高考数学理之数列专题11数列的通项叠加法累乘法求通项解析版.docx
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高考数学理之数列专题11数列的通项叠加法累乘法求通项解析版
数列
11数列的通项(
叠加法、累乘法求通项)
、具体目标:
掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式
恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础
.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律
、知识概述:
1.数列的通项公式:
1)如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通
S1(n1)
SnSn1(n2)
2)数列an的前n项和Sn和通项an的关系:
an
2.求数列的通项公式的注意事项:
(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用1n或
n1
1n1来调整.
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.由不
完全归纳法得出的结果是不可靠,要注意代值验证.
(3)对于数列的通项公式要掌握:
①已知数列的通项公式,就可以求出数列的各项;②根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式,这是一个难点,在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况,分解所给数列的前几项,看看这几项的分解中.哪些部分是变化的,哪些是不变的,再探索各项中变化部分与序
号的联系,从而归纳出构成数列的规律,写出通项公式.
3.数列通项一般有三种类型:
(1)已知数列是等差或等比数列,求通项,破解方法:
公式法或待定系数法;
(2)已知Sn,求通项,破解方法:
利用Sn-Sn-1=an,但要注意分类讨论,本例的求解中检验必不可少,值
得重视;(3)已知数列的递推公式,求通项,破解方法:
猜想证明法或构造法。
4.已知数列an的前n项和Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步:
(1)先利用a1S1求出a1;
(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式;
(3)对n1时的结果进行检验,看是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;
如果不符合,则应该分n1与n2两段来写.
【注】该公式主要是用来求数列的通项,求数列通项时,一定要分两步讨论,结果能并则并,不并则分
5.递推公式推导通项公式方法:
1)叠加法:
an1anf(n)
4)待定系数法:
an1panqn(其中p,q均为常数,(pq(p1)(q1)0)).(或an1panrqn,
其中p,q,r均为常数)
qn1,得:
ann11
p
an
n
1,令bn
aqnn,得:
bn1pbn
1
1,再按
q
q
q
q
q
q
q
解法:
在原递推公式两边同除以
5)待定系数法:
第(3)种情况求解
an1pananb(p1,0,a0)
解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列.
2
6)待定系数法:
an1panan2bnc(p0,1,a0)
7)待定系数法:
an2pan1qan(其中p,q均为常数).
解.
第(3)种情况求解.).
类型1an1anf(n)
答案】
已知数列an满足a12,an1nan,求an。
n13n1n1nn
,a21=
【分析】根据所给的关系式,
依次令
n=1、2、
⋯、20列出
20个式子,
再将
20个式子相乘化简,根据
比数列的性质和条件求出
a21的值
【解答】解:
由ban1
n
得:
b1
a2,b2
a3b
,b3
a4,⋯,
b20
a21.
nan
a1
a2
a3
a20
以上20个式子相乘得,b1b2b3b
a2
20
a3a4
a21
a21
a1
a2a3
a20
a1
∵数列{bn}为等比数列,且b10?
b11=2,数列{an}的首项为1,∴210=21,a1
∴a21=1024,∵b10?
b11=2,∴b7b14=2,
【答案】:
2,1024.
2.【2019优选题】已知数列{an}中,a120,an1an2n1,nN*,则数列{an}的通项公式an
【解析】由题意an1an
2n
1可得
:
an1
an
2n1,
an
an1
2n11,
an1an22n
21,an2
an3
2n
3
1,K,
a3
a241
,a2
a12
1,a120.
将以上各式相加得:
an2n1
n
2
n
3L
21
n1
20=n2
2n
21
【答案】n22n
21
3.【2016江西】在数列{an}中,a1
2,
an1
a
nln(1
1n),
n
则an
(
)
A.2lnn
B.2(n
1)lnn
C.2
nlnn
D.
1n
lnn
【解析】a2a1
ln2
a3a2
3
ln
2
n1
将以上各式相加得:
3
所以有:
ana1ln2
2
答案】A
4.【2019优选题】
已知数列
an满足a1
2,
an1an10(n
N),则此数列的通项an等于()
A.n21
B.n1
C.1n
D.
3n
【解析】法一:
由
an1an
1得,数列
an
是以2为首项,-
1为公差的等差数列所以有ann3,
也可用叠加法.
法二:
由an1a
n10可得an1an
1,
所以有anan1
1,an1an21,an2an31,
La2a11。
将上面的式子相加可得
an
a1n
1
1
n1,所以有ann3.
【答案】D
5.【2018年广东】已知数列an中a1
2,(n
2)an1
(n
1)an
0(nN),求数列an的通项公式
【解析】由(n2)an1(n1)an0
得an
1n
1
ann2
an
an1
an2
a3
a2a
n
n1n
2
3
24
,
an
a1
2
an1
an2
an3
a2
a1
n1
nn
1
4
3n1
4
an
n
N
n1
6.【
2016山西】
已知数列
an
满足a1
1,an
n
an13
1(n
2),
求数列an的通项公式
解析】由anan13n1可得,
7.【2019优选题】已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(an,an1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证:
bn·bn+2【解析】解法一:
(Ⅰ)由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1,又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
an=n从而bn+1-bn=2n.则bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+··(·b+2-b1)+b1
nn12nn
=2n-1+2n-2+···+2+1==2n-1.
12
因为bn·nb+2-b2n1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·n2+4·n2=-2n<0,所以bn·nb+2(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)因为b2=1,
2nn+12
bn·bn+2-bn21=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b2n1
=2n+1·bn+1-2n·nb+1-2n·n2+1=2n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)=2n(bn-2n)=⋯=2n(b1-2)=-2n<0,所以bn·bn+28.【2019优选题】数列an中,a12,an1ancn(c是常数,n1,2,3,L),且a1,a2,a3成公
比不为1的等比数列.(I)求c的值;(II)求an的通项公式.
【解析】(I)a12,a22c,a323c,
因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2c)22(23c),解得c0或c2.
当c0时,a1a2a3,不符合题意舍去,故c2.
(II)当n≥2时,由于
a2a1c,
a3
a2
2c,
an
an1
(n
1)c,
所以
an
a1
[12L
(n
1)]c
n(n1)c.
2.
又a1
2
,c
2,故an
2
n(n
1)n2n2(n2,3,L).
当n1时,上式也成立,
所以
an
2n
n2(n
1,2,L
)
a
0,若点An(n,n1)(nan
2的自然数n
均有:
an
1
an
1.
a11,对于大于或等于
an
an1
(1)求C的方程;
(2)求an
的通项公式.
【解析】
(1)
设C的方程为
y
ax
b,f
(1)
0
b
1
又∵
An在C上
,∴
an1
na1
an
而an1
an1,
(na
1)[a(n
1)
1]
1
∴a1
an
an1
∴C的方程为y
x
1
(2)∵
an1n
1
,∴
a2
2,a3
3,
a4
4,
Lan
L,n,
an
a1
a2
a3
an1
以上n1个等式相乘得:
an123Ln又a11∴ann!
a1
2.若在数列an中,a13,an1an3,求通项an.
【解析】法一:
可用等差数列求通项.
法二:
由an1
an
3得,an1an
3,所以有:
a2a1
3,a3a2
3,
a4
a3
3
M
an
an1
3
将各式相加得:
an
a1
3(n1)
所以可得通项为:
ana13(n1)
即:
an3n6(nN)
3.若在数列an中
,a1
3,
an1an
n,求通项
an.
【解析】由an1
an
n得,
an1an
n
所以anan1
n
1,
an1an2
n2
⋯,a2a1
1
将以上各式相加得
:
an
a1
(n1)
(n2)
1
又a13所以an=
n(n
1)
3.即:
an
n21
n
22
3(nN)
2
2n1,得an1
an
2n
an2)L
(a3a2)
(a2
a1)
2)1]L
(22
1)
(21
4.已知数列{an}满足an1
1](n1)1
a1
1)1
an2n1,a11,求数列{an}的通项公式
an(anan1)(an1[2(n1)1][2(n2[(n1)(n2)L22(n1)n(n1)1
2
(n1)(n1)1
n2
【解析】
因为an1
2
5n
an,
a13,所以an0,则an125n,故
an
a
nan1L
a3
a2
an
a1
an
1an2
a2
a1
(2
5n1)(2
5n2)
L
(2
52)(251)3
n1(n1)(n2)L215
n(n1)
32n152
n(n1)
所以数列{an}的通项公式为
an32n1
52
n
N
8.已知数列{an}满足a11,
ana12a2
3a3
L
(n
1)an1(n2),求{an}的通项公式
【解析】因为ana12a2
3a3L(n
1)an
1(n
2)
①
所以an1a12a23a3
L(n1)an1
nan
②
an
(an
an
1)
(an1
an2
)L
(2
3n1
1)
(2
3n2
1)
2(3
n1
3n2
L
32
31)
3(1
3n1
)
2
(n
1)
3
1
3
3n
3
n1
3
3n
n
1
所以
an
3n
n
1.(nN
).
用②式-①式得an1an
nan.则an1
(n1)an(n
2),故aann1
n1(n2).所以
anan1
an1an2
a3
a2
a2
[n(n1)L43]a2③
由ana12a23a3L(n1)an1(n2),取n2得a2a12a2,则a2a1,又知a11,则a21,
代入③得an1345Ln.本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为an1n1(n2),进而求出anan1La3a2,从而可得当n2时,an的表达式,最后再求出数anan1an2a2
列{an}的通项公式.
所以,{an}的通项公式为an1345Ln或ann!
.
2