典型例题解析静定结构位移计算分解.docx
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典型例题解析静定结构位移计算分解
第5章静定结构位移计算
§5-1基本概念
5-1-1虚拟单位力状态构造方法
•虚拟单位力状态构造方法：
（1）去掉所有荷载重画一个结构；
（2）标出所求位移矢量；
（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。
如图3-1a刚架求C点竖向位移“cv和C截面转角
（a）（b）1
;：
c，图3-1b和图3-1c为求相应位移所构造的虚拟单位
力状态。
5-1-2位移计算公式
虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力:
FN,M,FQ,FRi
实际荷载作用下，引起的内力：
Fnp,Mp,FQP
•位移计算一般公式
nC求」CV
&jFNdu+E十瓦【FQ^ds—瓦FRiCi
•荷载作用产生位移的计算公式
也=瓦（巳旦勺5+送jM^ds+ZJ竺邑dS
EAElGA
1、梁或刚架结构
2、桁架结构
A=11
EA
3、混合结构
MMP,
—ds
El
•支座移动引起位移计算公式
•温度引起位移计算公式
t八FN：
todx亠二hMdxh
t
—'tolFN」
式中：
：
•为线膨胀系数,to形心温度，氏温差，h截面高度
AM虚拟状态弯矩图面积
•有弹性支座情况的位移计算公式
.八MJ^ds'FrFr—
'El
业-Fr鱼
Elk
5-1-3图乘法
图乘法公式：
（-）Ay°
El
图乘法公式条件：
•等截面直杆且EI=常数
•求y。
图形必须为一条直线
图3-2图乘法示意图
正负号确定:
面积A与y。
同侧取“+”号
注意：
求面积的图形要会求面积和形心位置。
为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接
代入图乘法公式求得位移。
【例题
⑻
3-1】计算图示结构B转角和D点竖向位移。
ql2
C
EID
―*-
■
EI
EI
A
气
1
L-
1
（b）
ql2
（c）
1
C
『2=1D
（d）
y3=1y1=1
Cy2=?
y3=l
ql2
8
CA2=ql
Asa
2:
.
0.5ql
Mp图
B
A1=2
ql3
；【分析】
；•利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个
:
与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算
:
虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷
；载作用下刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变
:
形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯
:
矩图（如图b所示）。
:
•构造单位力状态：
每求一个位移重新画一个
:
结构，将所求位移矢量（矢量方向任意假定）
:
画在结构相应位置处，标单位力值，即得到与所求位移对应的虚拟单位力状态（分别如图c、
Aiy
M
求D竖向位移.Dv
例题3—1图
【解】
•求B截面转角:
BEIEI
1A2y2A3y3_13ql3EIEIEI-6EI
（顺时针）
•求D点的竖向位移:
MMPds八一Ay0
ElEl
二A%*Z+Z二7ql4）
-EIEIEI_6EI”
d所示）。
虚拟单位力状态的内力在实际变形上做
虚功，由于刚架仅需要计算弯曲内力虚功，先
;作虚拟单位力产生的弯矩图（如图c、d所示）。
；•图乘法应用：
为使计算过程简洁、明了，先:
将面积和形心处对应弯矩求岀标在弯矩图一;侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。
:
•特别注意：
计算面积的图形需要找形心位
:
置，Mp图AC杆面积用梯形减对称抛物线面
:
积，但形心位置不易计算，由于虚拟力状态的；AC杆弯矩为常数，因此本题AC杆不用计算:
确切形心位置。
；•正负号选择：
面积弯矩图与弯矩y在相同一:
侧做正功取正号（若不在同侧时，内力虚功为:
负，就应取负号）。
;•位移实际方向：
结果为正时虚拟单位力方向
就是所求位移的方向。
［例题3-2］分别计算图示结构A点、
（a）q
B点的竖向位移。
（b）
EIB2EI
I—1■+*_1_T
（c）
1\
1
B
y2=l
）CM
（d4
B
21y5=^
41y4=3
2l
yi=3
（e）
A
3al3
IE2J
十-A
ql2
qi3
ql3q8
A5=12一
例题3—2图
［解］
•求B点的竖向位移:
2EIEI2EI
•求A点的竖向位移:
匸「MMp（士）Ay。
4"：
^厂ds壬飞=Ayi\Z|A4『4|A5『5=53ql4”_2EIEIEIEI"24EI"
2
Mp图
qi
8
_4q|3_ql3
人2=一3Ai=2
//
严ql
C
i.5ql「【分析］
•利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷载作用下梁或刚架的位移计算，仅需计算在弯曲变形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯矩图（如图b所示）。
•构造单位力状态：
A点、B应的虚拟单位力状态分别如图
点竖向位移所对
d、c所示。
•求B点竖向位移：
图b和图
AB段为常数，Mp图AB段求面积Aq_不必确疋形心位置；M图BC段为斜直线，Mp图BC段求面积A1，并确定形心位置，求对应的M图弯矩yio
•求A点竖向位移：
M图BC段为直线，Mp图BC段求面积A1，并确定形心位置，求对应
M图弯矩yr。
M图AB段为直线，MP图AB段的面积分成三块面积如图e所示（两个三角形和一个对称抛物线），面积分别为A3、A、a5，形心对应的M图弯矩y3、y4、y5o
c作图乘，M图
•注意：
BC杆段抗弯刚度为2EI，相应分母用2EIo计算面积的图形，要确定形心位置，对应求弯矩值的弯矩图要是一条直线（当这条直线为常数时，求面积图形不必确定形心位置）
【例题3-3］计算图示结构A的转角位移。
各杆El=常数。
⑻
（b）
F
l
El
El
E
M
0.5
J'
D
C
0.5M
12
（c）
F
B
M
0.5
1
M
次图乘就可以了
然后
（如图虚线可以直接
只需计算先将面积
0.5M
例题3—3图
■A二、
所示。
虚拟单位力做外力虚功等于所求位移。
虚拟单位力状态的内力在实际变形上做内
力虚功，刚架仅需要计算弯曲内力虚功，作虚拟
AC、DB
b所示）。
•图乘法应用：
本题两个弯矩图都为直线图形可以选其中任一个计算面积，另一个求弯矩值，
DB杆件进行一些特殊处理，方法如下：
将DB杆件弯矩图搬到AC上面部分）变成AF,两个图都是三角形，图乘，三角形的形心容易确定，这样
［解］
•求A截面转角
【分析］
•构造单位力状态：
能够在转角上做功的力是力
CE、ED两个杆件图乘结果相同一个即可。
为使计算过程简洁、明了，和形心处对应弯矩求岀后标在弯矩图一侧直接代入图乘法公式求得位移。
Mp图
由于AC杆直接图乘形心不易计算，本题对AC
312
单位力产生的弯矩图（如图c所示）。
•荷载弯矩图：
需要作荷载产生的弯矩图（如图
CEI°ElD
偶，与A截面转角位移对应的单位力状态如图C
0.5
2MlMl3叫顺时针）
4
Ml
A2=8
A1
MMp,-Ay。
ds二…
ElEl
Ayi2A2『2
ElEl
A1=Ml
M
0.5
厂D
\
i=f
/
A
y2=3
•符号选取：
图形在同侧内力虚功为正值，位移与虚拟力方向相同。
【例题3-4】计算图示结构I点竖向位移。
各杆EI=常数。
⑻丄B
O
E
il
1甘1曹
l」
i
I*
（c）
（b）
210Fp毎2Fp
33
0
2F
Fnp图
Fp3
4Fp
3
2Fp
3
-42Fp
2F
*2Fp
3
4
3
4F
4Fp
Fp
例题3—4图
［解］
V-FNFnpv■FNFNP,
编辽匸-ds迈「eat
Jp»10210亦3（q5）
EA23
（-1.5）（-2）•工2（七2）2
23
（一2）（—2）、，2：
二2（二2）.22323
2-1
05：
一？
（一1.5）（-2）2（-0.5）（―）33
=（10后-2心+14）-^
3EA
【分析］
•构造单位力状态：
重新画一个结构（如图c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处I点，
标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态（如图c所示）。
•作荷载、单位力轴力图：
利用虚力原理计算位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于求桁架结构由荷载产生的位移，只计算在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作荷载、单位力产生的轴力图（如图b、c所示）。
•位移计算公式应用：
桁架结构位移计算仅有轴力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力为负），对于杆件是等截面同材料，不需要作积分运算，对所有杆件求和即可，要注意使用每个杆件的长度、弹性模量、面积。
•位移实际方向：
结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。
•注：
桁架内力的计算方法
本题桁架上部体系与地基之间只有三个联系，可先求出支座反力，BJ杆件轴力在B处分解成X、Y方向再对A点取矩可以方便求得；其它杆件轴力利用结点法按照A、C、E、D、F、G、
I顺序列投影平衡条件得到。
Tp^
EA
ED、GF两个杆件为零杆，可先求得。
【例题3-5】图示结构B支座发生沉降,计算A的转角位移和C点水平位移。
（b）
>A
（C）
例题3—5图
■■■alii*■■■■■■■■■■■■■raiiiriiiiri■■■Billiniiiraii
［解］
•A的转角位移：
=-送FRiCi
=_｛（计7+严®y
詁（a+2b）
（位移方向与虚拟单位力相同，顺时针）
•C点水平位移：
4h=FRiCi
=一｛。
.5汉a+1汉b｝
=-0.5a-b
（位移方向与虚拟单位力相反，向左）
【分析】
•构造单位力状态：
每个位移重新画一个结构（如图
b、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处,
标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。
求A处角位移的单位力状态如图b所示，求
点水平位移的单位力状态如图c所示
•静定结构因支座移动影响只发生刚体位移，不产生
变形。
虚拟力状态的内力也就不做内力虚功，在此情
况下不需要作内力图，虚拟力状态的支座反力在位移
状态的支座位移上将做外力虚功；只需要求岀对应有
支座移动的约束反力即可；支座不发生移动的，对应
虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。
•计算支座反力：
图a体系的几何组成为三刚片类型
结构，也称作三铰刚架。
计算反力要用双截面法取两
次隔离体，本题只需要B支座反力，计算过程为:
（1）先取整体ACDB隔离体，对A点列力矩平衡条
件，求出B竖向反力;
（2）再取一个刚片EDB隔离体，对E点列力矩平
衡条件，求出B水平反力
•正负号选择：
力和位移都是矢量，方向相同作正虚
功，相反做负功
•位移实际方向：
结果为正时虚拟单位力方向就是所
求位移的方向
•注意：
位移计算公式支反力虚功前面的负号，是公
式自带的。
本来是内力虚功为零，外力虚功项在公式
左端，移到右端加负号。
（b）
（a）
i
l
l
（d）
（c）
B
C
1
l
1
A
A点水平
（
2
3
1l
计算虚内
需要作荷
）O也可以将弹性支座按支座移动处理
例题3—6图
【例题3-6】计算图示结构
相同做正功，方向相反做负功。
（位移方向：
逆时针）
M图
M图
［解］
•求A点的水平位移
FRB=1
【分析］
•构造单位力状态：
每个位移需要重新画一个结构（如
2l
y2=3
（位移方向：
向右）
•求B截面的转角位移：
2l
y1=-3
1FRB
位移的单位力状态如图d所示。
•内力虚功：
刚架在荷载作用下的位移计算，力在实际弯曲变形上所做的内力虚功，为此
载、单位力产生的弯矩图。
•弹性支座计算：
可以将弹性支座的弹簧当作结构的一
图c、d所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。
求B处角位移的单位力状态如图c所示，求
部分；单位力产生的弹性支座反力Fr，在弹簧变形心上做内力虚功，其内力虚功等于力Fr乘以位移厶，弹簧位移也等于位移状态的弹性支座反力除以弹簧刚度
B八
B转角和A点水平位移（其中弹簧刚度为k）
fp|2
•位移实际方向：
结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。
•注意：
弯矩图在图乘时求面积A图与y在同一侧取正号，在不同侧取负号。
弹簧内力虚功符号：
两个支座反力Fr、Frp方向
Frp
k
Ay1A2y2FrbFrpb
ElElk
2
iA2y2FRPB5FPl
FRB
EIk6EI
5Fp|3
3EI
MMpds'FrFrpEIk
:
二Ay°、FrFrp
EIk
•ah八.冒赶、Fr八一EAy°、FrF：
P
FRPB=FP
y2=31
B
CEIBj
IzEl另k=p
EI1
Fp
A
3
Fpl
r>
A2=Q
7
Vi
C
B：
■J
Mp图
A1
【例题3-7］计算图示结构B转角和C点水平位移。
已知线膨胀系数为a。
10C
C
20
A
（C）
=15C
即得到所求位
B处转角位移的
C点水平位移的单
［解］
toAC=2（t1t2）=5C,toBC
-'Iact2…右30C,-'Ibc=10C
•B截面的转角位移：
t
B二'FN：
t°dx亠一II：
7M-—dxh
=Sa1t0Fn+送（土）Am字
h
二:
丨5（一1）止；10丨h2
51
—一5、丨…h
（转角位移方向：
顺时针）•C点水平位移：
t
•CH八F.todx亠-lirM■dxh
=EatolFN吃（士）Am字h
=:
151二101h2
al2
-10_
h2
=5：
丨
【分析］
•构造单位力状态：
每个位移需要重新画一个结构（如图b、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标单位力值，移对应的虚拟单位力状态。
求单位力状态如图b所示，求位力状态如图c所示。
•作内力图：
对刚架由于温度改变引起的位移计算，要考虑温度改变引起的弯曲变形和轴向变形两种因素对位移的影响，也就是要计算虚拟单位力状态的内力在弯曲、轴向变形上做的内力虚功；作虚拟单位力产生的弯矩图和轴力图（如图c、d所示）；轴力标在杆件一侧。
•内力虚功正负号选择：
弯矩图面积和杆件两侧温度差都取正值，杆件温度升高大的一侧与弯矩图在同侧时内力虚功为正，取正号，在不同侧时取负号。
轴力以拉力为正（压力为负）符号不用选择。
•位移实际方向：
结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。
•注意：
若杆件截面不对称时截面形心不在中间位置，需确定截面形心位置，以便计算截面形心处的温度；杆件两侧温度差的计算与截面是否对称无关。
（水平位移方向：
向右）
FpI
（b）
FpI
G
F
G
l
1
Fp
0
（d）
（c）
i
E
0
0
1
A
D
态如图d所示。
序进行。
当附属部分不受外力时，也没有内力
M图
分为桁架。
内力计算时按照先附属后基本的顺
•注意：
FG杆件有弯矩，按照梁式杆计算。
P1
Fp
状态如图c所示，求E点竖向位移的单位力状
为负）正负符号，代入。
•位移实际方向：
结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。
【分析】
•构造单位力状态：
求C点竖向位移的单位力
•位移计算：
梁式杆利用图乘法求，正负符号选择按照图乘法，桁架杆轴力拉力为正（压力
（如图b、c所示）
•作内力图：
对组合结构梁式杆件作弯矩图、桁架杆件作轴力图，FG杆件当作梁式杆件处理
•结构内力计算：
本题为组合结构，其几何组成为基附型结构，基本部分是简支梁，附属部
【例题3-8】计算图示结构C点和E点的竖向位移。
EI=常数，EA=常数。
E0F0
0
0
0弋
3y1=3
（a）
FpE
2i
■3
FpI
MP图Fnp图
FpE_FpF
加D
SkC1
3
［解］
•求C点的竖向位移:
“fMM
Pds+Z
［FnFnpds1
JEl
EA
-Z（土）Ay+z
FnFnpI
■
EI
EA
AmFpl3
EI3EI
■
•求E点的竖向位移：
20p
ds+Z
rFNFNP,fds
JEI
，EAj
吃（±）Ay0+瓦
FnFnpI
EI
EA
■
A%十Fp（—1）l
FpI3
Fplj
EIEA
3EI
EA门
例题3—8图
【例题3-9］计算图示结构D点竖向位移和
II
E10CcF
20C'
C
-*+*
1
.21
1
E21.f
（C）
Fn图
1D
A:
1
2丨
1
1
21
2\
例题3—9图
［解］
t0CD-20C,t0EF~10C
•D点的竖向位移=、'FN'；t°dx='Fn-'HoI=:
丨（一＜10020）2二-5：
丨（竖向位移方向：
向上）AE杆件的转角位移■AE='Fn'^todX='toFnl1
丨（一＜10
21=25：
120）丨:
逆时针）
AE杆件的转角
【分析］
•构造单位力状态：
重新画一个结构（如图b、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处，标
单位力值。
求D点竖向位移对应的虚拟单位力状态如图b所示；桁架只作用结点荷载，不能施加单位集中力偶，用一对力形成单位力偶，即求AE杆件转角所对应的虚拟单位力状态如图c所示。
•计算单位力产生的轴力图：
利用虚力原理计算
位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于求桁架结构由温度改变产生的位移，只存在在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作单位力产生的轴力图（如图b、c所示）。
•位移计算公式应用：
桁架结构位移计算公式仅有轴力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力为负），温度以升高为正，温度不改变杆件不用计算，本题只需计算EF、CD两杆件。
•位移实际方向：
结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。
•注：
桁架内力的计算方法
I本题桁架上部体系与地基之间只有三个联i
系，可先求岀支座反力，其它杆件轴力利用结点法取结点作隔离体，按照A、C、B、D、F顺序列投影平衡条件求岀各个杆件的轴力。
\同一个结构的计算方法与几何组成有关，而:
与其上面的作用力无关，即如图b、c所示两个结构的轴力计算方法相同。
【例题3-10］图示结构EB杆件制造短了15mm，支座C下沉,
计算F点竖向位移和AD杆件的转角。
（C）
0mm
A
1
（b）
4m|4m|4m|*吻i20mm
-0.5
0.5
C
0.5
例题3—10图
［解］
•F点的竖向位移：
Fv二'Mdx亠二iFNdx亠Qdx-'FRiCi=7FNdxFRiCi=7FNf“FRiG=（-0.5）（-15mm）-\0.5-20mm0.5-10mm］；=22.5mm•AD杆件的转角：
「ad八.Mdx亠二［FNdx亠二.QdxMFrc.FNdx-為FRiG=為F/A-^FRiG=0.2510^/mm（T5mm）-；・0-20mm0-10mm=「3.7510-3（弧度）
0
【分析］
•构造单位力状态：
求F点竖向位移的单位力状态如图b所示；由于制造误差和支座移动使结构产生刚体位移，AD杆件任一点转角相等，因此，求AD杆件转角位移的单位力状态如图c所示。
I:
•静定结构因制造误差和支座移动影响只
:
发生刚体位移，不产生变形，虚拟力状态的内力不做内力虚变形功，也就不需要作内力图；有制造误差的杆件将产生内力虚功，需计算相应的虚内力；虚拟力状态的支座反力在位移状态的支座位移上将做外力虚功，需要求岀对应有支座移动的约束反力；支座不发生移动的，对应虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。
•计算支座反力：
图a体系为基附型刚架，ADE为附属部分，BFC为基本部分按三刚片组成。
要按照先附后基的原则计算。
附
■
属部分满足二刚片规则用截面法求，基本部分用双截面法（取两次隔离体）计算。
•正负号选择：
力和位移都是矢量，方向相同作正虚功，相反做负功；制造误差以伸长为正，轴力以拉为正。
•注意：
位移计算公式支反力虚功前面的负号，是公式自带的。
有制造误差，内力虚功不为零，内力虚功、外力虚功的符号由力、位移的正负符号决定，相同做正功。
【例题3-11】计算图示结构B点和C点的竖向位移。
（a）
1IHtIH
A2E^C_
EIBl
【解】
•求B点的竖向位移:
C”
BM^ds
EI
2EI
BMMP:
2EI
rBMM
ds—
C2EI
BMMp,
C1Tds
_BMMp
=a2EI=£（土）Ay。
■
（d）
Pds
BM%B
:
2EIC
dS_Ayi十Ay?
_人丫2_旳「
EI-2EI2EIEI-2EI
MMPds
EI
•求C点的竖向位移:
CMMp,ds2EI
CMMp』BMMp』BMMp.
dsds—ds
A2EIC2EIC2EI
BMMds八_Ay°dsC2EIEI
2EI.2EI48EI
BMMP
2EI
l
【分析】
•构造单位力状态：
对应每个位移单独画一个结构，画所求位移矢量，标单位力，即得虚拟单位力状态。
求B、C点竖向位移的单位力状态分别如图c、d所示。
•荷载弯矩图：
需要作荷载产生的弯矩图（如图
b所示）。
•图乘法应用：
本题荷载弯矩图为曲线图形，荷载弯矩图必须计算面积和确定形心位置。
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