2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等
三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”•
3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的
思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相
等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法：
在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.
（一）、倍长中线（线段）造全等
1:
（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是
2:
如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上,DE丄DF，
D是中点，试
比较BE+CF与EF的大小.
A
E
F
3:
如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：
AD平分/B
AE.
中考应用
（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RLABD和等腰RtACE，BAD"CAE=90，连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：
AM与DE的位置关系及数量关系.
（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
?
线段AM与DE的数量关系是;
（2）将图①中的等腰Rt"BD绕点a沿逆时针方向旋转（0八＜90）后，
（二）、截长补短
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