第十五讲数学竞赛试题选讲.docx

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第十五讲数学竞赛试题选讲

第十五讲数学竞赛试题选讲

例1计算：

（1+3+5+…+1989）-（2+4+6+…+1988）（1988年北京市小学数学奥林匹克邀请赛试题）

　　解法1：

　　原式=[（1989+1）÷2]2-（1988÷2）×（1988÷2+1）

　　=9952-994×995

　　=995×（995-994）

　　=995．

　　解法2：

去括号，得

　　原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988

　　=1+（3-2）+（5-4）+…+（1989-1988）

　　=995．

　　说明：

解法1是应用两个常见的公式：

　　前n个奇数的和

　　1+3+5+…+（2n-1）=n2．

　　前n个偶数的和

　　2+4+6+…+2n=n×（n+1）．

　　解法2是采用适当分组的方法转化为相同加数的加法问题，即将低级运算（加法）转化为高级运算（乘法）．

例2计算：

1+2+3+4…+99+100+99+…+4+3+2+1

　　解：

运用加法的交换律与结合律，得

　　原式=（1+99）+（99+1）+（2+98）+（98+2）+…

　　+（50+50）+100

　　=100×100

　　=10000．

　　说明：

由本例可以推广为一般公式：

　　1+2+3+…+（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1=n2．

例3计算：

1×2+2×3+3×4+…+100×101

　　分析根据题目数据的特点，把各加数作如下恒等变形：

　　1×2=（1×2×3）÷3；

　　2×3=（2×3×4-1×2×3）÷3；

　　3×4=（3×4×5-2×3×4）÷3；

　　…

　　100×101=（100×101×102-99×100×101）÷3；然后运用拆项对消的方法即可计算出和式的结果．

　　解：

原式=[1×2×3+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5

　　-2×3×4）+…+（100×101×102-99

　　×100×101）]÷3

　　=[1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5

　　-2×3×4+…+100×101×102-99×100

　　×101]÷3

　　=100×101×102÷3

　　=343400．

　　说明：

本题可以推广为一般公式：

　　1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n×（n+1）×（n+2）÷3．

例4计算：

　　解：

因为

　　111111111=9×12345679，

　　于是有

　　（由乘法结合律）

例5在下面各数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立：

106932=48（1994年北京市小学生“迎春杯”决赛试题）

　　解：

填法不唯一．下面给出几种常见的填法：

　　10×6-（9-3）×2=48；

　　（10+6）×（9-3×2）=48；

　　10+6×（9-3）+2=48；

　　10×（6+9）÷3-2=48；

　　（10+6）×（9-3）÷2=48．

　　说明：

在欧美流行一种数学游戏：

试用4个给定的自然数经过四则运算的结果等于24．本例与这种游戏是类似的，它们对于发展学生的数学思维是十分有益的．

例6右图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数．而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是______．

　　解：

设15与26之间的圆圈里的数是a，

　　26与31之间的圆圈里的数是b，

　　15与31之间的圆圈里的数是c，

　　依题意，有

　　a+b=26，b+c=31，a+c=15；

　　于是可知2（a+b+c）=26+31+25，

　　即a+b+c=36；

　　因此，最小数是：

a=36-31=5．

b、c、d、e、f、g、h是0、1、2、…、9中的8个不同整数且a≠

　　分析本题可转化为如下数字迷：

　　解：

先确定g=0，c=9．

　　假设竖式加法中，十位数字g≠0或者个位数字h+4≥10，则百位上的数字b=f，不合题意．因此，可以推断g=0且h+4＜10．于是c=9．

≠a，则取a=8，而f≠0=g且f=b+1，故有f+9＞10，于是e=6；其次应该使百位数字b尽可能大，由b与f是相邻自然数，则取b=4、f=5；最后令个位数字d尽可能大，则取d=7，故有h=3．这样就得到A的最大值为：

8497+6503=15000．

　　类似地，要使A尽可能小，依次取a=3、e=1，b=4、f=5，d=6、h=2．这样就得到A的最小值为：

　　3496+1502=4998．

例8如右图，AB、CD、EF、MN互相平行，则右图中梯形的个数与三角形的个数相差多少？

　　解：

首先计算右图中三角形的个数．由于所有三角形都以O点为顶点；且以AB或CD或EF或MN上的线段为底的三角形各有：

　　4+3+2+1=10（个）．

　　因此，图中一共有三角形：

　　10×4=40（个）．

　　其次计算上图中梯形的个数．由于从AB、CD、EF、MN中任意选出两条为上、下底时各有梯形：

　　4+3+2+1=10（个）．

　　而从4条线段中选出两条线段的不同选法有

　　（4×3）÷2=6（种），

　　所以，上页图中一共有梯形

　　10×6=60（个）．

　　于是上页图中梯形个数与三角形个数相差

　　60-40=20（个）．

例9如下图

（1），由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中，包含“*”在内的长方形及正方形一共有多少个？

　　分析本题是有条件限制的几何图形的计数问题，为了不重不漏，必须适当分类计算．

　　解：

按照竖直方向上线段的长度分三类进行计数：

　　①高是1个单位长度（如上图

（2））时，实质上是计算在底边AB上包含线段EF的线段数．为了方便起见，又分四种情况讨论：

　　1°包含AFF′A′的长方形有AFF′A′、AGG′A′、ABB′A′，共3个；

　　2°包含MFF′M′的长方形（不在1°中的）有MFF′M′、MGG′M′、MBB′M′，共3个；

　　3°包含NFF′N′的长方形（不在1°、2°中的）有NFF′N′、NGG′N′、NBB′N′，共3个；

　　4°包含EFF′E′的长方形及正方形（不在1°、2°、3°中的）有EFF′E′、EGG′E′、EBB′E′，共3个．

　　总计包含“*”的长方形及正方形有：

　　3×4=12（个）．

　　②高是2个单位长度（如下图

（1））时，类似情况

（1），总计包含“*”的长方形及正方形有：

　　3×4=12（个）．

　　③高是3个单位长度（如上图

（2））时，总计包含“*”的长方形及正方形也有：

　　3×4=12（个）．

　　综上所述，长方形ABCD中包含“*”的长方形及正方形一共有：

　　12×3=36（个）．

例10如右图，在5×8的长方形中，挖去一个1×4的长条（阴影部分）．请把它划分成两部分，使它们能拼成一个正方形．

　　解：

从长方形ABCD中挖去阴影部分后剩下的面积是

　　5×8-4=36．

　　由此可知，拼成的正方形的边长是6．

　　根据这一要求，并且考虑分成的两部分如何拼合，就会得出如下用虚线表示的划分（如下图

（1）所示）：

　　用上述划分后拼成的正方形如上图

（2）．

例11用6个1×2的长方形拼成一个2×6的长方形（如右图），一共有多少种不同的拼法．

　　分析研究用1×2的长方形拼成2×n的长方形的方法，从简单情况入手，逐次讨论：

　　①当n=1时，显然只有1种拼法；

　　②当n=2时，2×2的长方形有下图（a）及图（b）两种不同的拼法；

　　③当n=3时，2×3的长方形的拼合问题分两类（如下图（c）及图（d））：

　　图（c）即转化为2×1的长方形拼合问题，由①可知，仅有一种拼法；上图（d）即转化为2×2的长方形拼合问题，由②可知仅有2种拼法．于是2×3的长方形的拼法一共有：

　　1+2=3（种）；

　　④当n=4时，2×4的长方形的拼合问题亦分为两类（如图（e）及图（f））：

　　图（e）即转化为2×2长方形拼合问题，图（f）即转化为2×3长方形拼合问题，由②和③可知，2×4长方形的拼合方法一共有：

　　2+3=5（种）；

　　⑤当n=5时，类似③、④的情况两类拼法，2×5的长方形的拼法一共有：

　　3+5=8（种）；

　　⑥当n=6时，2×6的长方形的拼法一共有：

　　5+8=13（种）．

　　说明：

上述解决问题的方法常称为归纳递推的方法，今后还要专门介绍．

例12某车间原有工人不少于63人．在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都再调1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品，共生产1994件．试问：

1月几号开始调进工人？

共调进了多少工人？

　　解：

因为原有工人不少于63人，并且

　　1994=63×31+41，

　　1994=64×31+10，

　　1994＜65×31，

　　所以，这个车间原有工人不多于64人，即这个车间原有工人63人或64人．

　　这个车间原有工人1月份完成产品是

　　63×31=1953或64×31=1984（件）．

　　于是可知，余下的41件或10件产品应该表示为连续自然数之和．据已知，不能是1月31日调进工人，设第一天调进x名工人，共调入n天，那么显然2≤n≤8．事实上，九个连续自然数之和最小为

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45＞41．

　　经检验，当n=2时x=20，并且有：

　　20+21=41；

　　当n=4时x=1，并且有：

　　1+2+3+4=10．

　　答：

从1月30日开始调进工人，共调进工人21名；或者从1月28日开始调进工人，共调进工人4人．

　　说明：

本题是用于考查学生掌握连续自然数求和及解决实际问题的能力．

习题十五

　　1．计算：

1-2+3-4+5-6+…-98+99

　　2．计算：

88888×88888÷（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）

　　3．计算：

11×12+12×13+13×14+…+50×51

　　5．试在15个8之间适当的位置填上适当的运算符号+、-、×、÷，使运算结果等于1986：

　　888888888888888=1986．

　　6．在右图中所示的三角形三边之长互不相等，现在要将1，2，3，4，5，6这六个数分别填入三个顶点及每条边的中点的圆圈内，如果要使每条边上的三个数字之和都等于10，那么符合上述条件的不同填法一共有多少种？

　　8．下图

（1）中每个小方格都是正方形，那么下图

（1）中大大小小的正方形一共有多少个？

　　9．将上页图

（2）分割成四个形状和大小相同的图形，然后将分得的四个图形拼合成一个正方形．

　　10．某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人．如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共___人．

习题十五解答

　　1．50．

　　2．123454321．

　　3．43760．

　　4．243．

　　5．（答案不惟一）

　　8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986．

　　6．6种．

　　7．1089．

　　8．70．

　　9．分法不惟一；右图即为一种分法

　　10．60．