高考数学理之数列专题11数列的通项叠加法累乘法求通项解析版.docx

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高考数学理之数列专题11数列的通项叠加法累乘法求通项解析版

数列

11数列的通项（

叠加法、累乘法求通项）

、具体目标：

掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式

恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础

.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律

、知识概述：

1.数列的通项公式：

1）如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通

S1（n1）

SnSn1（n2）

2）数列an的前n项和Sn和通项an的关系：

an

2.求数列的通项公式的注意事项：

（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用1n或

n1

1n1来调整．

（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不

完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.

（3）对于数列的通项公式要掌握：

①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序

号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.

3.数列通项一般有三种类型：

（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：

公式法或待定系数法；

（2）已知Sn，求通项，破解方法：

利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值

得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：

猜想证明法或构造法。

4.已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：

（1）先利用a1S1求出a1；

（2）用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1（n2）便可求出当n2时an的表达式；

（3）对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；

如果不符合，则应该分n1与n2两段来写．

【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分

5.递推公式推导通项公式方法：

1）叠加法：

an1anf（n）

4）待定系数法：

an1panqn（其中p,q均为常数，（pq（p1）（q1）0））.（或an1panrqn,

其中p,q,r均为常数）

qn1，得：

ann11

p

an

n

1，令bn

aqnn，得：

bn1pbn

1

1，再按

q

q

q

q

q

q

q

解法：

在原递推公式两边同除以

5）待定系数法：

第（3）种情况求解

an1pananb（p1，0，a0）

解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列.

2

6）待定系数法：

an1panan2bnc（p0,1,a0）

7）待定系数法：

an2pan1qan（其中p,q均为常数）.

解.

第（3）种情况求解.）.

类型1an1anf（n）

答案】

已知数列an满足a12，an1nan，求an。

n13n1n1nn

，a21＝

【分析】根据所给的关系式，

依次令

n＝1、2、

⋯、20列出

20个式子，

再将

20个式子相乘化简，根据

比数列的性质和条件求出

a21的值

【解答】解：

由ban1

n

得：

b1

a2，b2

a3b

，b3

a4，⋯，

b20

a21.

nan

a1

a2

a3

a20

以上20个式子相乘得，b1b2b3b

a2

20

a3a4

a21

a21

a1

a2a3

a20

a1

∵数列{bn}为等比数列，且b10?

b11＝2，数列{an}的首项为1，∴210＝21,a1

∴a21＝1024，∵b10?

b11＝2，∴b7b14＝2，

【答案】：

2，1024．

2.【2019优选题】已知数列{an}中,a120,an1an2n1,nN*,则数列{an}的通项公式an

【解析】由题意an1an

2n

1可得

：

an1

an

2n1，

an

an1

2n11，

an1an22n

21，an2

an3

2n

3

1，K，

a3

a241

，a2

a12

1，a120.

将以上各式相加得：

an2n1

n

2

n

3L

21

n1

20=n2

2n

21

【答案】n22n

21

3.【2016江西】在数列{an}中，a1

2，

an1

a

nln（1

1n），

n

则an

（

）

A．2lnn

B．2（n

1）lnn

C．2

nlnn

D．

1n

lnn

【解析】a2a1

ln2

a3a2

3

ln

2

n1

将以上各式相加得：

3

所以有：

ana1ln2

2

答案】A

4.【2019优选题】

已知数列

an满足a1

2，

an1an10（n

N），则此数列的通项an等于（）

A.n21

B.n1

C.1n

D.

3n

【解析】法一：

由

an1an

1得，数列

an

是以2为首项，－

1为公差的等差数列所以有ann3，

也可用叠加法.

法二：

由an1a

n10可得an1an

1，

所以有anan1

1，an1an21，an2an31，

La2a11。

将上面的式子相加可得

an

a1n

1

1

n1，所以有ann3.

【答案】D

5.【2018年广东】已知数列an中a1

2,（n

2）an1

（n

1）an

0（nN），求数列an的通项公式

【解析】由（n2）an1（n1）an0

得an

1n

1

ann2

an

an1

an2

a3

a2a

n

n1n

2

3

24

，

an

a1

2

an1

an2

an3

a2

a1

n1

nn

1

4

3n1

4

an

n

N

n1

6.【

2016山西】

已知数列

an

满足a1

1,an

n

an13

1（n

2），

求数列an的通项公式

解析】由anan13n1可得，

7.【2019优选题】已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（an,an1）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+2an，求证：

bn·bn+2

【解析】解法一：

（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+（a-1）×1=n.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

an=n从而bn+1-bn=2n.则bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+··（·b+2-b1）+b1

nn12nn

=2n-1+2n-2+···+2+1==2n-1.

12

因为bn·nb+2-b2n1=（2n-1）（2n+2-1）-（2n-1-1）2=（22n+2-2n+2-2n+1）-（22n+2-2-2n+1-1）=-5·n2+4·n2=-2n<0,所以bn·nb+2

（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,

2nn+12

bn·bn+2-bn21=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-b2n1

=2n+1·bn+1-2n·nb+1-2n·n2+1=2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=⋯=2n（b1-2）=-2n<0，所以bn·bn+2

8.【2019优选题】数列an中，a12，an1ancn（c是常数，n1，2，3，L），且a1，a2，a3成公

比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求an的通项公式．

【解析】（I）a12，a22c，a323c，

因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2c）22（23c），解得c0或c2．

当c0时，a1a2a3，不符合题意舍去，故c2．

（II）当n≥2时，由于

a2a1c，

a3

a2

2c，

an

an1

（n

1）c，

所以

an

a1

[12L

（n

1）]c

n（n1）c．

2．

又a1

2

，c

2，故an

2

n（n

1）n2n2（n2，3，L）．

当n1时，上式也成立，

所以

an

2n

n2（n

1，2，L

）

a

0，若点An（n,n1）（nan

2的自然数n

均有：

an

1

an

1.

a11，对于大于或等于

an

an1

（1）求C的方程；

（2）求an

的通项公式．

【解析】

（1）

设C的方程为

y

ax

b，f

（1）

0

b

1

又∵

An在C上

，∴

an1

na1

an

而an1

an1，

（na

1）[a（n

1）

1]

1

∴a1

an

an1

∴C的方程为y

x

1

（2）∵

an1n

1

，∴

a2

2，a3

3，

a4

4，

Lan

L，n，

an

a1

a2

a3

an1

以上n1个等式相乘得：

an123Ln又a11∴ann!

a1

2.若在数列an中，a13，an1an3，求通项an.

【解析】法一：

可用等差数列求通项.

法二：

由an1

an

3得，an1an

3，所以有：

a2a1

3，a3a2

3，

a4

a3

3

M

an

an1

3

将各式相加得：

an

a1

3（n1）

所以可得通项为：

ana13（n1）

即：

an3n6（nN）

3.若在数列an中

，a1

3，

an1an

n，求通项

an.

【解析】由an1

an

n得，

an1an

n

所以anan1

n

1，

an1an2

n2

⋯，a2a1

1

将以上各式相加得

：

an

a1

（n1）

（n2）

1

又a13所以an=

n（n

1）

3.即：

an

n21

n

22

3（nN）

2

2n1，得an1

an

2n

an2）L

（a3a2）

（a2

a1）

2）1]L

（22

1）

（21

4.已知数列{an}满足an1

1]（n1）1

a1

1）1

an2n1，a11，求数列{an}的通项公式

an（anan1）（an1[2（n1）1][2（n2[（n1）（n2）L22（n1）n（n1）1

2

（n1）（n1）1

n2

【解析】

因为an1

2

5n

an，

a13，所以an0，则an125n，故

an

a

nan1L

a3

a2

an

a1

an

1an2

a2

a1

（2

5n1）（2

5n2）

L

（2

52）（251）3

n1（n1）（n2）L215

n（n1）

32n152

n（n1）

所以数列{an}的通项公式为

an32n1

52

n

N

8.已知数列{an}满足a11，

ana12a2

3a3

L

（n

1）an1（n2），求{an}的通项公式

【解析】因为ana12a2

3a3L（n

1）an

1（n

2）

①

所以an1a12a23a3

L（n1）an1

nan

②

an

（an

an

1）

（an1

an2

）L

（2

3n1

1）

（2

3n2

1）

2（3

n1

3n2

L

32

31）

3（1

3n1

）

2

（n

1）

3

1

3

3n

3

n1

3

3n

n

1

所以

an

3n

n

1.（nN

）.

用②式－①式得an1an

nan.则an1

（n1）an（n

2），故aann1

n1（n2）.所以

anan1

an1an2

a3

a2

a2

[n（n1）L43]a2③

由ana12a23a3L（n1）an1（n2），取n2得a2a12a2，则a2a1，又知a11，则a21，

代入③得an1345Ln.本题解题的关键是把递推关系式an1（n1）an（n2）转化为an1n1（n2），进而求出anan1La3a2，从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数anan1an2a2

列{an}的通项公式.

所以，{an}的通项公式为an1345Ln或ann!

.

2