我教长绳测井深刘治平.docx

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我教长绳测井深刘治平

我教“长绳测井深”（刘治平）

其实，早在四百多年前，“长绳测井深’就被我国明朝数学家程大位写进了他的著作《算法统宗》中：

假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺，后将绳四折入井，亦长一尺，问井深及绳长各若干。

答曰：

井深八尺，绳长三丈六尺。

下面介绍我给低年级小学生讲这道我国古算趣题的情况。

不惮孤陋，抛砖引玉，以期共勉。

正话反说为激趣

每当讲及此题时，我都会先指出它的“荒谬”之处：

“唉呀!

同学们想想，这太可笑了！

我猜古代那个拿绳测井之人不是‘大傻帽’就是个‘神经病’！

”同学们听我这样说，有的呆、有的笑，但大家的精神都提起来了，听着我说、看着我表演。

我左手拿个玻璃杯，右手拿把塑料尺，比划着说：

“大家看，假如要测这个杯子的深度，人们都是用尺子直接去量一量，就像我这样,把这尺子伸到杯子里去，看一下杯口处尺子的刻度就知道杯子有多深了。

可是那个人拿着一根既无刻度又不知长度的绳，去测一个不知深度的井，能测出来吗?

!

更加可笑的是，他也不是去量进入井里的那段绳子，反而是去量井外余下的绳长，你说他不是发疯吗!

”听我如此一说，学生们都愣住了，越发迷惑了。

我又进一步说：

“可是数学家程大位为什么要编这样的题呢?

”

[评注]美国著名数学家和数学教育家乔治·波利亚在其所著的《数学的发现》中谈到：

教不是一门科学，而是一种艺术。

教学与唱戏显然有不少共同之处。

比如，你要给你这个班去讲一个很熟的证明，在过去多年中你已在同一课程中讲过它多遍了，你对此实际已无多大兴趣——但请千万不要在课堂上显露出来；你要摆出一副兴奋的样子，还要表示出惊奇和得意，你多少应当作些表演，因为有时候候你的学生也许从你的举止中比从你所讲的主题中学学到的更多。

﹙重点号为本文作者所加﹚他的这些话，是我的课堂授课行为的绝好解释。

一年级：

诱发“顿悟”

记得十几年前，我首次选这个题目是给海淀区西苑小学的一年级暑期班的孩子们讲。

一天，我无意中看到了华罗庚数学学校招二年级新生的入学试卷上有“长绳测井深”的题，先是惊讶，继而就想大着胆子试着讲一讲。

当然我事先做了适当的教学处理，简化数据、边说边画示意图﹙如右图﹚：

小明用一根长绳测量一口枯井的深度，他把绳子的一端放至井底，井口外留下的绳子长3米，他把这根绳子对折后再放至井底，井口外绳子还余1米。

求井深几米。

记得当时我刚刚在黑板上画好图，就有个小个子学生站起喊：

“我知道，井是1米深。

”我惊讶万分，情不自禁地脱口而出：

“对!

你是怎么知道的？

”“我是看出来的。

”“你是怎么看出来的?

”他却吱吱唔唔说不出来了。

噢!

我明白了，我不该问这么多!

这是孩子的“顿悟”。

接下来的事情本该由我讲给学生们听了。

[评注]此事例使我认识到，老师在讲课时要随时注意捕捉学生产生的“顿悟”，鼓励它，释放它，从而可得到好的教学效果，千万不要把它与“瞎猜”混淆起来，加以申斥。

英国S.I.罗伯逊教授在新著《问题解决心理学》一书中对“顿悟”案例进行了深入的解释，值得一读。

书中说：

“顿悟﹙insight﹚是一种现象，依靠它，不需要什么明显的、有意识的运算就能想出解决办法。

解决办法就像是突然闯入意识之中。

”美国数学家P.J.戴维斯等在所著《数学经验》中写道：

“顿悟的闪现，……象征着某些真正的新事物、个人的新理解。

”

我又重新画了图，并做了标记，然后就指着图讲：

“同学们，大家看！

我猜他是这样看出来的：

当小明把绳子对折后再放入井中时，”此时我在图上做了个对折的动作，“绳的一半就等于3-1=2米，也就是说，虚线的长是2米，显然放入井里边那段长2-1=1米，即井深1米。

”

讲完我问大家：

“听懂了吗？

”“懂了。

”学生齐声回答。

“老师！

我想的和你讲的不一样!

”突然那个“顿悟”的孩子又站来说，这又有点出乎我的意料。

“那你是怎样想的，说说看!

”教室鸦雀无声，显出了期待的气氛。

我看他的胆子比刚才大些了，就鼓励他到黑板前照着图比划着说。

“我想的是把弯下来的那一半绳子拉上去，拉直了，像第一次不折那样，我就看出了：

3-1-l=1﹙米﹚就是井深。

”

[评注]为什么今天课上一年级的小学生也能产生“顿悟”呢?

根源大概如戴维斯所说：

“几何直觉在历史上和心理上都比算术直觉更为原始。

”聪明的孩子，看着示意图，来了灵感。

波利亚在《怎样解题》中写道：

“图形不仅是几何题目的对象，而且对任何一开始跟几何没什么关系的题目，图形也是一个重要的帮手。

”依题目画个示意图，可称之为进行以“信息可视化”为目的的“表述转换”，它把自然语言﹙属符号系统﹚所表述的内容﹙信息﹚转换成看得见、摸得着的形象化的具体图形，从而有利于思维操作。

我赶紧画了示意图，把他的话大声重述了一遍后问大家：

“他说的对不对?

”“对!

”同学们大声回答，我带头鼓掌，于是全班同学都鼓起掌来!

我意识到，今天的讲课大大地成功了。

二年级：

教会猜测

“教会猜测”是波利亚对数学老师的明确要求和恳切呼吁。

他在名著《数学与猜想》中说：

“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。

”“要成为一个好的数学家……你必须首先是一个好的猜想家。

”他在《数学的发现》中文说：

“让我们尽一切努力去教会证明，同时也教会猜想。

”他甚至说：

“我希望你不要在‘要让他们学习猜测’这个问题上贻误了你的学生。

”看到他把话说到了这个份上，我为主动容，下决心要认真地落实他的这种要求。

一次，我在给二年级学生讲“长绳测井深”时，机会来了。

该题是：

小秋用一根绳子测量一口枯井的深度。

他把绳子放入井里，当绳子一端到达井底后，井外还留有15米；小秋又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有1米。

问井深和绳长各多少米。

这次我遇到了不动脑子、喜欢“瞎猜”的学生。

我还在黑板上画图的时候，就听到一声大喊：

“绳子长20米。

”我一愕，下意识地刚要喊“不许瞎猜”，但转念一想又改变了主意。

我想到了波利亚的话：

“无知的、不经心的学生常常是‘瞎猜”一通，我们必须教给他们的当然不是瞎猜、而是‘合理’的猜测。

”我意识到这正是教猜想的好机会。

我开始和同学们一起猜——教学生学习“逐步逼近法”，即“试算与改进误差”的方法：

试猜→检验，﹙若不对﹚再猜→再检验……逐渐接近目标值，一直到得出最终答案。

略述如下。

猜绳长﹙米﹚→用两种方法计算井深﹙米﹚→检验﹙误差﹚

[评注]“逐步逼近法”是解题、特别是数值计算的重要方法,在普及了电子计算机的今天尤为重要。

对这点我有亲身实践经验。

三十多年前，我在西部三线大型光学厂任光学工程师，接受了国家机械部下达的六倍变焦距摄影物镜的光学设计任务，我自编了“半自动化光路追踪程序”，在计算机上用“逐步逼近法”寻找最佳的镜头结构数据。

因此，我更能体会到波利亚所说：

“逐次逼近法”这一词能自然地用于各种水平的大量的各式各样的问题中……数学家可以把逐次逼近法应用于一个高深的论证，去处理某些无法用别的方法处理的具有重大实践意义的复杂问题。

回过头来再看，波利亚所说“教会猜测”的内涵当然是深刻多了，但我这样教低年级小学生用逐步逼近法求得答案，毕竟是朝目标前进了一小步。

三年级：

数量推理

到三年级，我还会给学生讲“长绳测井深”。

当然，会有变化，会进行“变式教学”。

张奠在《中国数学双基教学》中说，“变式教学是促进有效的数学学习的中国方式。

”波利亚也早就说过：

“你当然知道，教师讲解一个问题，不能光讲一遍或两遍，而往往要讲三遍、四遍甚至多遍……开始时用最简单的形式讲你的东西，然后略加变化地重复它，然后又增加一点新的色彩再次重复它，等等。

”这次讲的是前述程大位的原题，选自1989年我国初中代数课本第一册：

用绳子量井深：

把绳三折来量：

井外余绳4尺；把绳四折来量，井外余绳l尺。

井深和绳长各是多少？

如何教学生解此题?

如前所述，首先应考虑画示意图，即进行“表述转换”使“信息可视化”，于是我画出了把绳三折、四折后放入井中的两种测量状态图，见右图。

然后我和学生们讨论采取何种解题策略较有效，使学生认识到对这种较为复杂的问题而言，拉直绳子的直观操作或者逐步逼近的猜测都遇到了困难，故而应当另寻简明的解法。

考虑到儿童在生活中已经初步积累了因果关系的经验，因此我采用了以“因果律”为背景的“数量推理”模式来求解。

我指着图对学生说：

“同学们，让我们进行‘数量推理’吧：

因为把绳四折入井比三折入井多用了一个“井深”的长度，所以使得留在井外的绳子少了4×3-1×4=8﹙尺﹚，

即井深为8尺；

继而得绳长是36尺，

即﹙8+4﹚×3=36尺，

或﹙8+1﹚×4=36尺。

”

当然，也可换个想法，如图可见：

当三折变四折时，井外部分因少了（4-1）x×3=9尺，才多了第4股：

故知此股长9尺，得井深为9-1=8尺。

绳长9×4=36尺。

[评注]毋庸赘言，我们这里得出了漂亮、易懂的简捷解法。

清华大学数学教授李文汉在《趣味题与简捷解》一书中说，数学崇尚简捷，简捷的思路、简捷的解法、简捷的计算以及简捷的陈述等，伴随着奇思妙想，使人开窍，给人以美感，令人拍案叫绝。

美国数学家P.j.戴维斯也说过相近的话：

“简洁是数学华采或才智的灵魂”。

所以，老师在教学中要有追求“简捷”的意识，学生要有力求简捷的训练。

以上是我历次教学“长绳测井深”问题的一些总结。

下面，我将进一步呈现该问题的其他解法，及该问题类似的其他问题，以飨读者。

“长绳测井深”的其他解法

1.方程法：

一元一次方程

①设井深x尺。

②设绳长为x尺。

3（x+4）=4（x+1）。

解得x=8（尺）（井深），x/3-x/4=4-1

3×（8+4）=36（尺）（绳长）。

解得x=36（尺）（绳），

36÷3-4=8（尺）（井）。

2.方程法：

二元一次方程组3.算术法：

分数除法4.《算法统宗》的古代解法：

*﹙写成现代形式﹚参考练习题及答案

1.小聪用一根绳子来测量一口井的深度，他把绳子的一端放入井底，井口外绳长9米；把绳对折后再放入井底，井外余3米。

求井深。

﹙答：

井深3米﹚﹙人大附中华罗庚数学学校二年级新生入学试题﹚

2.用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余2尺；把绳子四折来量，绳子上端距井口还有1尺。

求绳子长多少尺。

﹙答：

绳子长36尺﹚﹙第三届《小学生数学报》初赛试题﹚

3.用绳测量井深，绳子三折后投入井里余8米；四折后投入井里余3米。

井深和绳子各多少米？

﹙答：

井深12，绳长60米﹚﹙选自《小学生数学能力比赛指点引》﹙下册﹚，顾汝佐主编﹚

4.一枝竹竿一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。

﹙1托=5尺﹚（选自《算法统宗》，[明]程大位﹚

﹙答：

竿长一丈五尺，索长二丈﹚

5.今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。

问木长几何。

﹙答：

六尺五寸﹚﹙选自《孙子算经》﹚

6.以绳测水深，四折而入则余3米；把绳剪去6米后三折而入则余4米。

求水深和绳子各多少。

﹙答：

绳子36米，水深6米﹚

﹙选自《算术辞曲》﹙修订版﹚，顾汝佐主编﹚

7.用绳子测游泳池水深，绳子两折时，多余60厘米；绳子三折时，还差40厘米，求绳长和水深。

﹙答：

水深240厘米，绳600厘米﹚

﹙选自《数学奥林匹克》﹙基础篇﹚﹙小学版﹚，单墫主编﹚

8.某人欲测一枯井，以绳四折而下垂，尚多3尺；五折而下垂，尚多1尺。

求井深及绳长。

﹙答：

井深7尺，绳长40尺﹚

﹙选自《算术辞典》，[日]长择龟之助原著，薛德炯等编译﹚