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1、典型例题解析静定结构位移计算分解第5章静定结构位移计算5 -1 基本概念5-1-1虚拟单位力状态构造方法虚拟单位力状态构造方法：（1） 去掉所有荷载重画一个结构；（2） 标出所求位移矢量；（3） 该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。如图3-1a刚架求C点竖向位移“cv和C截面转角(a)(b) 1;：c，图3-1b和图3-1c为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。5-1-2位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力:F N , M , F Q , F Ri实际荷载作用下，引起的内力：Fnp , M p , F QP位移计算一般公式nC 求CV& jFNdu+E十瓦【FQds 瓦 FRiC

2、i荷载作用产生位移的计算公式也=瓦（巳旦勺5+送jMds+Z J竺邑dSEA El GA1、 梁或刚架结构2、 桁架结构A =11EA3、混合结构MM P ,dsEl支座移动引起位移计算公式温度引起位移计算公式t 八 FN： todx 亠二 h M dx ht tolFN式中：为线膨胀系数,to形心温度，氏温差，h截面高度AM虚拟状态弯矩图面积有弹性支座情况的位移计算公式.八 MJds Fr FrEl业-Fr鱼El k5-1-3图乘法图乘法公式：(-)AyEl图乘法公式条件：等截面直杆且EI=常数求y。图形必须为一条直线图3-2图乘法示意图正负号确定:面积A与y。同侧取“+”号注意：求面积的图

3、形要会求面积和形心位置。为使计算过程简洁、 明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧， 然后直接代入图乘法公式求得位移。【例题3-1】 计算图示结构B转角和D点竖向位移。ql2CEI D*-EIEIA气1L-1(b)ql2(c)1C2=1 D(d)y3=1 y1=1C y2 = ?y3 = lql28C A2=qlAsa2:.0.5qlMp图BA1= 2ql3；【分析】；利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个:与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算:虚内力在实际变形上所做的内力虚功， 对于荷；载作用下刚架的位移计算， 仅需计算在弯曲变:形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生的弯:矩图（

4、如图b所示）。:构造单位力状态：每求一个位移重新画一个:结构，将所求位移矢量（矢量方向任意假定）:画在结构相应位置处，标单位力值，即得到与 所求位移对应的虚拟单位力状态（分别如图c、AiyM求D竖向位移.Dv例题31图【解】求B截面转角:B EI EI1 A2 y 2 A 3y 3 _ 13q l 3 EI EI EI - 6EI(顺时针)求D点的竖向位移:M MPds 八一 Ay0El El二 A% * Z + Z 二7ql4 )-EI EI EI _6EI ”d所示）。虚拟单位力状态的内力在实际变形上做虚功，由于刚架仅需要计算弯曲内力虚功， 先;作虚拟单位力产生的弯矩图 （如图c、d所示）

5、。 ；图乘法应用：为使计算过程简洁、明了，先 :将面积和形心处对应弯矩求岀标在弯矩图一 ;侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。:特别注意：计算面积的图形需要找形心位:置，Mp图AC杆面积用梯形减对称抛物线面:积，但形心位置不易计算，由于虚拟力状态的 ；AC杆弯矩为常数，因此本题 AC杆不用计算 :确切形心位置。；正负号选择：面积弯矩图与弯矩 y在相同一 :侧做正功取正号（若不在同侧时，内力虚功为 :负，就应取负号）。;位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向。例题3-2 分别计算图示结构 A点、（a） qB点的竖向位移。(b)EI B 2EII 1 +*_1_T(c)1 1By

6、2 = l)CM(d4B21 y5=41 y4= 32lyi = 3(e)A3al3IE2 J十-Aql2qi3ql3 q8A5= 12一例题32图解求B点的竖向位移:2EI EI 2EI求A点的竖向位移:匸M Mp (士)Ay。4：厂ds壬飞 = Ayi Z | A44 | A55 =53ql4 ” _2EI EI EI EI 24EI 2Mp图qi8_4q|3 _ ql3人2 = 一3 Ai= 2/ /严ql Ci.5ql【分析利用虚力原理计算位移，首先需要构造一个 与所求位移对应的虚拟单位力状态，然后计算 虚内力在实际变形上所做的内力虚功，对于荷 载作用下梁或刚架的位移计算，仅需计算在弯

7、 曲变形上的内力虚功，为此，需要作荷载产生 的弯矩图（如图b所示）。构造单位力状态：A点、B 应的虚拟单位力状态分别如图点竖向位移所对d、c所示。求B点竖向位移：图b和图AB段为常数，Mp图AB段求面积Aq_不必确疋 形心位置；M图BC段为斜直线，Mp图BC段 求面积A1，并确定形心位置，求对应的 M图 弯矩yio求A点竖向位移：M图BC段为直线，Mp 图BC段求面积A1，并确定形心位置，求对应M图弯矩yr。M图AB段为直线，MP图AB 段的面积分成三块面积如图 e所示（两个三角 形和一个对称抛物线），面积分别为 A3、A、 a5，形心对应的 M图弯矩y3、y4、y5oc作图乘，M图注意：BC

8、杆段抗弯刚度为2EI，相应分母用2EI o 计算面积的图形，要确定形心位置，对应求 弯矩值的弯矩图要是一条直线（当这条直线为常 数时，求面积图形不必确定形心位置）【例题3-3 计算图示结构A的转角位移。各杆El =常数。(b)FlElElEM0.5JDC0.5 M12(c)FBM0.51M次图乘就可以了然后（如图虚线 可以直接只需计算 先将面积0.5 M例题33图A 二、所示。虚拟单位力做外力虚功等于所求位移。虚拟单位力状态的内力在实际变形上做内力虚功，刚架仅需要计算弯曲内力虚功，作虚拟AC、DBb所示）。图乘法应用：本题两个弯矩图都为直线图形 可以选其中任一个计算面积，另一个求弯矩值，DB杆

9、件进行一些特殊处理，方法如下： 将DB杆件弯矩图搬到AC上面 部分）变成 AF,两个图都是三角形， 图乘，三角形的形心容易确定，这样解求A截面转角【分析构造单位力状态：能够在转角上做功的力是力CE、ED两个杆件图乘结果相同 一个即可。为使计算过程简洁、明了， 和形心处对应弯矩求岀后标在弯矩图一侧 直接代入图乘法公式求得位移。Mp图由于AC杆直接图乘形心不易计算， 本题对AC3 12单位力产生的弯矩图（如图 c所示）。荷载弯矩图：需要作荷载产生的弯矩图（如图C EI El D偶，与A截面转角位移对应的单位力状态如图 C0.52Ml Ml 3叫顺时针)4M lA2= 8A 1M Mp, - Ay。

10、 ds 二 El ElA yi 2A22El ElA1=MlM0.5厂Di=f/Ay2=3符号选取：图形在同侧内力虚功为正值，位移 与虚拟力方向相同。【例题3-4】 计算图示结构I点竖向位移。各杆EI=常数。丄BOEil1甘1曹l iI*(c)(b)2 10Fp 毎 2Fp3 302FFnp图Fp 34Fp32Fp3-4 2Fp2F*2Fp3434F4FpFp例题34图解V - FN Fnp v FN FNP ,编辽匸-ds迈eatJp10 2 10 亦 3(q5)EA 2 3(-1.5) (-2) 工2 (七2) 22 3(一2) (2)、，2：二2 (二2) .2 2 3 2 32 -10

11、5 ：一 ？(一1.5) (-2) 2 (-0.5)() 3 3= (10 后-2心+14)-3EA【分析构造单位力状态：重新画一个结构（如图 c所 示），将所求位移矢量画在结构相应位置处 I点，标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力 状态（如图c所示）。作荷载、单位力轴力图： 利用虚力原理计算位 移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚 功，对于求桁架结构由荷载产生的位移，只计算 在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作荷载、 单位力产生的轴力图（如图 b、c所示）。位移计算公式应用：桁架结构位移计算仅有轴 力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压力为 负），对于杆件是等截面同材料， 不需要

12、作积分运 算，对所有杆件求和即可，要注意使用每个杆件 的长度、弹性模量、面积。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就 是所求位移的方向。注：桁架内力的计算方法本题桁架上部体系与地基之间只有三个联 系，可先求出支座反力，BJ杆件轴力在B处分解 成X、Y方向再对A点取矩可以方便求得；其它 杆件轴力利用结点法按照 A、C、E、D、F、G、I顺序列投影平衡条件得到。TpEAED、GF两个杆件为零杆，可先求得 。【例题3-5】 图示结构B支座发生沉降,计算A的转角位移和C点水平位移。(b)A（C）例题35图 alii * raiiiriiiiri Bill iniiiraii解 A的转角位移：= -送

13、 F RiCi=_（计 7 +严 y詁（a+2b）（位移方向与虚拟单位力相同，顺时针）C点水平位移：4h = F RiCi=一。.5 汉a +1 汉b=-0.5a -b（位移方向与虚拟单位力相反，向左）【分析】构造单位力状态：每个位移重新画一个结构 （如图b、c所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处,标单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状 态。求A处角位移的单位力状态如图 b所示，求点水平位移的单位力状态如图 c所示静定结构因支座移动影响只发生刚体位移， 不产生变形。虚拟力状态的内力也就不做内力虚功， 在此情况下不需要作内力图，虚拟力状态的支座反力在位移状态的支座位移上将做外力虚功；只

14、需要求岀对应有支座移动的约束反力即可；支座不发生移动的，对应虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功。计算支座反力：图a体系的几何组成为三刚片类型结构，也称作三铰刚架。计算反力要用双截面法取两次隔离体，本题只需要 B支座反力，计算过程为:（1）先取整体ACDB隔离体，对A点列力矩平衡条件，求出B竖向反力;（2）再取一个刚片EDB隔离体，对E点列力矩平衡条件，求出B水平反力正负号选择：力和位移都是矢量，方向相同作正虚功，相反做负功位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求位移的方向注意：位移计算公式支反力虚功前面的负号， 是公式自带的。本来是内力虚功为零，外力虚功项在公式左端，移到右端加负号。(b

15、)(a)ill(d)(c)BC1l1AA点水平(231 l计算虚内需要作荷）O也可以将弹性支座按支座移动处理例题36图【例题3-6】计算图示结构相同做正功，方向相反做负功。（位移方向：逆时针）M图M图解求A点的水平位移F RB = 1【分析构造单位力状态：每个位移需要重新画一个结构（如2ly2= 3（位移方向：向右）求B截面的转角位移：2ly1 = -31 F RB位移的单位力状态如图 d所示。内力虚功：刚架在荷载作用下的位移计算， 力在实际弯曲变形上所做的内力虚功， 为此载、单位力产生的弯矩图。弹性支座计算：可以将弹性支座的弹簧当作结构的一图c、d所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处 标

16、单位力值，即得到所求位移对应的虚拟单位力状态。 求B处角位移的单位力状态如图 c所示，求部分；单位力产生的弹性支座反力 Fr，在弹簧变形心 上做内力虚功，其内力虚功等于力Fr乘以位移厶，弹 簧位移也等于位移状态的弹性支座反力除以弹簧刚度B八B转角和A点水平位移（其中弹簧刚度为 k）fp|2位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就是所求 位移的方向。注意：弯矩图在图乘时求面积 A图与y在同一侧取 正号，在不同侧取负号。弹簧内力虚功符号：两个支座反力 Fr、Frp方向FrpkAy1 A2y2 Frb FrpbEl El k2iA2y2 F RPB 5FPlF RBEI k 6EI5Fp|33EIM

17、 Mpds Fr Frp EI k:二Ay、Fr FrpEI k ah八.冒赶、Fr 八一EAy、Fr F：PF RP B = F Py2=3 1BC EI BjIz El 另 k =pEI 1Fp,A3FplrA2 = Q7ViCB：JM p图A1【例题3-7 计算图示结构B转角和C点水平位移。已知线膨胀系数为a。10 CC20A（C）=15 C即得到所求位B处转角位移的C点水平位移的单解to AC =2 (t1 t2)=5 C ,toBC-Iac t2 右 30 C , -Ibc =10 C B截面的转角位移：tB 二 FN：tdx 亠一 II： 7 M -dx h=Sa1t0 Fn +

18、送（土）Am 字h二:丨 5 （一1）止；10 丨 h 25 1一5、丨 h（转角位移方向：顺时针） C点水平位移：t CH 八 F. todx 亠-lir M dx h= EatolFN 吃(士 )Am 字 h=:1 5 1 二 10 1 h 2a l2- 10 _h 2=5：丨【分析构造单位力状态：每个位移需要重新画一个 结构（如图b、c所示），将所求位移矢量画在 结构相应位置处，标单位力值， 移对应的虚拟单位力状态。求 单位力状态如图b所示，求 位力状态如图c所示。作内力图：对刚架由于温度改变引起的位移 计算，要考虑温度改变引起的弯曲变形和轴向 变形两种因素对位移的影响，也就是要计算虚

19、拟单位力状态的内力在弯曲、轴向变形上做的 内力虚功；作虚拟单位力产生的弯矩图和轴力 图（如图c、d所示）；轴力标在杆件一侧。内力虚功正负号选择：弯矩图面积和杆件两 侧温度差都取正值，杆件温度升高大的一侧与 弯矩图在同侧时内力虚功为正，取正号，在不 同侧时取负号。轴力以拉力为正（压力为负） 符号不用选择。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向 就是所求位移的方向。注意：若杆件截面不对称时截面形心不在中 间位置，需确定截面形心位置，以便计算截面 形心处的温度；杆件两侧温度差的计算与截面 是否对称无关。（水平位移方向：向右）FpI(b)FpIGFGl1Fp0(d)(c)iE001AD态如图d所示。序

20、进行。当附属部分不受外力时，也没有内力M图分为桁架。内力计算时按照先附属后基本的顺注意：FG杆件有弯矩，按照梁式杆计算。P1Fp状态如图c所示，求E点竖向位移的单位力状为负）正负符号，代入。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向 就是所求位移的方向。【分析】构造单位力状态：求C点竖向位移的单位力位移计算：梁式杆利用图乘法求，正负符号 选择按照图乘法，桁架杆轴力拉力为正（压力（如图b、c所示）作内力图：对组合结构梁式杆件作弯矩图、 桁架杆件作轴力图，FG杆件当作梁式杆件处理结构内力计算：本题为组合结构，其几何组 成为基附型结构，基本部分是简支梁，附属部【例题3-8】计算图示结构 C点和E点的竖向

21、位移。EI=常数，EA=常数。E 0 F 0000弋3 y1 =3(a)Fp E2i3FpIM P图Fnp图Fp E _Fp F加DSk C 13解求C点的竖向位移:“ fMMPds+ZFn Fnp ds 1J ElEA-Z (土)Ay +zFn FnpIEIEAAm Fpl3EI 3EI求E点的竖向位移：2 0pds+Zr FN FNP , f dsJ EI，EA j吃（）Ay0 + 瓦Fn FnpIEIEAA% 十 Fp(1)lFpI3Fpl jEI EA3EIEA 门例题38图【例题3-9 计算图示结构D点竖向位移和IIE 10CcF20 CC-*+*1.211E 21 .f(C)Fn图

22、1 DA :12丨11212 例题39图解t0CD - 20 C , t0EF 10 C D点的竖向位移=、 FN；tdx = Fn-HoI=:丨（一10 0 20）2二-5：丨（竖向位移方向：向上）AE杆件的转角位移 AE = Fn todX = to Fn l1丨(一1021= 25：1 20) 丨:逆时针）AE杆件的转角【分析构造单位力状态：重新画一个结构（如图 b、c 所示），将所求位移矢量画在结构相应位置处， 标单位力值。求D点竖向位移对应的虚拟单位力状 态如图b所示；桁架只作用结点荷载，不能施加 单位集中力偶，用一对力形成单位力偶，即求AE 杆件转角所对应的虚拟单位力状态如图 c所

23、示。计算单位力产生的轴力图： 利用虚力原理计算位移，需要计算虚内力在实际变形上所做的内力 虚功，对于求桁架结构由温度改变产生的位移， 只存在在轴向变形上的内力虚功，为此，需要作 单位力产生的轴力图（如图 b、c所示）。位移计算公式应用：桁架结构位移计算公式仅 有轴力项，轴力要带符号计算（以拉力为正、压 力为负），温度以升高为正，温度不改变杆件不用 计算，本题只需计算 EF、CD两杆件。位移实际方向：结果为正时虚拟单位力方向就 是所求位移的方向。注：桁架内力的计算方法I 本题桁架上部体系与地基之间只有三个联 i系，可先求岀支座反力，其它杆件轴力利用结点 法取结点作隔离体，按照 A、C、B、D、F

24、顺序 列投影平衡条件求岀各个杆件的轴力。 同一个结构的计算方法与几何组成有关，而 :与其上面的作用力无关， 即如图b、c所示两个结 构的轴力计算方法相同。【例题3-10 图示结构EB杆件制造短了 15 mm，支座C下沉,计算F点竖向位移和AD杆件的转角。（C）0mmA1(b)4m | 4m | 4m | * 吻 i20mm-0.50.5C0.5例题310图解 F点的竖向位移：Fv 二 Mdx 亠二 iFNdx 亠Qdx- FRiCi=7 FNdx FRiCi =7 FNf “FRiG=(-0.5) (-15mm)-0.5 -20 mm 0.5 -10 mm ；= 22.5 mm AD杆件的转角

25、：ad 八.Mdx 亠二FNdx 亠二.Qdx MFrc.FNdx-為 FRiG =為 F/A-FRiG = 0.25 10/mm (T5mm) -；0 -20 mm 0 -10 mm=3.75 10-3(弧度)0【分析构造单位力状态：求F点竖向位移的单 位力状态如图b所示；由于制造误差和支 座移动使结构产生刚体位移，AD杆件任一 点转角相等，因此，求 AD杆件转角位移 的单位力状态如图c所示。I :静定结构因制造误差和支座移动影响只:发生刚体位移，不产生变形，虚拟力状态 的内力不做内力虚变形功，也就不需要作 内力图；有制造误差的杆件将产生内力虚 功，需计算相应的虚内力；虚拟力状态的 支座反力

26、在位移状态的支座位移上将做外 力虚功，需要求岀对应有支座移动的约束 反力；支座不发生移动的，对应虚拟力状 态的支座反力也不做外力虚功。计算支座反力：图a体系为基附型刚架， ADE为附属部分，BFC为基本部分按三刚 片组成。要按照先附后基的原则计算。附属部分满足二刚片规则用截面法求，基本 部分用双截面法（取两次隔离体）计算。 正负号选择：力和位移都是矢量，方向 相同作正虚功，相反做负功；制造误差以 伸长为正，轴力以拉为正。注意：位移计算公式支反力虚功前面的 负号，是公式自带的。有制造误差，内力 虚功不为零，内力虚功、外力虚功的符号 由力、位移的正负符号决定，相同做正功。【例题3-11】计算图示结

27、构B点和C点的竖向位移。(a)1 I HtIHA 2 EC_EI B l【解】求B点的竖向位移:C”BMdsEI2EIBM MP :2EI,rBM Mds C 2EIB M Mp ,C1Tds_ B M Mp=a 2EI = (土)Ay。(d)PdsBM % B:2EI CdS_Ayi 十Ay? _人丫2 _旳EI - 2EI 2EI EI - 2EIMMPdsEI求C点的竖向位移:C M Mp , ds 2EIC M Mp B M Mp B M Mp .ds ds dsA 2EI C 2EI C 2EIBMMds 八 _Ayds C 2EI EI2EI . 2EI 48EIBM MP2EIl【分析】构造单位力状态：对应每个位移单独画一个结 构，画所求位移矢量，标单位力，即得虚拟单位 力状态。求B、C点竖向位移的单位力状态分别 如图c、d所示。荷载弯矩图：需要作荷载产生的弯矩图（如图b所示）。图乘法应用：本题荷载弯矩图为曲线图形，荷 载弯矩图必须计算面积和确定形心位置。 由