数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解数学.docx

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数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解数学

数列专题复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：

定义法或。

如设是等差数列，求证：

以bn=为通项公式的数列为等差数列。

2、等差数列的通项：

或。

如

（1）等差数列中，，，则通项（答：

）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

）

3、等差数列的前和：

，。

如

（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：

，）；

（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和（答：

）.

4、等差中项：

若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

5、等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

如

（1）等差数列中，，则＝____（答：

27）；

（4）若、是等差数列，则、（、是非零常数）、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。

（答：

225）

（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。

如

（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：

2）；

（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：

5；31）.

（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：

）

（7）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

法一：

由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：

因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？

（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如

（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？

并求此最大值。

（答：

前13项和最大，最大值为169）；

（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（答：

4006）

（3）在等差数列中，，且，是其前项和，则（）

A、都小于0，都大于0

B、都小于0，都大于0

C、都小于0，都大于0

D、都小于0，都大于0　（答：

B）

（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：

公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.

二、等比数列的有关概念：

1、等比数列的判断方法：

定义法，其中或。

如

（1）一个等比数列{}共有项，奇数xx为100，偶数xx为120，则为____（答：

）；

（2）数列中，=4+1（）且=1，若，求证：

数列｛｝是等比数列。

2、等比数列的通项：

或。

如等比数列中，，，前项和＝126，求和.（答：

，或2）

3、等比数列的前和：

当时，；当时，。

如

（1）等比数列中，＝2，S99=77，求（答：

44）；

（2）的值为__________（答：

2046）；

特别提醒：

等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。

4、等比中项：

若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。

提醒：

不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。

如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：

A＞B）

提醒：

（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

（答：

15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当时，则有，特别地，当时，则有.

如

（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：

512）；

（2）各项均为正数的等比数列中，若，则（答：

10）。

（2）若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列，…也是等比数列。

当，且为偶数时，数列，…是常数数列0，它不是等比数列.

如

（1）已知且，设数列满足，且，则.（答：

）；

（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：

40）

（3）若，则为递增数xx；若,则为递减数xx；若，则为递减数xx；若,则为递增数xx；若，则为摆动数xx；若，则为常数xx.

（4）当时，，这里，但，是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。

如若是等比数列，且，则＝（答：

－1）

（5）.如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____（答：

－2）

（6）在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.

（7）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：

①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。

这些命题中，真命题的序号是（答：

②③）

三、数列通项公式的求法

一、公式法

①；

②等差、等比数列公式.

例已知数列满足，，求数列的通项公式。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

二、累加法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例已知数列满足，求数列的通项公式。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

三、累乘法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

评注：

本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

四、取倒数法

例已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。

解将两边取倒数得：

，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.

五、待定系数法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

例已知数列满足，求数列的通项公式。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

六、对数变换法

例已知数列满足，，求数列的通项公式。

评注：

本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

七、迭代法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

评注：

本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。

八、数学xx

例已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

由及，得。

。

。

。

。

。

由此可猜测，往下用数学xx证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

。

。

。

。

。

。

由此可知，当时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何都成立。

九、换元法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，则

故，代入得。

。

。

。

。

。

即

因为，故则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。

十、构造等差、等比数列法

1；②；③；④.

例已知数列中，，求数列的通项公式.

【解析】

【反思归纳】递推关系形如“”适用于待定系数法或特征根法：

①令；

②在中令，；

③由得，.

例已知数列中，，求数列的通项公式.

【解析】，，令

【反思归纳】递推关系形如“”通过适当变形可转化为：

“”或“求解.

十一、不动点法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，得，则是函数的不动点。

因为，所以

。

评注：

本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

四、数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

前个正整数的和

前个正整数的xx

前个正整数的立方和

公式法求和注意事项

（1）弄准求和项数的值；

（2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。

例已知，求的前n项和.

例设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

∴＝＝＝

∴当，即n＝8时，

二、错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

例：

（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，

（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和

分析：

（I）由已知有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式:

（）

（II）由（I）知,=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得=

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

例求证：

证明：

设

∴

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7]求数列的前n项和：

，…

解：

设

当a＝1时，＝

当时，＝

例：

（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列，且，

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）

例求数列的前n项和.

则＝

例在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

解：

　∵

∴

＝

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

例数列{an}：

，求S2002.

解：

设S2002＝

∵

S2002＝＝＝5

例在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：

设

由等比数列的性质＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

例求之和.

解：

由于

∴＝

＝＝