概统第1章答案详解.docx
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概统第1章答案详解
概统习题一
1.用以样本点为元素的集合的形式写出下列试验的样本空间及事件
.
1）投掷一颗骰子,记录出现的点数.
“出现奇数点”.
2）投掷一颗骰子两次,记录出现点数.
“两次点数之和为10”,
“第一次的点数比第二次的点数大2”.
3）一个口袋中有5只编号分别为1,2,3,4,5的球,从中同时取出3只球,观察其结果.
“球的最小号码为1”.
4）将
两个球随机地放到甲,乙,丙三个盒子中去,观察放球情况.
“甲盒中至少有一球”.
5）记录在一段时间内通过某桥的汽车流量,
“通过汽车不足5辆”,
“通过的汽车不少于3辆”.
2.设
都是事件,试通过对
中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件:
1）
中仅有
发生.
2）
中至少有两个发生.
3）
中至多两个发生.
4）
中恰有两个发生.
5）
中至多有一个发生.
3.袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率:
“三次都是红的”,
“三次颜色全同”,
“三次颜色全不同”,
“三次颜色不全同”,
“三次中无红”,
“三次中无红或无黄”.
解每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有
种可能，因此样本空间含有64个样本点。
每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有
种可能，因此事件
含有8个样本点。
3次抽球都抽到紅球共有
种可能，3次抽球都抽到黄球共有
种可能，3次抽球都抽到白球共有
种可能，因此事件
含有
个样本点。
3种颜色的排列有
种，对应于每一种排列，抽到的球有
种可能，
因此事件
含有
个样本点。
因为事件
含有
个样本点，故事件
含有
个样本点。
每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有
种可能，因此事件
含有8个样本点。
3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有
中可能，3次都抽不到红球和黄球有
中可能，因此事件
含有
个样本点。
由上可得
，
，
，
，
。
4.5个人依次抽5条签,取后不放回.
1）如果5条签中有1条上签,求第3人抽中上签的概率.
2）如果5条签中有1条上签,求前3人中有一人抽中上签的概率.
3）如果5条签中有两条上签,求后两个人都抽不到上签的概率.
解5个人依次抽5条签,有
种结果，故样本点总数为120。
1）第3人抽到上签,其余的人抽到余下的签,有
种结果,故所求的概率为
。
2）类似1）,前3人中每人抽中上签都有
种结果,故共有
种结果,所求的概率为
。
3）从这5条签中取出两条上签和1条非上签有3种可能，前3人抽取这3条取出的签有
种可能，后2人抽取余下的两条签有2种可能，故共有
种结果，所求的概率为
。
5.袋中有10个球,其中有5个红球,3个黄球和2个白球.现从这10个球任取5个.
1）求这5个球中恰有3个红球的概率.
2）求这5个球中恰有3个红球,1个黄球和1个白球的概率.
解不考虑取球的次序，从10个球中选取5个有
种可能，故样本点总数为
。
1）从5个红球中取出3个红球，有
种可能，从剩下的5个球中取出2个球，有
种可能，故样本点数为
，所求得概率为
。
2）从5个红球中取出3个红球，有
种可能，从剩下的5个球中取出1个黄球和1个白球，有
种可能，故样本点数为
，所求得概率为
。
6.在5对夫妻中任选4人,求至少有一对夫妻被选中的概率.
解1考虑选出的人的次序。
在5对夫妻10个人中选出4人有
种可能，样本点总数为
。
先求事件
“至少有一对夫妻被选中”的对立事件
“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。
第1人可以在5对夫妻10人中任选，第2人可以在余下的4对夫妻8人中任选，第3人可以在余下的3对夫妻6人中任选，第4人可以在余下的3对夫妻4人中任选，故事件
含有
个样本点。
由上知
含有
个样本点，事件
的概率是
。
解2考虑选出的人的次序。
在5对夫妻10个人中选出4人有
种可能，样本点总数为
。
先求事件
“至少有一对夫妻被选中”的对立事件
“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。
在5对夫妻中先选出4对排列，有
种选法，在选中的这4对中每对各选一人，有
种选法，故事件
含有
个样本点。
因而
含有
个样本点，事件
的概率是
。
解3不考虑选出的人的次序。
在5对夫妻10个人中选出4人有
种可能，样本点总数为210。
先求事件
“至少有一对夫妻被选中”的对立事件
“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。
在5对夫妻中先选出4对，有
种选法，在选中的这4对中每对各选一人，有
种选法，故事件
含有
个样本点。
由上知
含有
个样本点，事件
的概率是
。
7.有9个学生,其中有3个女生,把他们任意地分到3个小组,每组3人.求每组都有一个女生的概率.
解不考虑分到各组的人的次序。
在9个学生中选出3个人分到第1组有
种可能，在余下的6个学生中选出3个人分到第2组有
种可能，把最后的3个学生分到第3组有1种可能。
样本点总数为
。
在6个男生和3个女生中各选出2个和1个分到第1组有
种可能，在余下4个男生和2个女生中各选出2个和1个分到第2组有
种可能，把最后的2个男生和1个女生分到第3组有1种可能，事件含有
个样本点。
所求的概率是
。
8.同时投掷3个骰子,求掷出的3个面的点数之和是6的概率.
解样本点总数为。
投掷3个骰子，有
种可能的结果.
掷出的3个面的点数之和是6的结果的数目恰好等于多项式
中
的系数.因为
，
上式中
的系数是
故
中
的系数是10.因而所求的概率是
.
9.某学校四个年级的学生各占四分之一,从中任意地抽出6名,求其中每个年级的学生都至少有一名的概率（设学生人数很多,抽取几个学生后各年级学生比例的改变可以忽略）.
解以
记取不到
年级的学生,
.则
;
;
;
.
.
所求的概率是
.
10.一个口袋中有标有号码1到5号的球各一个,另一个口袋中有标有号码3,5,7,10的球各一个.从这两个口袋中随机地各摸出一个球,则摸出的两个球的号码之和不少于9的概率是多少?
解样本空间含有
个样本点，事件
“两个球的号码之和不少于9”含有11个样本点
，
，
，
，
，
，
，
，
。
所求的概率是
。
11.在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概率.
解设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的
天和
天，则两人的出生时间相差不到半天当且仅当
（如右图），从图中看到,矩形面积为2，阴影部分面积为
，故两人的出生时间相差不到半天的概率为
。
12.某城市的调查表明,该城市的家庭中有65%订阅日报,有55%订阅晚报,有75%订阅杂志,有30%既订阅日报又订阅晚报,有50%既订阅日报又订阅杂志,有40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?
解设
“订阅日报”，
“订阅晚报”，
“订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或杂志的家庭所占的百分数为
。
13.掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少?
解掷五枚硬币，有
种结果，样本点总数是32。
则
“恰好出现
个正面”，
。
在5枚硬币中选出
个，有
种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬币出现反面，有1种可能。
故事件
含有
个样本点。
设
“至少出现两个正面”，则
的对立事件
“至多出现一个正面”
含有
个样本点，事件
含有
个样本点。
因而
.
又
含有
个样本点，故
。
从而所求的条件概率为
。
14.设
求概率
.
解
，
，
，
。
15.盒中放有6个乒乓球,其中有4个是新的.第一次比赛时从中任取2个来用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取2个,求第二次取出的球都是新球的概率.又已知第二次取出的球都是新球,求第一次取到都是新球的概率.
解设
“第一次取出的求中没有个新球”,
“第一次取出的求中有1个新球”，
“第一次取出的求中有2个新球”。
“第二次取出的球都是新球”.则
.
.
16.张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是
.求李小姐没有收到电子邮件的条件概率.
解设
”李小姐没有收到电子邮件”,
“张先生没有收到李小姐的答复”.则
，
，
。
。
17.同卵双胞胎有相同的性别,异卵双胞胎有一半有相同的性别,双胞胎中同卵双胞胎的概率是
.如果某对双胞胎有相同的性别,求他们是同卵双胞胎的概率.
解设
“双胞胎为同卵”,
“双胞胎有相同性别”.则
，
，
。
。
18.设有甲乙丙三个箱,甲箱内有
个白球和
个黑球,乙箱内有
个白球和
个黑球,丙箱内有
个白球和
个黑球.今任意取出一箱,再自此箱中任意取出一球,结果发现此球为白球.试求在这种情况下“取到的球属于甲箱”条件概率.
解以
表示事件“取到的球是白球”,分别以
表示“取到甲箱”,“取到乙箱”,“取到丙箱”.则
，
.
19.设
都是事件.又
和
独立,
和
独立,
和
互不相容.
.求概率
.
解
。
20.两个人轮流抛一个硬币,约定谁先抛出正面谁为胜者.求先抛者获胜的概率.
解1设
“第
次抛出正面”，
“先抛者获胜”。
则
。
解2设先抛者获胜的概率为
，则后抛者获胜的概率为
，解方程
得
，故先抛者获胜的概率为2/3。
21.三个人轮流抛一个骰子,约定谁先抛出6点谁为胜者.求先抛者获胜的概率.
解1获胜的概率为
。
解2设先抛者获胜的概率为
，则第二个和第三个获胜的概率分别为为
和
，解方程
得
，故先抛者获胜的概率为30/91。
22.设
都是事件.证明如果
或
则
相互独立.
证1）设
。
则
又
，故
。
因而
。
由此得
相互独立.
2）设
。
则
.
又
，故
。
因而
。
由此得
相互独立.
23.小张,小李,小王三位朋友射击的命中率分别是0,2,0.3,0.4,每人射击一次,求至多有一人没有命中的概率.
解分别以
，
和
记小张,小李和小王三位命中，则所求的概率是
图6.1
。
24.设线路中有元件
如图6.1,它们是否断开是独立的,断开的概率分别是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.
解设
.则
.
解2
.
25.应聘某项工作要先后过4道关,各道关的淘汰率分别是6
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