专升本资料8.docx

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专升本资料8

四川省普通高等学校“专升本”选拔

《高等数学》考试大纲（理工类）

总体要求

考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。

应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时：

120分钟

考试范围及要求

一函数、极限和连续

二一元函数微分学

三一元函数积分学

四向量代数与空间解析几何

五多元函数微积分学

六无穷级数

七微分方程

八线性代数

（一）行列式

1.理解行列式的概念，掌握行列式的性质。

（1）行列式的概念

①二阶行列式：

②三阶行列式：

，

③阶行列式：

阶行列式的值的特点：

（1）一共是有项的代数和；

（2）每一项都是个元素的乘积，它们来自于不同的行、不同的列。

（3）这项中有一半是正项，另一半是负项。

（2）行列式的性质

变换性质

①转置变换：

为的转置行列式。

②交换变换：

，为互换两行（列）后所得。

，

③倍乘变换：

，为的某行（列）元素都乘以后所得。

，

④倍乘变换：

，为的某行（列）乘以加到另外的行（列）后所得。

，

零值性质

①如果行列式的某行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零．

②如果行列式的某两行（列）的元素相同，则此行列式的值为零．

③如果行列式的某两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零．

2.会用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

（1）行列式的余子式和代数余子式

余子式：

划去所在的第行和第列的全部元素后剩下的元素组成的阶行列式。

代数余子式：

（2）阶行列式按行（列）的展开

或

（3）行列式的计算方法

①先利用行列式的性质使行列式的某一行（列）的元素尽可能多的化为零，再按该行（列）展开。

②可将行列式化为特殊行列式后计算．特别是化为三角形行列式。

例1计算下列的行列式

①；②；③

（二）矩阵

1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。

（1）矩阵的定义

由个数排成的行列的数表叫矩阵；记为，或．

当时，矩阵称为阶方阵.记作．

当时，矩阵称为行矩阵（或行向量）.记为=．

当时，矩阵称为列矩阵（或列向量）.记为A=或.

（2）特殊矩阵

零矩阵：

矩阵的元素都为时。

单位矩阵：

主对角线都为的对角矩阵。

记为或.

对角矩阵（或对角阵）：

在阶方阵中,主对角线以外的元素都为零的矩阵。

上三角矩阵：

在阶方阵中,主对角线以下的元素都为零。

下三角矩阵：

在阶方阵中,主对角线以上的元素都为零。

对称矩阵：

或

反对称矩阵：

或

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。

（1）矩阵的线性运算

设，

矩阵的和：

矩阵的差：

数乘矩阵：

（2）矩阵的乘法

①定义

设，,令是由下面个元素

构成的行列的矩阵。

称矩阵为矩阵与矩阵的乘积。

记为：

②运算律

（a）结合律：

（b）分配律：

，

（c）0—1律：

，

（d）不具备交换律：

，

（e）两非0矩阵的乘积可能是0矩阵。

即不能推出：

或。

③矩阵的乘方

设为阶方阵，称矩阵自乘次称为矩阵的次方。

，，

（个）

，，

（3）矩阵的转置

定义：

把的行、列交换所得得的矩阵叫做矩阵A的转置矩阵。

记为。

转置矩阵的性质：

①

②

③

④

（4）方阵的行列式

定义：

由阶方阵的元素按原来顺序构成的行列式称为方阵的行列式。

记为或。

矩阵行式的性质

①；②；③

例1已知：

，；求。

3.理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。

（1）逆矩阵的定义

设是阶方阵，如果存在一个阶方阵,使得；则称矩阵是可逆的，称矩阵是矩阵的逆矩阵。

的逆矩阵记为，即．

（2）逆矩阵的性质

①方阵可逆的逆矩阵是唯一的。

且．

②可逆也可逆。

且．

③可逆,数可逆．且．

④可逆也可逆，且．

⑤可逆,则有．

⑥为同阶方阵且均可逆可逆．且．

⑦．

（3）矩阵可逆性质的判别

可逆．

（4）求矩阵的逆矩阵的公式

①伴随矩阵：

阶方阵的行列式的各个元素的代数余子式构成矩阵

称为矩阵的伴随矩阵．

②求矩阵的逆矩阵的公式

若矩阵可逆，则（为的伴随矩阵）．

例1判断是否可逆，如果可逆，求逆矩阵．

4.掌握矩阵的初等变换，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

（1）矩阵的初等变换

定义：

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换。

①对换变换：

互换矩阵的i、j两行（列）。

（）

②倍乘变换：

把i行（列）的各元素都乘以非零k常数。

（）

③倍加变换：

把j行（列）的若干倍，加到i行（列）上。

（）

矩阵经过有限次初等行变换转化为矩阵，则称矩阵与矩阵等价，记为.

（2）矩阵的秩

①矩阵的阶子式

在一个的矩阵A中任意取行和列，位于这些行与列相交位置上的元素所构成的一个阶行列式称为矩阵的阶子式。

矩阵的阶子式共有个。

②矩阵的秩的定义

在的矩阵中，一切非零子式的最高阶数称为矩阵的秩。

也就是说，若矩阵中至少有一个r阶子式不等于零，而所有的r+1阶子式（如果有的话）都等于零，则称矩阵的秩为r,记为.

注意：

。

零矩阵的秩为零；非零矩阵的秩一定不为零。

（3）矩阵的秩的求法

①阶梯形矩阵及其秩

矩阵A若满足：

（1）零行（元素全为0的行）在矩阵的最下方；

（2）各非零行的第1个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。

满足这样的条件的矩阵称为阶梯形矩阵。

阶梯形矩阵的秩为：

非全零行的行数。

如矩阵有三个非全零行，则它的秩为3。

②矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

方法：

先用初等变换将矩阵变为与它等价的阶梯形矩阵，再观察非全零行的行数，其行数即为矩阵的秩。

（3）逆矩阵的求法：

将矩阵经过一系列的初等变换，将前面的部分变成为单位矩阵后，其后面的部份就变成了A的逆矩阵。

例：

求矩阵的逆矩阵。

（三）向量

1.理解n维向量的概念，向量的线性组合与线性表示。

（1）n维向量的定义

个数组成的有序数组称为维向量。

数称为维向量的第个分量。

向量中的个数称为向量的维数。

向量一般用小写黑体的希腊字母表示。

行向量：

把向量写成一行；可看成一行n列的矩阵。

列向量：

把向量写成一列；可看成n行一列的矩阵。

（2）n维向量的运算

①两向量相等：

两向量的各分量对应相等。

②向量的加法：

两向量的各分量对应相加。

③向量的减法：

两向量的各分量对应相减。

④数乘向量：

将数乘以向量的各分量。

例设，，，求向量。

（3）n维向量的线性组合

则称

为向量组的一个线性组合。

称为组合系数。

（4）向量的线性表示

①一个向量由向量组线性表示

给定向量组，如果存在一组数使

则称是向量组的一个线性组合。

也称向是可由向量组线性表示。

称为表出系数（组合系数）

维标准单位向量组：

，（

任何一个向量维向量都可以唯一地由标准单位向量组线性表示。

②线性组合的矩阵方式表示

，

其中，

③表示系数的求法

求表出系数就是求解线性方程组：

。

若线性方程组有唯一解，则表示法是唯一的。

若线性方程组有无穷多个解，则表示法不是唯一的。

若线性方程组无解，则不能由向量组线性表示。

例问能否表示成，，的线性组合。

2.理解向量组线性相关或线性无关的定义，掌握判别向量组线性相关的方法。

（1）向量组线性相关性的概念

①向量组线性相关、线性无关的定义：

给定向量组，如果存在不全为零的数使

则称向量组是线性相关的，称为相关系数。

否则称它线性无关。

②向量组线性相关性的判别

结论1：

含有零向量的向量组一定线性相关。

结论2：

单个非零向量一定线性无关。

结论3：

两个非零向量线线相关两向量的分量对应成比例。

结论4：

线性相关至少存在某个向量能由其余向量线性表出。

结论5：

线性无关任意一个向量都不能由其余向量线性表出。

结论6：

线性无关，添加一个向量后线性相关一定可由向量组线性表出，且表示法唯一。

结论7：

线性相关添加向量后的向量组也一定线性相关。

简说：

部份相关则整体相关。

结论7：

设有两个向量组，它们的前个分量对应相同

，，

线性无关线性无关

线性相关线性相关

简说：

无关组接长后仍无关。