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几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：
半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．
6.1半群
定义6.1称代数结构为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．
例6.1，，<，并置>都是半群，后两个又是独异点．
半群及独异点的下列性质是明显的．
定理6.1设为一半群,那么
（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群．
（2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点．
证明简单，不赘述．
定理6.2设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有
（1）同态象为一半群．
（2）当为独异点时，则为一独异点.
定理6.3设为一半群,那么
（1）为一半群，这里SS为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．
（2）存在S到SS的半群同态．
证（l）是显然的．
为证
（2）定义函数h:
S→SS：
对任意aS
h（a）=fa
fa：
S→S定义如下:
对任意xS，
fa（x）=ax
现证h为一同态．对任何元素a,bS．
h（ab）＝fab（l1－1）
而对任何xS，
fab（x）=abx=fa（fb（x））=fa○fb（x）
故fab=fa○fb,由此及式（l1－1）即得
h（ab）=fab=fa○fb＝h（a）○h（b）
本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
这里同构于----的一个子代数．
6.2群
群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.
6.2.1群及其基本性质
定义6.6称代数结构为群（groups）,如果
（1）为一半群．
（2）中有么元e.
（3）中每一元素都有逆元．
或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群．
定义6.7设为一群．
（1）若运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abelgroup）．阿贝尔群又称加群，常表示为（这里的+不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆:
常被称为乘）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.
（2）G为有限集时，称G为有限群（finitegroup）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinitegroup）．
例6.6
（1）（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元.不是群．因为所有非零自然数都没有逆元.
（2）（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元.不是群，因为数0无逆元．
（3）为一k阶阿贝尔群,数0为其么元.
（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○为函数合成运算.那麽为一群．A上恒等函数EA为其么元。
一般不是阿贝尔群.
群的下列基本性质是明显的.
定理1l.9设为群，那麽
（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．
（2）关于x的方程ax＝b，xa＝b都有唯一解．
（3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：
对任意a,x,y
S
a*x=a*y蕴涵x=y;x*a=y*a蕴涵x=y
（4）当G{e}时,G无零元．
（5）么元e是G的唯一的等幂元素.
证
（1）,
（2）,（3）是十分明显的．
（4）若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。
（注意，G={e}时,e既是么元，又是零元.）
（5）设G中有等幂元x，那么x*x=x又x=x*e所以x*x=x*e
由（3）得x=e。
由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G分别为1，2，3阶群时,*运算都只有一个定义方式（即,不计元素记号的不同,只有一张定义*运算的运算表,如表6.2所示）,于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.
定理6.10对群的任意元素a,b，
（1）（a-1）-1＝a．
（2）（a*b）-1＝b-1*a-1
（3）（ar）-1=（a–1）r（记为a–r）（r为整数）．
证
（2）（ab）（b-1a-1）=a（bb-1）a-1=e
（b-1a-1）（ab）=b-1（a-1a）b=e
因此ab的逆元为b-1a-1，即（ab）-1＝b-1a-1．
（3）对r归纳.
r=1时命题显然真.设（ar）-1=（a–1）r,即（a–1）r是ar的逆元.那么
ar+1（a–1）r+1=ar（aa-1）（a–1）r＝ar（a–1）r=e
（a–1）r+1ar+1=（a–1）r（a-1a）ar＝（a–1）rar=e
故ar+1的逆元为（a–1）r+1，即（ar+1）-1=（a–1）r+1．归纳完成,
（2）得证.
对群的任意元素a,我们可以定义它的幂：
a0=e，对任何正整数m，am+1=am*a，又据定理6.1O，在群中可引入"负指数幂"'的概念：
a-m=（a-1）m，且容易证明:
定理6.11对群的任意元素a,b，及任何整数m，n,
（l）aman=am+n
（2）（am）n=amn
如果我们用aG和Ga分别表示下列集合
aG={aggG}，Ga={gagG}
那么我们有以下定理．
定理6.12设为一群,a为G中任意元素，那么aG=G=Ga
特别地，当G为有限群时，运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．
证aGG是显然的．
设gG，那么a–1gG，从而a（a–1g）aG，即gaG．因此GGa．
aG=G得证．Ga=G同理可证．
这一事实的一个明显推论是：
当G为有限群时，运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列.从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G为1，2，3阶群时,运算都只有一个定义方式（即,不计元素记号的不同,只有一张定义运算的运算表,如表6.2所示）,于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.
表6.2
e
e
a
e
a
b
E
e
e
e
a
e
e
a
b
a
a
e
a
a
b
e
b
b
e
a
对群还可以引入元素的阶的概念.
定义6.8设为群，aG，称a的阶（order）为n，如果an=e,且n为满足此式的最小正整数.上述n不存在时,称a有无限阶.
例6.7
（1） 任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。
（2） 中幺元0的阶为1，而整数a10时,a有无限阶.
（3） 中1的阶是6,2的阶是3,3的阶是2,4的阶是3,5的阶是6.
关于元素的阶有以下性质.
定理6.13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数G.
证设a为G的任一元素,考虑e=a0,a1,a2,…,a│G│
这G+1个G中元素.由于G中只有G个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不妨设
ar=as（0≤r于是as-r=e,因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r,不超过群G的阶数G.
定理6.14设为群,G中元素a的阶为k,那么,an=e当且仅当k整除n.
证先证充分性．
设ak＝e，k整除n，那么n=kr（r为整数），因为ak＝e，所以an=akr=（ak）r=er=e。
再证必要性．
设an＝e，n=mk＋r，其中m为n除以k的商，r为余数，因此0≤r＜k。
于是
e＝an＝amk+r＝amkar＝ar
因此,由k的最小性得r=0，k整除n．
定理6.15设为群，a为G中任一元素，那么a与a-1具有相同的阶．
证只要证a具有阶n当且仅当a-1具有阶n。
由于逆元是相互的，即（a-1）-1＝a，同此只需证：
当a具有阶n时，a-1也具有阶n。
设a的阶是n，a-1的阶是m。
由于（a-1）n＝（an）-1＝e-1＝e
故m≤n。
又因为am＝（（a-1）m）-1＝e-1＝e
故n≤m。
因此，n＝m。
6.2.2子群、陪集和拉格朗日定理
定义6.9设为群．称为G的子群（subgroups），如果为G的子代数，且为一群．
子群有下列特征性（判别法）．
定理6.16设为群，那么为子群的充分必要条件是
（l）G的么元eH．
（2）若a，bH，则abH．
（3）若aH，则a-1H．
证先证必要性．
设H为子群．那么
（2）是显然的（因H为子代数）．为证（l）,设的么元为e’,那么e’e’=e’。
由于在G中只有e是等幂元,故e’=e,eH得证.为证（3）设中任一元素a的H中逆元为b,那么ab=ba=e,由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b=a-1H.
充分性是明显的.事实上只要条件
（2），（3）便可使为子群,因为H不空时条件
（2）（3）蕴涵条件（l）.因此，可用
（2）,（3）来判别非空子集H是否构成G的子群。
显然,对任何群G,<{e}，>及均为其子群,它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群．
例6.8
（l）群有非平凡子群
<{0,3},+6>和<{0,2,4},+6>
（2）设EI,E为偶数集。
那么为的子群,但不是的子群.
对于有限群,子群的判别更为简单.
定理6.17设为有限群,那么当G的非空子集H对运算封闭时,即为G的子群.
证由于G为有限群,H必为有限集.设H=r,aH.考虑
a1,a2,…,ar+1,…
它们都在H中（H对运算封闭）,因此必定有ai=aj（0≤ieH.
若H={e},为G的子群得证.
若H{e},设a为H中任一不同于e的元素.同上可证,有k≥2使ak=e,从而有
aak-1=ak-1a=e
因此,ak-1=a-1H.
据定理6.16,为G的子群得证．
由于我们采用的上述证明方法仅仅依赖H的有限性,可见本定理可加强为:
设为群，H为G的非空有限子集，且H对运算封闭,那么为的子群.
和子群概念直接相关的是陪集的概念．
定义6.10设为的子群，那么对任一gG，称gH为H的左陪集（leftcoset）称Hg为H的右陪集（rightcoset）.这里
gH={ghhH}，Hg={hghH}
关于左（右）陪集我们有以下定理．
定理6.18设为的子群，那麽
（1）当gH时，gH=H（Hg=H）。
（2）对任意gG，gH=H（Hg=H）.
证（l）由定理6.12立得.
为证
（2），只要证H与gH之间存在双射．定义函数f:
H→gH如下:
对任何一hH，
f（h）=gh
设h1h2，那么f（h1）=gh1,f（h2）=gh2，若f（h1）=f（h2），那么由可约性即得h1=h2，与h1h2矛盾．f为单射得证.f为满射是显然的.因此f为双射．gH=H得证．同理可证Hg=H．
定理ll.19设为的子群，a，bG，那么,或者aH=bH（Ha=Hb），或者aH∩bH=（Ha∩Hb=）．I
证设aH∩bH，那么有h1,h2H使得ah1=bh2.于是a＝bh2h1-1。
为证aHbH，设xaH。
那么有h3H，使得x=ah3=b（h2h1-1h3）bH.aHbH得证.
同理可证bHaH.于是aH=bH得证．对于右陪集Ha，Hb，同上可证平行的命题．
由于对每一元素gG，ggH（gHg），gHG（HgG），因此据以上讨论可以看出，子群H的全体左（右）陪集构成G的一个划分，且划分的各单元与H（亦即陪集eH，He）具有同样数目的元素．由此可导出下列重要的拉格朗日定理（Lagrangetheorem）.
定理6.20设为有限群的子群，那么H的阶整除G的阶．
证由以上讨论知G=kH，其中k为不同左（右）陪集的数目.定理得证.
注意，拉格朗日定理之逆不能成立。
我们将指出一个12阶群、它没有6阶的子群（见练习6.3第11题之（3））.因此，据此定理只可判别一子代数“非子群”,却不可用它来判别一子代数“是子群”。
例6.9拉格朗日定理可用于证明下列事实：
（1）有限群中任何元素的阶均为G的阶的因子。
设a为G中任一元素,a的阶为r．那么<{e,a,a2，…，ar-1},>必为G的r阶子群，因此r整除G。
（2）质数阶的群没有非平凡子群．
利用陪集还可定义陪集等价关系．
定义6.11设为群的子群。
定义G上H的左（右）陪集等价关系～。
对任意a,bG
a～b当且仅当a，b在H的同一左（右）陪集中
显然，～确为一等价关系．关于～有下列事实。
定理6.21设～为群G上H的左（右）陪集等价关系，那么
a～b当且仅当a-1bH
证设a～b，则有gG，使a，bgH，因而有hl,h2H,使得a=gh1，b＝gh2.于是
a-1b=（gh1）-1（gh2）=h1-1h2H
反之，设a-1bH,即有hH使a-1b=h。
因而b=ahaH。
而aaH显然，故a，b在同一左陪集aH中，a～b真．
对右陪集等价关系同理可证上述定理．
6.2.3循环群
定义6.13称为循环群（cyclicgroup），如果G为群，且G中存在元素g,使G以{g}为生成集，即G的任何元素都可表示为g的幂（约定e=g0），这时g称为循环群G的生成
元（generater）．
例6.12
（1）为循环群，1或（－l）为其生成元.
（2）令A={2iiI}，那么（·为数乘）是循环群，2是生成元．
（3）为循环群，1，2，3，4都可以是生成元．
关于循环群的下列性质是明显的．
定理6.26设为循环群，g为生成元，那么
（1）G为阿贝尔群．
（2）G的h同态像是以h（g）为生成元的循环群．
（3）G为无限循环群时必同构于．
（4）G为有限循环群时，必有
G={e，g，g2,…，gn-1}
其中n=G，也是g的阶．从而n阶循环群必同构于．
定理6.27循环群的子群都是循环群．
证设为g生成的循环群，为其子群．当然，H中元素均可表示为gr形．
（1）若H＝{e},显然H为循环群．
（2）若H{e}，那么H中有gi（i0）．由于H为子群，H中必还有g-i.因此，不失一般性，可设i为正整数，并且它是H中元素的最小正整数指数．现证H为gi生成的循环群．
设gj为H中任一元素．令j＝mi+r，其中m为i除j的商，r为剩余，0≤r＜i．于是
gj=gmi+r＝gmigr
gr=g-migj
由于gj,g-miH，（因gmiH），故grH，根据i的最小性，r＝0，从而gj=gmi=（gi）m，H为循环群证讫．
根据上述定理，立即可以推得以下定理．
定理6.28设为g生成的循环群．
（1）若G为无限群，则G有无限多个子群，它们分别由g0,g1,g2,g3,…生成．
（2）若G为有限群，G＝n，且n有因子k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者．）
例6.13
（1）有循环子群：
<{0},＋>，<{0,2,-2,4,-4,…},＋>，<{0,3,-3,6,-6,…},＋>，<{0,4,-4,8,-8,…},＋>,…，
（2）有循环子群：
<{0},＋6>，<{0,2,4},＋6>，<{0,3},＋6>,
6.2.4置换群
定义6.14称有限集上的双射函数为置换．称任意集合上的双射函数为变换．
例6.14设A={l,2}，那么A上有两个置换：
当A={1,2,3}时,A上有6个置换：
一般地，A={a1，a2，…，an}时，A上有n!
个置换．置换p满足p（ai）＝aji时，可表示为
置换的合成运算通常用记号○表示之，对置换的独特表示形式计算它们的合成时，可像计算两个关系的合成那样来进行．例如：
○
=
○
=
因此,应当注意
（pi○pj）（x）=pj（pi（x））
对于置换的合成运算而言，A上置换的全体中有么元----恒等函数,又称么置换，且每一置换都有逆置换，因此置换全体构成一个群。
定义6.15将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称群为n次对称群（symmetricgroup），它的子群又称为n次置换群（permutationgroup）．
对置换群稍作推广便有变换群的概念.
定义6.16对任意集合A定义集合S
S={ffAA∧f为双射}
那么群及其子群称为变换群，其中○为函数的合成运算．
像定理6.3那样，可以证明下列群表示定理．
定理6.30每个群均同构于一个变换群，特别地,每一个有限群均同构于一个置换群.
证设为任一群,对G中每一元素a，定义双射函数fa:
G→G如下。
fa（x）＝ax
（请读者自行证明fa确为双射）令
F={faaG}
现证为群（○为函数合成运算）．
（l）F对○运算封闭。
设faF，fbF,那么aG，bG．考虑fa○fb。
：
对任意xG，
fa○fb（x）＝fa（fb（x））＝abx＝fab（x）
即fa○fb＝fab。
由于a*bG，fabF,故fa○fbF．
（2）○运算显然满足结合律．
（3）○运算有么元feF．e为群G的么元。
（4）F中每一元素fa均有逆元fa-1．这是因为由aG知a-1G，从而fa-1F，并且对任意xG，fa○fa-1（x）=aa-1x＝x=ex=fe（x），即fa○fa-1=fe。
再证与同构．为此定义函数h:
G→F，使得对任一xG，h（x）=fx．显然h为双射（请读者自证）.另仿
（1）可证h保运算,即对G中任意元素x,y，有
h（xy）=fxy=fx○fy=h（x）○h（y）
6.3环和域
这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数结构，环和域.
6.3.1环
下文中符号＋，·表示一般二元运算，分别称为加、乘运算（未必是数加和数乘），并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定，例如,a，b的积表示为ab，n个a的和a+…+a表示为na,n个a的积表示为an等．
定义6.17称代数结构为环（ring），如果
（1）是阿贝尔群（或加群）．
（2）是半群．
（5）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,cR，
a（b＋c）＝ab+ac,（b＋c）a=ba+ca
例6.16
（1）（I为整数集，+,·为数加与数乘运算）为一环．
（2）为环，因为我们已知为加群，为半群，此外，
ak（b+kc）=ak（（b+c）modk）
=（a（b+c）（modk））（modk）
=（a（b+c））（modk）
=（ab+ac）（modk）
=ab（modk）+kac（modk）
=akb+kakc
（其中x（modk）表示x除以k的剩余）且同理可证（b+kc）ka=bka+kcka.
（3）所有整数分量的nn方阵集合Mn与矩阵加运算（+）及矩阵乘运算（◦）构成一环，即，为环．
（4）所有实系数多项式（以x为变元）的集合R[x]与多项式加，乘运算构成环，即
为环．
（5）<{0},+，·>（其中0为加法么元、乘法零元）为一环，称为零环。
（其它环至少有两个元素．）
（6）<{0,e},+，·>（其中0为加法么元、乘法零元，e为乘法么元）为一环．
环有下列基本性质．
定理6.31设为环，0为加法么元,那么对任意a,b,cR
（1）0a=a0=0（加法么元必为乘法零元）
（2）（-a）b=a（-b）=-ab（-a表示a的加法逆元,下同）
（3）（-a）（-b）=ab
（4）若用a–b表示a+（-b）,则
（a-b）c＝ac–bc,c（a-b）＝ca-cb
证
（1）0＝a0+（-a）0=a（0+0）+（-a）0=a0+a0+（-a）0=a0
同理可证0a=0.
（2）（-a）b=ab+（-ab）+（-a）b=（a+（-a））b+（-ab）=0b+（-ab）=-ab
同理可证a（-b）=-ab.
（3）仿
（2）可证．
（4）（a-b）c＝（a+（-b））c=ac+（-b）c＝ac+（-bc）=ac-bc
同理可证c（a-b）＝ca–cb．
注意,中乘
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