冀教版数学八年级上册17章专项训练试题及答案.docx
《冀教版数学八年级上册17章专项训练试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《冀教版数学八年级上册17章专项训练试题及答案.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
冀教版数学八年级上册17章专项训练试题及答案
专训1分类思想在等腰三角形中的应用
名师点金：
分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或
结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清
晰、完整、严密的解答．其解题策略为：
先分类，再画图，后计算．
当顶角或底角不确定时，分类讨论
1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为（）
A．40°B．100°
C．40°或70°D．40°或100°
1
2．在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝
2BC，则等腰三角形ABC的底角
的度数为（）
A．45°B．75°
C．45°或75°D．65°
3．若等腰三角形的一个外角的度数为64°，则底角的度数为________．
当底和腰不确定时，分类讨论
4．【中考·荆门】已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长
为（）
A．8或10B．8
C．10D．6或12
5．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．
6．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为
________．
当高的位置关系不确定时，分类讨论
7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
1
由腰的垂直平分线引起的分类讨论
8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的
锐角为40°，求∠B的度数．
由腰上的中线引起的分类讨论
9．等腰三角形ABC的底边BC长为5cm，一腰上的中线BD把该等腰三角形分为周长
差为3cm的两部分．求腰长．
点的位置不确定引起的分类讨论
10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一
点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
（第10题）
A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
2
11．如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的
两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
（第11题）
3
答案
1．D2.C3.32°
4．C5.23或256.25
7．解：
设AB＝AC，BD⊥AC；
（1）当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，
∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝
180°－2×65°＝50°.
（第7题）
（2）当高与另一腰的夹角为25°时，
如图②，高在△ABC的内部，
当∠ABD＝25°时，∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝（180°－∠A）÷2＝57.5°；
如图③，高在△ABC的外部，
∵∠ABD＝25°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°－115°）÷2＝32.5°，
故三角形各个内角的度数为：
65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.
点拨：
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨
论，另外，还要结合图形，判断高在三角形内还是在三角形外．
8．解：
此题分两种情况：
（1）如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，
∵AB＝AC，∴∠B＝（180°－50°）÷2＝65°.
（2）如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝
50°，∠BAC＝130°.∵AB＝AC，
∴∠B＝（180°－130°）÷2＝25°.
综上所述，∠B的度数为65°或25°.
4
（第8题）
9．解：
∵BD为AC边上的中线，
∴AD＝CD.
（1）当（AB＋AD＋BD）－（BC＋CD＋BD）＝3cm时，AB－BC＝3cm，
∵BC＝5cm，∴AB＝BC＋3＝8cm.
（2）当（BC＋CD＋BD）－（AB＋AD＋BD）＝3cm时，BC－AB＝3cm，
∵BC＝5cm，∴AB＝BC－3＝2cm.
但是当AB＝2cm时，三边长为2cm，2cm，5cm，而2＋2＜5，不合题意，舍去．故
腰长为8cm.
点拨：
由于题目中没有指明是“（AB＋AD＋BD）－（BC＋CD＋BD）”为3cm，还是“（BC
＋CD＋BD）－（AB＋AD＋BD）”为3cm，因此必须分两种情况讨论．
10．B
11．解：
本题分四种情况：
（1）当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，
如图①，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝（180°－∠ABC）÷2.
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝（180°－∠DAC）÷2＝∠BAC÷2.
∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，
∴∠DCE＝（180°－∠ABC）÷2－∠BAC÷2＝（180°－∠ABC－∠BAC）÷2＝∠ACB÷2＝
40°÷2＝20°.
（第11题）
（2）当点D，E在点A的同侧，且点D在D′的位置，点E在E′的位置时，如图②，
与
（1）类似，也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.
（3）当点D，E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，
∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝（180°－∠CBE′）÷2＝∠ABC÷2.
5
∵AD＝AC，∴∠ADC＝（180°－∠DAC）÷2＝∠BAC÷2.
又∵∠DCE′＝180°－（∠BE′C＋∠ADC），
∴∠DCE′＝180°－（∠ABC＋∠BAC）÷2＝180°－（180°－∠ACB）÷2＝90°＋∠ACB÷2＝
90°＋40°÷2＝110°.
（4）当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，
∵AD′＝AC，
∴∠AD′C＝（180°－∠BAC）÷2.
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝（180°－∠ABC）÷2.
∴∠D′CE＝180°－（∠D′EC＋∠ED′C）＝180°－（∠BEC＋∠AD′C）＝
180°－[（180－°∠ABC）÷2＋（180°－∠BAC）÷2]＝
（∠BAC＋∠ABC）÷2＝（180°－∠ACB）÷2＝
（180°－40°）÷2＝70°.
综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.
专训2活用“三线合一”巧解题
名师点金：
等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一
线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段
相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．
利用“三线合一”求角的度数
1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB与AC相等．求
顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．
（第1题）
利用“三线合一”求线段的长
6
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC
的周长为24，求AE的长．
（第2题）
利用“三线合一”证线段（角）相等
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明
理由．
（2）如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，仍有BE＝AF.请判断△DEF是
否仍有
（1）中的形状，不用说明理由．
（第3题）
7
利用“三线合一”证垂直
4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.
求证：
EB⊥AB.
（第4题）
利用“三线合一”证线段的倍数关系（构造三线法）
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD
交BF的延长线于点D.试说明：
BF＝2CD.
（第5题）
利用“三线合一”证线段的和差关系（构造三线法）
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：
CD＝AB＋BD.
（第6题）
8
答案
1．解：
因为AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，所以∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD
＝50°.
2．解：
∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，∴BD＋CD＝14.
又∵AD＝BD，
∴AD＋DC＝14.
∴AB＝AC＝AD＋DC＝14.
1
∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝EB＝AB＝7.
2
3．解：
（1）△DEF为等腰直角三角形．理由：
连接AD，易证△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
D为BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）△DEF仍是等腰直角三角形．
点拨：
本题两种情况都是要证明△BDE≌△ADF，进而得到DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
再运用角的转化得到∠EDF＝90°，故可判断△EDF为等腰直角三角形．
4．证明：
如图，过点E作EF⊥AC于F.
9
1∵EA＝EC，∴AF＝2AC.
又∵AB＝
1
2
AC，∴AF＝AB.
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAE.又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS）．∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
（第4题）
5．解：
如图，延长BA，CD交于点E.
（第5题）
∵BF平分∠ABC，∴∠CBD＝∠EBD，
∵CD⊥BD，∴∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，
∴△BDC≌△BDE.
∴BC＝BE.
又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，
∴△ABF≌△ACE（ASA）．∴BF＝CE.
故BF＝2CD.
6．解：
如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，
所以∠AEB＝∠ABC.
（第6题）
因为AD⊥BC，所以AD是△ABE的BE边上的中线，即DE＝DB.
又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.
而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB，所以
CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
10
专训3等腰三角形中四种常用作辅助线的方法
名师点金：
几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将
复杂的问题简单化，例如：
作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰（边）三角形，利用
截长（补短）法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍（折半）法证线段的倍分关系．
作“三线”中的“一线”
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF，
求证：
DE＝DF.
（第1题）
作平行线法
2．在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出
发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
（1）如图①，求证：
PD＝QD；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，
DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？
请说明理由．【导学号：
42282067】
（第2题）
11
升级会员 