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高等数学上册知识点
」、函数与极限
（1）函数
1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
2、反函数、复合函数、函数的运算；
3、初等函数：
幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；
4、函数的连续性与间断点；
函数f（x）在Xo连续二:
二limf（x）f（x°）
Xxo
'第一类：
左右极限均存在.
间断点｛可去间断点、跳跃间断点
.第二类：
左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
5、闭区间上连续函数的性质：
有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.
（2）极限
1、定义
1）数列极限
limx^a0,N,nN,xna
n
2）函数极限
limf（x）A0,0,x,当0xx0时，f（x）A
xX。
左极限：
f（x°）limf（x）
xXo
右极限：
f（Xo）limf（x）
XXo
limf（x）A存在f（x0）f（x0）
xXo
2、极限存在准则
1）夹逼准则：
1）ynXnZn（nn°）=
2）limynlimzna
7nn
limxna
n
2）单调有界准则：
单调有界数列必有极限.
3、无穷小（大）量
1）定义：
若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量
2）无穷小的阶：
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小
Th1
0（）;
Th2
lim一存在，则lim—lim一（无穷小代换）
4、求极限的方法
1）单调有界准则；
2）夹逼准则；
3）极限运算准则及函数连续性；
4）两个重要极限：
「sinx彳
a）Xim。
丁1b）
5）无穷小代换：
（x0）
a）x~sinx~tanx〜arcsinx〜arctanx
1
lim（1x）X
x0
lim（1-）xe
x
12
b）
1cosx〜
-X
2
c）
ex
1〜x
（
ax1〜xlna）
d）
ln（1
x）〜
X
x
（lOga（1X）〜）Ina
e）
（1
X）1
〜X
导数与微分
1、
定义：
f（xo）
lim
X
f（x）f（X。
）
左导数:
f（Xo）
XoXXo
limf（X）f（xo）
XXo
右导数:
f（Xo）
XXolimf（X）f（Xo）
XXo
xXo
（一）导数
函数f（x）在Xo点可导f（Xo）f（Xo）
2、几何意义：
f（xo）为曲线yf（x）在点xo,f（xo）处的切线的斜率.
3、可导与连续的关系：
4、求导的方法
1）导数定义；
2）基本公式；
3）四则运算；
4）复合函数求导（链式法则）；
5）隐函数求导数；
6）参数方程求导；
7）对数求导法.
5、
高阶导数
d2y
d
dy
1）
定义：
dx2
dx
dx
2）
Leibniz
公式:
uv
n
（n）C；u（k）v（nk）
k0
（二）微分
1）定义：
yf（XoX）f（x。
）Axo（x），其中A与x无关.
2）可微与可导的关系：
可微可导，且dyf（X。
）xf（x°）dx
三、微分中值定理与导数的应用
（一）中值定理
1、Rolle罗尔定理：
若函数f（x）满足：
1）f（x）C[a,b]；2）f（x）D（a,b）；3）f（a）f（b）；贝S（a,b）,使f（）0.
2、Lagrange拉格朗日中值定理：
若函数f（x）满足：
1）f（x）C[a,b]；2）f（x）D（a,b）；
则（a,b）,使f（b）f（a）f（）（ba）.
3、Cauchy柯西中值定理：
若函数f（x）,F（x）满足：
1）f（x）,F（x）C[a,b]；2）f（x）,F（x）D（a,b）；3）F（x）0,x（a,b）
（a^^使g冷
（2）洛必达法则
（3）Taylor公式
（4）单调性及极值
1、单调性判别法：
f（x）C［a,b］，f（x）D（a,b），则若f（x）0，则
f（x）单调增加；则若f（x）0,则f（x）单调减少.
2、极值及其判定定理：
a）必要条件：
f（x）在X。
可导，若X。
为f（x）的极值点，贝qf（xo）0.
b）第一充分条件：
f（x）在xo的邻域内可导，且f（X。
）0,则①若当xxo时，f（X）0，当xX。
时，f（X）0，则X。
为极大值点；②若当xX。
时，f（X）0，当xX。
时，f（X）0，则X。
为极小值点；③若在x0的两侧f（X）不变号，则X。
不是极值点.
c）第二充分条件：
f（X）在X。
处二阶可导，且f（X。
）0,f（x°）0，则
①若f（X。
）0，则X。
为极大值点；②若f（X。
）0，则X。
为极小值点.
3、凹凸性及其判断，拐点
1）f（x）在区间I上连续，若Xi,x2I,f（*2翌）f（Xl）2f（X2），则称f（x）在区间I上的图形是凹的；若X1,X2l,f（0■产）f（X1）2f（X2），则称f（x）在区间I上的图形是凸的.
2）判定定理：
f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）上有一阶、二阶导数，则
a）若x（a,b）,f（x）0,则f（x）在［a,b］上的图形是凹的；
b）若x（a,b）,f（x）0,则f（x）在［a,b］上的图形是凸的.
3）拐点：
设yf（x）在区间I上连续，X。
是f（x）的内点，如果曲线yf（x）经
过点（X°,f（X。
））时，曲线的凹凸性改变了，则称点（X°,f（X。
））为曲线的拐点.
（五）不等式证明
1、利用微分中值定理；
2、利用函数单调性；
3、利用极值（最值）.
（六）方程根的讨论
1、连续函数的介值定理；
2、Rolle定理；
3、函数的单调性；
4、极值、最值；
5、凹凸性.
（七）渐近线
1、
铅直渐近线:
limf（x）
xa
，则x
a为一条铅直渐近线；
2、
水平渐近线:
limf（x）
x
b，则y
b为一条水平渐近线；
3、
斜渐近线：
lim他
xx
klim[f（x）
x
kx]b存在，则ykxb为一条斜
渐近线•
（八）图形描绘
四、不定积分
（一）概念和性质
1、原函数：
在区间I上，若函数F（x）可导，且F（x）f（x），则F（x）称为
f（x）的一个原函数.
2、不定积分：
在区间I上，函数f（x）的带有任意常数的原函数称为f（x）在区间I上的不定积分.
3、基本积分表（P188,13个公式）；
4、性质（线性性）.
（二）换元积分法
1、第一类换元法（凑微分）：
f［（x）］（x）dxf（u）duu（x）
2、第二类换元法（变量代换）：
f（x）dxf［（t）］（t）dtti（x）
（三）分部积分法：
udvuvvdu
（四）有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）
概念与性质:
n
li叫f（i）xi
0i1
2、
性质：
（7条）
性质7（积分中值定理）
函数f（x）在区间［a,b］上连续，则
[a,b]，使
b
f（x）dxf（）（ba）
a
微积分基本公式（N—L公式）
1、
变上限积分：
设（x）
af（t）dt，则（x）
f（x）
d
推广：
，
dx
（x）
（x）f（t）dt
f[（x）]（x）f[
（x）]（x）
2、
N—L公式：
若F（x）为f（x）的一个原函数，则
b
f（x）dx
a
（三）
换元法和分部积分
1、
b
换元法：
a
f（x）dx
f[（t）]（t）dt
2、
分部积分法:
b
udv
a
bb
uvavdu
a
（四）
反常积分
1、
无穷积分：
x
t
F（b）
F（a）
f（x）dx
lim
t
f（x）dx
2、
f（x）dx
f（x）dx
瑕积分:
f（x）dx
f（x）dx
lim
t
lim
ta
lim
tb
f（x）dx
f（x）dxo
b
tf（x）dx
f（x）dx
（a为瑕点）
t
af（x）dx（b为瑕点）
a
两个重要的反常积分:
p1dx
1p
1）axpa
1X,p1
（ba）1q
1q
p1
bdxbdx
2）a（xa）qa（bx）q
六、定积分的应用
b
a
（一）平面图形的面积
1、直角坐标：
A
[f2（x）f,x）]dx
122
2、极坐标：
A[2（）1（）]d
（二）体积
1、旋转体体积:
a）曲边梯形y
f（x）,x
a,x
b,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积:
b2
Vf2
xa
（x）dx
b）曲边梯形y
f（x）,x
a,x
b,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:
b
Vy2
a
xf（x）dx
（柱壳法）
2、平行截面面积已知的立体:
V
b
A（x）dx
a
（三）弧长
1、直角坐标：
sb1f（x）2dx
/22~
2、参数方程：
s、（t）（t）dt
22
3、极坐标：
sv（）（）d
七、微分方程
（一）概念
1、微分方程：
表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程
阶：
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数
2、解：
使微分方程成为恒等式的函数.
通解：
方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同
特解：
确定了通解中的任意常数后得到的解.
（二）变量可分离的方程
g（y）dyf（x）dx，两边积分g（y）dyf（x）dx
dy
（-），设u
y
dy
则
du
ux——；
dx
x
x，
dx
dx'
dx
（x），设V
x
dx
dv
d?
—
则T
vy—
y，设
y，
则dy
dy
或
P（x）dx
P（x）dx
Q（x）edxC
dxP（x）yQ（x）
用常数变易法或用公式:
（五）可降阶的高阶微分方程
1、
（n）y（）
f（x），
两边积分n次；
2、
y
f（x,y）
（不显含有y），令y
p，则y
p；
3、
y
f（y,y）
（不显含有x），令y
p，则y
dpp-
dy
（六）线性微分方程解的结构
1、yi,y2是齐次线性方程的解，则Ciyi也是;
2、yi,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则G%"2是方程的通解；
3、yc$iS2y*为非齐次方程的通解，其中％,丫2为对应齐次方程的线性无关的解，y*非齐次方程的特解.
（七）常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
ypyqy0
2
特征方程：
rprq0，特征根：
GD
特征根
通解
实根r1r2
—r1_r2x
yC1eC2e
r1r2f
y（C1C2x）e
S2i
yeX（C1cosxC2sinx）
（八）常系数非齐次线性微分方程
ypy
qyf（x）
1、f（x）
exPm（x）
0,
不是特征根
设特解y*
Qm（X），其中
k1,
是一个单根
2,
是重根
2、f（X）
设特解
R（x）cosxxke%Rm）（x）cos
Pn（x）sinx
R2）（x）sinx,
i不是特征根
0,
其中
mmax{l,n},k
1,
i是特征根
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