人教版八年级数学下册第十七章勾股定理172勾股定理的逆定理练习含答案.docx

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人教版八年级数学下册第十七章勾股定理172勾股定理的逆定理练习含答案

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理练习

第1课时勾股定理的逆定理

一、选择题

1.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.14,36,39B.8,24,25

C.8,15,17D.10,20,26

2.下列定理中，有逆定理的个数是（）

①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b,a2=b2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3．下面各选项给出的是三

角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是（）．

A.1∶1∶2B.1∶3∶4

C.9∶25∶26D.25∶144∶169

4.（易错题）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（）

A

.∠B=∠C-∠A

B.a2=（b+c）（b-c）

C.∠A：

∠B：

∠C=5：

4：

3

D.a:

b:

c=5:

4:

3

5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成各选项

所示的两个直角三角形，其中正确的是（

）

二、填空题

6．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．

7．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；

②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；

③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．

8．若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中a为正整数），则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．

9．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．

10.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为.

三、解答题

11.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.

（1）如果a=0,那么ab=0;

（2）如果x=4,那么x2=16;

（3）面积相等的三角形是全等三角形；

（4）如果三角形有一个内角是钝角，那么其余两个角是锐

角；

（5）在一个三角形中，等角对等边.

12．已知：

如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

13．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

14．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．

15.（教材习题变式）如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3,CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

16.观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？

第n组呢？

第1组:

3=2X1+1，4=2X1X（1+1）,5=2X1X（1+1）+1；

第2组:

5=2X2+1，12=2X2X（2+1）,13=2X2X（2+1）+1；

第3组:

7=2X3+1，24=2X3X（3+1）,25=2X3X（3+1）+1；

第4组:

9=2X4+1，40=2X4X（4+1）,41=2X4X（4+1）+1；

…；

第

7组:

a，b，c.

参考答案

1.C解析∵142+362=1492.392=1521≠1492，

∴A项不是勾股数；

∵82+242=640，252=625≠640

，∴B项不是勾股数；

∵82+152=289，172=289，∴C项是勾股数；

∵102+202=500，262=676≠500，∴D项不是勾股数.

点拨：

一组数是勾股数，必须符合两个条件：

（1）三个数必须是正整数.

（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.

2.B解析①的逆命题是“等腰三角形有两边相等”，是真命题；②的逆命题是“若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则三边长a，b，c满足a2+b2=c2”，是真命题；③对应角相等的两个三角形不一定全

等；④若a2=b2，则a与b不一定相等，所以③④的逆命题是假命题，没有逆等理.

3．C．

4.C解析

A选项，∵∠B=∠C-∠A，∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠C-∠A+∠C=180°，∴∠C=90°，∴ΔABC是直角三角形；B选项，a2=（b+c）（b-c），即a2+c2=b2，∴ΔABC为直角三角形；C选项，∠A：

∠B：

∠C=5：

4：

3，则最大角∠A=180°×

=75°，则ΔABC为锐角三角形；D选项，a：

b：

c=5：

4：

3，则a2=b2+c2，则ΔABC为直角三角形，故选C.

5.C解析因为72+242=252，152+202=252，所以用长度为7，24，25和15，20，25的小木棒能分别摆成直角三角形，故选C.

6．互逆命题，逆命题．

7．①锐角；②直角；③钝角．

8．24．提示：

7＜a＜9，∴a＝8．

9．13，直角三角形．提示：

7＜c＜17．

10.14解析由AD2+BD2=AB2可知ΔABC为直角三角形，则AD为ΔABC的BC边上的高，在RtΔACD中，CD2=AC2-AD2=152-122=81，所以CD=9，B

C=BD+CD=5+9=14.

11.解：

（1）的逆命题是如果

ab=0，那么a=0.不成立

.

（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.

点拨：

要确定一个命题的逆命题，只要将原命题的题设与结论互换即可.

12．

13．南偏东30°．

14．等腰三角形或直角三角形．提示：

原式可变形为（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0．

15.解：

如图所示，连接AC.

∵∠B

=90°，

∴ΔABC是直角三角形.

依据勾股定理的AC2=AB2+BC2=42+32=25=52，∴AC=5.

在ΔACD中，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=169，∴AD2=AC2+CD2.

∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.

∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD=

AB•BC+

AC•CD=

×4×3+

×5×12=6+30=36.

∴四边形ABCD的面积为36.

方法：

要求不规则四边形ABCD的面积，可把四边形分割成几个三角形，这是常用的方法.此题是先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断ΔACD为直角三角形，即原四边形ABCD可分割成两个直角三角形.

16.分析：

观察已知勾股数的特点，找出规律.

解：

第7组：

a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113.

第n组：

a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.

17.2勾股定理的逆定理

第2课时勾股定理的逆定理的应用

一、选择——基础知识运用

1．在△ABC中，AB=

，BC=

，AC=

，则（　　）

A．∠A=90°B．∠B=90°C．∠C=90°D．∠A=∠B

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）

A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形

B．如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°

C．如果∠A：

∠B：

∠C=1：

3：

2，那么△ABC是直角三角形

D．如果a2：

b2：

c2=9：

16：

25，那么△ABC是直角三角形

3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）

A．a=1，b=2，c=3B．a=4，b=2，c=3

C．a=4，b=2，c=5D．a=4，b=5，c=3

4．已知四个三角形分别满足下列条件：

①三角形的三边之比为1：

1：

；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：

2：

3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。

其中直角三角形有（　　）个。

A．4B．3C．2D．1

5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）

A．∠A+∠C=∠B

B．a=

，b=

，c=

C．（b+a）（b-a）=c2

D．∠A：

∠B：

∠C=5：

3：

2

二、解答——知识提高运用

6．一个三角形三条边的比为5：

12：

13，且周长为60cm，求它的面积。

7．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状。

8．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2

，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积。

9．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。

工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。

（1）你认为这个零件符合要求吗？

为什么？

（2）求这个零件的面积。

10．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？

简述你的作法，并说明理由。

11．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是

米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是

米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？

如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？

。

12．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？

参考答案

一、选择——基础知识运用

1．【答案】A

【解析】∵AB2=（

）2=2，BC2=（

）2=5，AC2=（

）2=3，

∴AB2+AC2=BC2，

∴BC边是斜边，

∴∠A=90°。

故选A．

2．【答案】B

【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：

∠B：

∠C=1：

3：

2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：

b2：

c2=9：

16：

25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：

B。

3．【答案】D

【解析】A、因为1+2=3，所以三条线段不能组成三角形，一定不能组成直角三角形；

B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；

C、因为22+42≠52，所以三条线段不能组成直角三角形；

D、因为42+32=52，所以三条线段能组成直角三角形。

故选：

D。

4．【答案】A

【解析】①因为12+12=（

）2三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

②因为92+402=412三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

③设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，则三角分别为30°，60°，90°，故是直角三角形；

④因为符合直角三角形的判定，故是直角三角形。

所以有4个直角三角形。

故选：

A。

5．【答案】B

【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；

B、设a=20k，则b=15k，c=12k，

∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，

故不能判定是直角三角形；

C、∵（b+a）（b-a）=c2，

∴b2-a2=c2，

即a2+c2=b2，

故是直角三角形，正确；

D、∵∠A：

∠B：

∠C=5：

3：

2，

∴∠A=

×180°=90°，

故是直角三角形，正确．

故选：

B。

二、解答——知识提高运用

6．【答案】120cm2

【解析】设该三角形的三边是5k，12k，13k．

因为（5k）2+（12k）2=（13k）2，

所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形．

根据题意，得5k+12k+13k=60，

解得k=2，

则5k=10，12k=24，

则该直角三角形的面积是120。

故答案为：

120cm2

7．【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，

∴b2-4ac=16-4b=0

解得：

b=4，

∵a=3，c=5，

∴32+42=52，

∴△ABC为直角三角形．。

8．【答案】连接BD，

∵∠C=90°，

∴△BCD为直角三角形，

∵BD2=BC2+CD2=22+12=（

）2，

∵BD＞0，

∴BD=

，

在△ABD中，

∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，

∴AB2+BD2=AD2，

∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，

∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=

×2

×

+

×2×1=6．

故四边形ABCD的面积是6。

9．【答案】

（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，

∴AB2+AD2=BD2，

BD2+BC2=DC2，

∴△ABD、△BDC是直角三角形，

∴∠A=90°，∠DBC=90°，

故这个零件符合要求。

（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积

=3×4÷2+5×12÷2

=6+30

=36．

故这个零件的面积是36。

10．【答案】能检查。

作法：

如图所示，

（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B。

（2）连接AB得△PAB。

（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角。

理由：

∵PA=3cm，PB=4cm，PA2+PB2=32+42=52．

若AB=5cm，则PA2+PB2=AB2，

根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角。

11．【答案】龙梅走的路程：

×4×60=120（米），

玉荣走的路程：

×4×60=160（米），

∵1202+1602=2002，

∴她们走的方向成直角，

以原来的速度相向而行相遇的时间：

200÷（

+

）=200÷

=

=171

（秒）；

答：

她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171

秒后能相遇．

12．【答案】BM=8×2=16海里，

BP=15×2=30海里，

在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，

BM2+BP2=PM2，

∴∠MBP=90°，

180°-90°-60°=30°，

故乙船沿南偏东30°方向航行。