《有限单元法》15章课后习题答案.docx
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《有限单元法》15章课后习题答案
习题1.2:
在用有限元法求解时,边界条件总是满足的,控制方程的不完全匹配,会产生误差。
题中所
23
给出的近似函数:
φa+ax+ax+ax,应该满足边界条件,对于情况
（1）,代入边
0123
2
1aLaL
12
界条件可得aa0,,从而
03
3
L
333
xxx
2
φax?
+ax?
+
（1）
12
23
LLL
3
x
上式中的最后一项前面没有待定系数,这是由于使用了在xL处φ1的强制边界条件。
3
L
从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。
将
（1）
式代入教材（1.2.26）式,得到残量:
x66xx
Rxa?
6+a2?
++Qx
12
23
LLL
不同的求解方法,如配点法、子域法和伽辽金法,只是残量在某种意义上某个区域加权积分
为零。
配点法强制残量Rx在有限个点严格为零,点的个数取决于未知数个数,这里为2,通常取
所选的点在域内均匀分布,则取xL/3和x2L/3处,Rx0,这样得到
LL2
R0,R0,从而可以解出待定系数aa,。
带入
（1）式可以得到φ。
12
33
配点法仅考虑了有限个点的局部特性,子域法则要求在有限个子域内残量的积分
i
Rxdx0为零,子域的个数仍然取决于未知函数个数,通常选取各子域的并集为整个
∫i
待求区域,一般情况可以选择各子域大小相同,但对于某些局部变化较复杂的区域,可以缩
小子域的大小,使得子域分布更合理。
例如取子域为x|0≤≤xL/2,?
x|L/2≤≤xL,则利用Rxdx0,Rxdx0,
12
∫∫
12
可以求出待定系数aa,。
12
伽辽金法作为加权余量法的特殊形式,权函数选择为插值函数NN,,
12
33
xx
2
这里Nxx?
Nxx?
这样,利用NxRxdx0,i1,2可以求出待
12i
2∫LL
定系数aa,。
12
对于其余边界条件情况可依此类推。
练习题1.4,注意近似函数要满足边界条件,从而可知截面及坐标系如图所示:
很多同学把积分区域弄错了,也有不少同学计
算错误。
这里,由于边界为零,采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。
最终计算得
444
到:
a4608/13π,a-512/15π,a-1536/85π。
123
练习题1.5,泛函的欧拉方程基本没太多问题,泛函为零得到边界条件:
L
23?
dwdwdw?
δδ?
w023dxdxdx0
2
22
L?
EIdwkw
1.5如有一问题的泛函为∏w++qwdx,其中E,I,k是常数,q?
2
∫
0
22dx?
是给定函数,w是未知函数,试导出原问题的微分方程和边界条件22
Ldwdw?
δ∏wEIδ+kwδδw+qwdx
∫22
0
dxdxL
2223
LLdwdδδwdwdwdwdδw
EIdxEIEIdx2223
∫∫
00
dxdxdxdxdxdx0LL
234
L
dwdδwdwdw
EI?
+EIδδwEIwdx
23∫4
0
dxdxdxdx
00
224
LLdwdwdwδ∏wEIδ+kwδδw+qwdxEI+kw+qδwdx
∫∫224
00
dxdxdxLL
23
dwdδwdw
+EIEIδw
23
dxdxdx
00
4
dw
微分方程:
EI+kw+q0
4
dx
2233
dwdwdwdw
边界条件:
0,0
2233
dxdxdxdx
x0xLx0xL分强制边界和自然边界。
补充题
试作加权余量发的最小二乘配点法,并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。
（最小二乘配点法思路是,利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件,去建
立求解试函数系数的方程。
配点法是强迫余量误差在所选点上为0,最小二乘配点法则是余
量在所选点上的误差,满足平方和最小。
）
解:
近似函数为uxNxa,不失一般性
ii余量为:
RxAu?
fxANxa?
fx最小二乘配点法取权函数
ii
wANaδx?
≥x其中j1,,n;k1,,m且mn
jiik?
a
j加权余量要求wRd?
0
j
∫T
wRd?
ANxaδxx[ANxafx]d?
jiikii
∫∫a?
j?
T
ANxδx?
x[ANxa?
fx]d?
jkii
∫m
T
ANx[ANxafx]
∑jkikik?
k1mm
TT
ANANaANf
∑∑
jiij?
kk11Ka-P写成矩阵形式
m
T
因此,kANANk,系数矩阵对称,且无需积分。
ij∑jijik1
复习题1.7
自然边界条件强制边界条件的区别何在?
为什么这样命名?
对于一个给定的微分方程,如何
区分这两类边界条件?
自然边界条件与强制边界条件,二者都是针对边值条件来说的。
边值条件一般有三类边界条件。
第一类:
狄里克莱Dirichlet
条件;第二类,诺依曼Neumann条件;第三类,前两者的混合条件,也叫洛平Robin条件
在选择近似函数时,已经事先满足的边界条件为强制边界条件。
而自然边界条件则是在将等
效形式化为弱形式时包含在边界积分场上的边界条件。
对于2m阶微分算子,含0到m-1阶导数的边界条件称为强制边界条件,近似函数应该事先
满足。
含m到2m-1阶导数的边界条件称为自然边界条件,近似函数不必事先满足。
对于给
定的微分方程,判断其阶次,再依据边界所含导数阶数可区分两类边界。
思考题1.8泛函在什么条件下有极值?
了解泛函是否有极值的意义何在?
2
δδ∏00且或∏,泛函极值性对于判断解的近似性质有意义,利用它可以对解的上下界做出估计。
思考题1.9什么是里兹法?
通过它建立的求解方法有什么特点?
里兹方法收敛性的定义是
什么?
收敛条件是什么?
里兹法:
在某一函数空间寻找试探函数,利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化
为该函数关于权值的极值问题。
其特点是:
试探函数是全域的,解的精度依赖于试探函数的
选取,其收敛性有明确的结论。
收敛性意义:
当在∞维空间中选取试探函数,当试探函数的数目趋于∞时,利用里兹法得
到的近视解将收敛于精确解。
收敛条件:
1完备性,2试探函数满足C连续性
m?
1
思考题1.0里兹法的优缺点?
举例说明
优点:
理论简单,收敛性有严格的理论基础,得到的求解方程的系数矩阵是对称的,在场函
数事先满足强制边界条件情况下,解具有上下界性质。
缺点:
当求解域的形状很不规则时候,里兹法所要找的试探函数难以满足全部的强制边界条
件,这样会降低精度。
另外,由于其是基于变分原理,对于没有等价泛函的问题无法处理。
习题1.6两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。
2
22
L?
EIdwkw
∏w++qwdx∫2
0
22dx?
n
ixπ
（1）选取满足边界条件的三角级数近似解wasin,∑i
L
i1
22
πxdwaππxdwaππx
wasin,w′cos,w′′sin
22
LdxLLdxLL
22
L
EIaππxkπxπx
222
∏wsin+asin+qasindx2
∫
0
22LLLL242
EIaπkLa2L
++qa
3
44Lπ
44
?
∏EIπakLa24LqqL
++0→a
354
?
+a2L2πEIπkπL
44
4qLπxL4qL
wsin,当x,w
5454
EIπ+kπLL2EIπ+kπL
（2）选取满足边界条件的幂级数近似解
wxxL?
a++ax..取一次waxxL?
12
2
dwdw
′′′
waL2ax,wa?
2
2
dxdxL
EIk?
2222
∏w4a+axx?
L+qaxx?
Ldx
∫?
0
22
253
kaLqaL
2
2EILa+606
532
?
∏kaLqL5qL40EILa+→a?
4
?
+a306120EIkl
24
5qLL5qL
wxLx当x,w
54
120EI+kl2480EI+4kL
4
L5qL
精确解w?
?
?
应该是三角级数更接近精确解。
因为是最小位能原理建立的
2384EI
泛函,因此近似解比精确解要偏小。
因此只要比较三角函数和幂函数的结果,就可以知道哪
个更精确了。
另外,取不同的阶数,逼近速度不同,三角函数更快。
（注意:
只要满足强制边界就可以,怎么判断是强制还是自然?
）习题1.7
δ∏φδφφδφ?
k+kQdδφαφ?
qδφdΓ
[]
∫∫Γ
q
?
xxy?
y?
22φφφ?
k+k+Qdδφ?
+kδφdαφ?
qδφdΓ
[]
∫∫22?
∫ΓΓ
qxy?
n22?
φφ?
φ?
φ?
k+k+Qdδφ?
+kδφdαφqdkδφΓ22?
∫∫∫?
Γ?
ΓΓ
?
xy?
?
n?
n22φφ
欧拉方程:
k+kQ+0
22xyφ
Γ自然边界:
αφqk0
φ
?
nφ
Γ?
Γ强制边界:
k0
q
?
n习题1.8:
板弯曲问题的平衡方程为:
444
qxy,www
+2+
4224
?
xxy?
yD
位移边界条件?
w
ww,θn
?
w
加权余量法（事先满足强制边界条件ww,θ）得到等效积分形式:
n
444www?
w
δwD+20+?
qdxdy?
δw?
θds
（1）?
04224
∫∫
?
Γ
θ
?
xxy?
y?
n
分部积分得
433δwww?
w
δδwdxdywndsdxdy
x
∫43?
∫∫3Γx?
xxx3222wwδδwndsndsδdxdy?
xx∫∫32∫22
ΓΓ?
xxx?
x?
x?
4w
δwdxdy
22
∫xy
33www
δδwndsdxdy
x
∫∫22
Γ?
xy?
xxy
3222wwwww
δδwndsndsδdxdy?
xx?
∫∫22∫22
ΓΓxy?
x?
y?
x?
y?
2223ww
δdxdy?
δδnds+wnds?
xx
∫22∫2∫2ΓΓ
?
x?
y?
x?
yxy?
2223ww
δdxdy?
+δδndswnds?
222y2y
∫∫∫ΓΓ
?
y?
x?
y?
xyx?
433δwww?
w
δδwdxdywndsdxdy
43y3
∫?
∫∫Γy?
yyy3222wwδδwndsndsδdxdy?
3yy222∫∫∫
ΓΓ?
yyy?
y?
y?
代入
（1）化简,并利用:
?
ww?
w
nn+
xynx?
y
可得最终结果（略）。
3222wwwww
δδwnds?
+ndsδdxdy?
xx?
∫∫32∫22
ΓΓ?
xxx?
x?
x?
2223?
ww?
+δdxdy?
+δδndswnds?
yy
∫22∫2∫2ΓΓ
?
y?
x?
y?
xyxD?
0
2223ww?
+δdxdy?
δδnds+wnds?
xx
∫22∫2∫2ΓΓx?
y?
x?
yxy3222
wwwww
+?
δδwndsnds+δdxdyyy∫∫32∫22
ΓΓ?
yyy?
y?
y?
w
?
qδwdxdy?
δw?
θds0
[]
∫∫
?
Γ
θ
?
n22
2222
1w?
δ+2+?
2qwdxdy2222
∫2?
x?
y?
x?
y?
w
D?
δw?
θds0
0
∫
Γ
θ
2222?
n?
ww+δw+?
dsδ+ds?
∫∫2222
ΓΓ
?
n?
x?
y?
nxyw
4?
δ∏wδwD?
w?
qdS?
δw?
θds
0
∫∫Γ
θ
?
n
?
w
4
Dδw?
wd?
?
δw?
θdsqδwd?
0
∫∫∫
?
Γθ
?
n
422
δδw?
wd?
?
wwdδ?
w?
wd
∫∫∫2222
?
δwwd?
?
δδ?
wwd?
+wwd?
∫∫∫2
2w
1?
w
22
δwd?
+δδwds?
wds
∫∫∫ss
2nn
?
w
4
δ∏wδw?
wd?
?
δw?
θdsqδwd?
∫∫∫
?
Γθ
?
n
2w
2
1ww22
δDwqwd?
+Dδw?
δw?
θdsDδwds
000∫∫∫ΓΓ
θw
2nn?
n?
w
4
δ∏wδw?
wd?
?
δw?
θdsqδwd?
∫∫∫
?
Γθ
?
n2
2
Dww?
w
22
0
δwqwd?
+δwD+θdsDδwds
00
∫∫∫
?
ΓΓ
θw
2?
n?
n?
n2.1验证3结点三角形单元的位移差值函数满足N,xyδ及NN++N1。
ijjijijm
1
解:
Na+bx+cy
iiii
2A
xy1y1x
jjjj
axyxyb?
yyc?
+xx
ijmmjijmijm
xy1y1x
mmmm
a+bx+cyxy?
xy+y?
yx+x?
xy
iijijjmmjjmjmjj
N,xy0
ijj
2A2A1xy
ii
2A1xyxy?
xy+xy?
xy+?
xyxy
jjjmmjmiimijji
1xy
mm
a+a+a+b++bbx+c++ccy
ijmijmijm
NN++N1
ijm
2A5
2.2厚度t1cm,弹性模量E2.0×10MPa,泊松比ν0.3。
试求差值函数矩阵N,
ee
应变矩阵B,应力矩阵S,单元刚度矩阵K,并验证K的奇异性。
坐标1（2cm,2cm）2（10cm,2cm）3（2cm,6cm）
xy1y1x
jjjj
解:
axyxyb?
yyc?
+xx
ijmmjijmijm
xy1y1x
mmmm
a?
xyxy56by?
y?
4c?
+xx?
8
12332123123
a?
xyxy?
8byy?
4c?
+xx02A32
23113231231
a?
xyxy?
16byy?
0c?
xx+8
31221312312
1
N564xy8
1
32
1
Nx?
8+4套用公式即可,注意计算的准确性。
2
32
1
N?
+168y
3
322.3主应力:
σσ+
1
xy
22
σ±σσ?
+4τ
1,2xyxy
22
2τ
xy
主方向:
tg2α
0
σσxy
2.7二维单元在x,y坐标内平面移到不同位置,单元刚度矩阵,应力矩阵相同?
旋转情况?
旋转180度
xy1y1x
jjjj
axyxyb?
yyc?
+xx
ijmmjijmijm
xy1y1x
mmmmKKK
iiijim
~~~
KKK
jijjjm
~~~
KKK
mimjmm~~~
66×
1v1v
00
Kbb+ccKvcb+bc
1rsrs20rsrs
22
1v1v
00
Kvbc+cbKcc+bb
30rsrs4rsrs
22
应力矩阵S也是和b,c相关。
ii
平移:
b,c不变,K,S不变
ii
旋转:
b,c改变,K,S改变
ii
180度旋转:
K不变,S取反n
3.1证明1维拉格朗日单元的插值函数满足N1的要求。
∑i
i1
n
ξξj
n?
1
N结点1维拉格朗日单元,Nlξξ为n-1次多项式。
ii∏
ξξj1,ji≠
ij
n
设fξξN?
1,也为n-1次多项式
∑
i
i1
若fξ≠0则由n-1个根。
。
0ij≠在各个结点上有Nξδ因此fξ有n个不同根。
。
与以上结果相矛ijij
1ij盾。
3.2利用构造变结点数单元插值函数的方法,构造图中9结点单元的插值函数,并和利用构
造2维拉格朗日单元插值函数方法得到的结果进行比较。
22
解:
结点9:
N1ξη1
9
11
2?
边结点5:
N1?
+ξη1修正NNN
5559
22
1
2Nηη1+?
1ξ
5
2
类似结点6,7,8
111角结点1:
NNNNN
11589
2243.3利用构造变结点数单元插值函数的方法,构造图所示三次三角形单元的插值函数。
解:
N27LLL
10123
2
LLL29
213边上点4,NLL2?
3L
4122
1212
23333
1919?
NN?
NLL3L?
1NN?
NLL3L?
1
44101215510122
2222
1919?
NN?
NLL3L?
1NN?
NLL3L?
1
66102327710233
2222
1919?
NN?
NLL3L?
1NN?
NLL3L?
1
88101339910131
222222111112角结点:
NN?
N?
N?
NNNLL?
L?
11495810111
33333233
3.5按照变结点发构造六面体二次单元和三次serendity单元的全部插值函数。
解:
边中点,9,11,13,153.6五面体单元插值函数222
解:
NL1ξNL1ξNL1ξ
718293
N2LL1+ξN2LL1+ξN2LL1+ξ
101211231213
N2LL1ξN2LL1ξN2LL1ξ
134514561546
11
2
NLL2?
11+?
ξξL1?
1111
223.7在（-1,1）区域内构造1阶Hermite单元的插值函数,并讨论所构造函数的性质。
解:
构造1阶插值,取结点x?
1,x1,可以理解为总体坐标下求插值函数。
12
当然,也可以理解为局部坐标ξ?
1,ξ1下求插值函数。
利用公式
12
n
1
02
H1?
2x?
xlx
ii∑i
xxj1
ij
ji≠
12
Hxxlx即可
iii
对于局部坐标的结果:
131
03
Hξ?
+ξξ
1
244
131
03
Hξ+ξξ
2
244
1111
123
Hξξξ+ξ
1
4444
1111
123
Hξξξ++ξ
2
4444
00
Hxδ,H'x0,
ijijij
性质:
11
Hx0,H'xδi,j0,1,n
ijijij描述转角的插值函数不参与描述挠度描述挠度的插值函数不描述转角
2
dφ
3.8有一物理问题的方程是?
φ0,端点条件是:
φ0,在x0,φ1,在x1。
2
dx
现在用标准型和阶谱型的线性和二次单元求解,导出它们的单元刚度矩阵,并比较二类单元
的特点。
解:
（1）变分法求泛函
2
111
ddφφ
δ∏δφφdxδφdδφφdx
∫2∫∫
000
dxdx
1
11
dφddφφ
δφδdxδφφdx
∫∫
00
dxdxdx
0
1
1dφ
22
?
+δφ[]dx
∫
0
2dx
1
1dφ
22
得到泛函∏[+φ]dx
∫
0
2dx
n近视场函数φφ≈Na代入泛函,得K的形式为
∑ii
i1
1dN
dN
j
i
k
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