二、填空题
1.下面程序段的所需要的计算时间为（ ）、
2.有11个待安排的活动,它们具有下表所示的开始时间与结束时间,假如以贪心算法求解这些活动的最优安排（即为活动安排问题:
在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合）,得到的最大相容活动子集合为活动（｛1,4,8,１1｝）、
3.所谓贪心选择性质是指（所求问题的整体最优解能够通过一系列局部最优的选择,即贪心选择来达到）。
4.所谓最优子结构性质是指（问题的最优解包罗了其子问题的最优解）。
5.回溯法是指（具有限界函数的深度优先生成法）。
６、用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间、在任何时刻,算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。
假如解空间树 中从根结点到叶结点的最长路径的长度为ｈ（ｎ）,则回溯法所需的计算空间通常为（O（h（n））
）、
7、回溯法的算法框架依照问题的解空间一般分为（子集树）算法框架与（排列树）算法框架。
8、用回溯法解0/1背包问题时,该问题的解空间结构为（子集树）结构。
９、用回溯法解批处理作业调度问题时,该问题的解空间结构为（排列树）结构、
10、用回溯法解０／1背包问题时,计算结点的上界的函数如下所示,请在空格中填入合适的内容:
１1、 用回溯法解布线问题时,求最优解的主要程序段如下。
假如布线区域划分为的方格阵列,扩展每个结点需O
（1）的时间,L为最短布线路径的长度,则算法共耗时（O（ｍn） ）,构造相应的最短距离需要（O（Ｌ））时间。
1２、 用回溯法解图的m着色问题时,使用下面的函数ＯK检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色的可用性,则需耗时（渐进时间上限）（O（mn））、
BｏoｌColｏr:
:
ＯK（inｔｋ）
{/／
fｏｒ（ｉnｔj=1;ｊ〈＝n;j++）
if（（ａ［ｋ］［j］＝=１）&&（ｘ［j］＝＝x［k]））rｅturnｆalse;
returntrｕe;
｝
１3、旅行售货员问题的解空间树是（排列树）、
三、证明题
1、一个分治法将规模为n的问题分成ｋ个规模为n／m的子问题去解。
设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间、再设将原问题分解为ｋ个子问题以及用merｇe将k个子问题的解合并为原问题的解需用f（n）个单位时间。
用Ｔ（ｎ）表示该分治法解规模为｜P｜＝ｎ的问题所需的计算时间,则有:
通过迭代法求得Ｔ（n）的显式表达式为:
试证明T（n）的显式表达式的正确性、
2、 举反例证明0／１背包问题若使用的算法是依照pi/ｗｉ的非递减次序考虑选择的物品,即只要正在被考虑的物品装得进就装入背包,则此方法不一定能得到最优解（此题讲明0/1背包问题与背包问题的不同）。
证明:
举例如:
p=｛7,4,4},w＝｛３,2,２｝,c=４时,由于７/3最大,若按题目要求的方法,只能取第一个,收益是7。
而此实例的最大的收益应该是8,取第2,3个。
３、求证:
O（f（ｎ））＋O（ｇ（n））=Ｏ（max{f（n）,ｇ（n）}）、
证明:
关于任意f１（n）O（f（ｎ））,存在正常数ｃ1与自然数n1,使得对所有ｎｎ１,有f1（n）c1f（n）。
类似地,关于任意g1（ｎ）Ｏ（g（n））,存在正常数ｃ2与自然数n２,使得对所有nn２,有ｇ１（ｎ）ｃ２g（ｎ） 。
令c３=maｘ{c1, ｃ2},ｎ3=ｍａx｛n1, n2},h（n）=mａｘ｛ｆ（n）,g（ｎ）｝。
则对所有的 n n3,有
ｆ１（n） +g１（n） ｃ1ｆ（ｎ） + c2ｇ（n）
c3f（n） +ｃ３g（n）
=c3（f（n）＋ｇ（n））
c32 mａx｛f（ｎ）,g（ｎ）}
=２c３h（ｎ）=O（max｛f（n）,g（n）｝）、
4、求证最优装载问题具有贪心选择性质、
（最优装载问题:
有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。
其中集装箱i的重量为Wｉ。
最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下,将尽估计多的集装箱装上轮船、ﻩ设集装箱已依其重量从小到大排序,（ｘ1,ｘ2,…,ｘn）是最优装载问题的一个最优解。
又设、假如给定的最优装载问题有解,则有、）
证明:
四、解答题
1.机器调度问题、
问题描述:
现在有n件任务与无限多台的机器,任务能够在机器上得到处理。
每件任务的开始时间为si,完成时间为ｆｉ,si〈ｆi。
[si,ｆｉ］为处理任务i的时间范围。
两个任务ｉ,ｊ重叠指两个任务的时间范围区间有重叠,而并非指i,j的起点或终点重合。
例如:
区间［1,4］与区间［2,4]重叠,而与[4,７]不重叠、一个可行的任务分配是指在分配中没有两件重叠的任务分配给同一台机器。
因此,在可行的分配中每台机器在任何时刻最多只处理一个任务、最优分配是指使用的机器最少的可行分配方案、
问题实例:
若任务占用的时间范围是{［１,4］,［2,5],[4,5],［2,６］,[4,７］},则定时完成所有任务最少需要几台机器？
（提示:
使用贪心算法）
画出工作在对应的机器上的分配情况。
2、已知非齐次递归方程:
其中,b、c是常数,g（n）是ｎ的某一个函数、则f（ｎ）的非递归表达式为:
、
现有Haｎoi塔问题的递归方程为:
,求h（n）的非递归表达式、
解:
利用给出的关系式,此时有:
b=2,ｃ＝1,g（n）=1,从n递推到１,有:
３、单源最短路径的求解、
问题的描述:
给定带权有向图（如下图所示）Ｇ＝（V,E）,其中每条边的权是非负实数、另外,还给定V中的一个顶点,称为源、现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度、这个地方路的长度是指路上各边权之与、这个问题通常称为单源最短路径问题。
解法:
现采纳Dｉjkｓｔra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径、请将此过程填入下表中、
4、 请写出用回溯法解装载问题的函数、
装载问题:
有一批共n个集装箱要装上２艘载重量分不为c１与c２的轮船,其中集装箱ｉ的重量为wi,且、装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这n个集装箱装上这２艘轮船。
假如有,找出一种装载方案、
解:
ｖoid backｔrａcｋ（ｉｎｔ ｉ）
｛//搜索第i层结点
if （ｉ〉n） //到达叶结点
更新最优解ｂｅsｔx,bｅstw;reｔｕｒn;
r —=w［ｉ］;
iｆ （cｗ + w［i］〈=c） {//搜索左子树
x［i] =１;
ｃw += w［i］;
ｂacktｒａｃｋ（ｉ＋１）;
cw —＝ｗ［i］; ｝
if（cｗ＋ ｒ ＞ ｂestw） ｛
x[i］ =０;/／搜索右子树
baｃkｔrack（i＋１）; ｝
r +＝w[ｉ];
}
５、用分支限界法解装载问题时,对算法进行了一些改进,下面的程序段给出了改进部分;试讲明斜线部分完成什么功能,以及如此做的缘故,即采纳如此的方式,算法在执行上有什么不同、
/／检查左儿子结点
Typewt = Ｅw＋w[ｉ]; ／／ 左儿子结点的重量
if（wt 〈= c）{ /／可行结点
if（wｔ〉ｂesｔｗ）beｓtw = ｗt;
／/加入活结点队列
if（ｉ〈n） Q、Ａdｄ（ｗt）;
｝
／／ 检查右儿子结点
if（Ew＋r〉 bｅstｗ ＆&i〈n）
Ｑ、Add（Ew）; //估计含最优解
Q、Dｅｌeｔe（Ｅw）; ／/ 取下一扩展结点
解答:
斜线标识的部分完成的功能为:
提早更新bｅstw值;
如此做能够尽早的进行对右子树的剪枝。
具体为:
算法Mａｘloadinｇ初始时将ｂｅsｔw设置为0,直到搜索到第一个叶结点时才更新ｂｅｓtw、因此在算法搜索到第一个叶子结点之前,总有besｔｗ=0,ｒ〉0故Ｅw+ｒ＞besｔｗ总是成立、也就是讲,此时右子树测试不起作用、
为了使上述右子树测试尽早生效,应提早更新ｂestw。
又知算法最终找到的最优值是所求问题的子集树中所有可行结点相应重量的最大值、而结点所相应得重量仅在搜索进入左子树是增加,因此,能够在算法每一次进入左子树时更新beｓｔw的值。
７、 最长公共子序列问题:
给定2个序列Ｘ=｛x1,x２,…,xm｝与Y＝｛ｙ1,ｙ2,…,yn},找出Ｘ与Ｙ的最长公共子序列。
由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系、用c[i］[ｊ]记录序列Ｘi与Yj的最长公共子序列的长度。
其中,Xｉ={ｘ１,x2,…,xi｝;Yｊ＝｛y１,y２,…,yj｝。
当i＝0或j＝0时,空序列是Ｘi与Yｊ的最长公共子序列。
故此时C［i]［ｊ]=0。
其它情况下,由最优子结构性质可建立递归关系如下:
在程序中,b［i］[j]记录C[i]［ｊ］的值是由哪一个子问题的解得到的、
（1）请填写程序中的空格,以使函数LＣSＬｅngｔh完成计算最优值的功能、
（2）函数LＣS实现依照b的内容打印出Xi与Yj的最长公共子序列。
请填写程序中的空格,以使函数LCS完成构造最长公共子序列的功能（请将b［ｉ］[j］的取值与（１）中您填写的取值对应,否则视为错误）、
8、对下面的递归算法,写出调用f（4）的执行结果、
一、填空题（２０分）
1、一个算法就是一个有穷规则的集合,其中之规则规定了解决某一特不类型问题的一系列运算,此外,算法还应具有以下五个重要特性:
__＿_＿＿＿_＿,__＿__＿_＿,____＿__＿,____＿_＿_＿＿,＿_______＿_。
2、算法的复杂性有______＿＿＿__＿＿与＿__＿_____＿_之分,衡量一个算法好坏的标准是_＿_＿___＿___＿＿__＿__＿_＿_、
３、某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是_____＿＿_＿______＿_＿＿＿__＿__＿＿＿＿___＿___。
4、若序列X=｛Ｂ,C,A,D,B,C,D｝,Y={A,Ｃ,B,Ａ,B,D,Ｃ,D｝,请给出序列X与Y的一个最长公共子序列____＿＿_＿_＿___＿＿________＿__＿＿＿。
5、用回溯法解问题时,应明确定义问题的解空间,问题的解空间至少应包罗_＿_＿_＿__＿＿_。
６、动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干＿________＿_＿,先求解________＿__,然后从这些_＿＿＿_＿＿＿__＿_的解得到原问题的解。
７、以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为__＿＿_____＿_＿_。
8、0—１背包问题的回溯算法所需的计算时间为_＿__＿_＿＿___＿_,用动态规划算法所需的计算时间为＿_＿_＿＿____＿_、
9、动态规划算法的两个基本要素是___＿__＿____与________＿__。
1０、二分搜索算法是利用＿__＿＿__＿＿_＿__＿_实现的算法。
二、综合题（50分）
1、写出设计动态规划算法的主要步骤。
２、流水作业调度问题的jｏhｎsoｎ算法的思想。
3、若n＝4,在机器M１与Ｍ2上加工作业ｉ所需的时间分不为ai与bi,且（ａ1,a2,a３,a4）=（４,５,12,１0）,（b１,b2,ｂ３,b4）=（8,2,１5,９）求４个作业的最优调度方案,并计算最优值、
４、使用回溯法解０/1背包问题:
n=３,Ｃ＝9,V={６,１0,3},W=｛3,４,4｝,其解空间有长度为3的0—1向量组成,要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发,左1右０）,并画出其解空间树,计算其最优值及最优解、
5、设Ｓ={X1,X2,···,Xn｝是严格递增的有序集,利用二叉树的结点来存储S中的元素,在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素X,返回的结果有两种情形,
（1）在二叉搜索树的内结点中找到Ｘ=Ｘi,其概率为ｂｉ。
（2）在二叉搜索树的叶结点中确定X∈（Xi,Xi+1）,其概率为ai、在表示S的二叉搜索树T中,设存储元素Xi的结点深度为Ci;叶结点（Xi,Xi+１）的结点深度为ｄi,则二叉搜索树Ｔ的平均路长p为多少？
假设二叉搜索树T[i]［j]＝｛Xi,Xi＋1,···,Xj｝最优值为m[ｉ][j],W[ｉ]［j]=ａi-１＋ｂi+···+bj+ａj,则ｍ[ｉ]［j]（１＜=i〈＝j＜=n）递归关系表达式什么缘故？
6、描述0－1背包问题、
三、简答题（３0分）
１、流水作业调度中,已知有n个作业,机器M１与Ｍ２上加工作业i所需的时间分不为ａi与ｂi,请写出流水作业调度问题的joｈｎson法则中对ai与ｂｉ的排序算法。
（函数名可写为sort（s,ｎ））
2、最优二叉搜索树问题的动态规划算法（设函数名ｂinaryｓearcｈｔree））
答案:
一、填空
１、确定性 有穷性可行性０个或多个输入 一个或多个输出
２、时间复杂性 空间复杂性时间复杂度高低
3、 该问题具有最优子结构性质
4、｛BABＣD}或｛CAＢCD｝或｛CＡDCD｝
５、一个（最优）解
6、子问题子问题子问题
7、回溯法
８、ｏ（ｎ＊２n）o（mｉｎ{nc,２n}）
9、最优子结构 重叠子问题
1０、动态规划法
二、综合题
１、①问题具有最优子结构性质;②构造最优值的递归关系表达式;③最优值的算法描述;④构造最优解;
2、 ①令N1=｛i｜ai〈ｂｉ｝,N2=｛i｜ai＞=bi｝;②将N1中作业按ai的非减序排序得到N1’,将Ｎ２中作业按bｉ的非增序排序得到Ｎ２';③N1’中作业接Ｎ２’中作业就构成了满足Ｊohｎson法则的最优调度、
3、步骤为:
N1=｛1,3},N2=｛2,4};
Ｎ1＇=｛1,3｝,N２’＝｛4,2｝;
最优值为:
３8
4、解空间为{（０,0,０）,（0,1,0）,（0,0,１）,（1,0,0）,（０,１,1）,（１,0,1）,
（１,1,0）,（1,1,1）}。
解空间树为:
该问题的最优值为:
1６ 最优解为:
（１,1,0）
5、二叉树Ｔ的平均路长P＝+
ｍ［i］[j］=０ （ｉ>ｊ）
６、已知一个背包的容量为C,有ｎ件物品,物品i的重量为Wｉ,价值为Vi,求应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大。
三、简答题
1、
voiｄｓort（flowｊopes[］,ｉｎt n）
｛
ｉnti,k,ｊ,l;
fｏr（i=1;i〈＝n-1;i++）/／-—-－—选择排序
｛
k＝i;
while（k〈=n＆&ｓ[k]、ｔａｇ！
＝０） k＋+;
if（k〉n） brｅａk;/／——-——没有aｉ,跳出
else
{
ｆor（j＝ｋ+1;j＜=ｎ;j++）
iｆ（ｓ［j］、ｔag＝＝0）
ｉf（s［ｋ]、a〉s［ｊ]、a）k＝ｊ;
sｗaｐ（s［i］、inｄex,s［k］、ｉｎｄｅｘ）;
swap（s［i］、tａg,s［k］、tag）;
}
｝
ｌ=i;／/——－－－记下当前第一个ｂi的下标
foｒ（ｉ=l;i＜＝ｎ—1;ｉ＋＋）
｛
ｋ=ｉ;
ｆoｒ（j＝k+1;ｊ＜=ｎ;j++）
iｆ（s［ｋ］、b<ｓ[j]、ｂ）k=j;
ｓｗap（s［i]、indｅｘ,s［k］、indeｘ）;/／-——－—只移动iｎdex与ｔａｇ
sｗａp（s［i］、ｔaｇ,ｓ［ｋ］、ｔaｇ）;
}
｝
２、
voiｄｂｉnａryｓｅarｃｈｔｒee（ｉnｔ ａ[],intb［］,ｉｎｔｎ,int ＊＊m,int＊*s,iｎt *＊ｗ）
｛
int i,ｊ,k,t,l;
for（i=1;ｉ〈=n+1;i++）
{
ｗ［i］［i—1］=a[i-1］;
m［i］［i－１]＝0;
｝
fｏr（l=0;ｌ＜=n—1;l＋+）//————l是下标j—ｉ的差
for（ｉ＝1;i〈=ｎ－l;i++）
｛
j=ｉ＋ｌ;
w［ｉ］［j］=ｗ［ｉ]［j－1］+ａ［j］+b[j］;
m[i］［j］＝m[i][i—１］+m［i＋1]［j］+w［i］[ｊ];
s[ｉ］[j］=ｉ;
for（k＝ｉ+1;k<=j;ｋ+＋）
{
t=ｍ［ｉ]［k-１］+m［ｋ+１]［j］＋w[ｉ］[j］;
if（t〈m［i］［j］）
{
ｍ［i］［j］=t;
s[ｉ][ｊ］=k;
}
}
｝
}
一、填空题（本题15分,每小题1分）
1、算法就是一组有穷的 ,它们规定了解决某一特定类型问题的 、
2、在进行问题的计算复杂性分析之前,首先必须建立求解问题所用的计算模型、3个基本计算模型是 、 、 。
3、算法的复杂性是 的度量,是评价算法优劣的重要依据。
4、计算机的资源最重要的是与 资源。
因而,算法的复杂性有 与 之分、
5、f（ｎ）= 6×２n+n2,f（n）的渐进性态f（ｎ）=O（ ）
6、贪心算法总是做出在当前看来的选择。
也就是讲贪心算法并不从整体最优考虑,它所做出的选择只是在某种意义上的、
7、许多能够用贪心算法求解的问题一般具有2个重要的性质:
性质与 性质。
二、简答题（本题25分,每小题5分）
1、简单描述分治法的基本思想、
2、简述动态规划方法所运用的最优化原理。
3、何谓最优子结构性质?
4、简单描述回溯法基本思想。
5、何谓P、ＮＰ、NPC问题
三、算法填空（本题２0分,每小题5分）
1、n后问题回溯算法
（1）用二维数组A［Ｎ]［Ｎ］存储皇后位置,若第ｉ行第ｊ列放有皇后,则A［ｉ］［ｊ]为非0值,否则值为0。
（2）分不用一维数组M[N］、L［2*N—１］、Ｒ[2＊N-1］表示竖列、左斜线、右斜线是否放有棋子,有则值为1,否则值为０、
for（ｊ=０;j〈Ｎ;j+＋）
ｉf（ 1 ） /*安全检查＊/
｛A[i］[j］=i+1; ／＊放皇后*／
2 ;
ｉf（i=＝N—1）输出结果;
else 3 ;; /*试探下一行＊/
４; /＊去皇后*/
5 ;;
｝
2、数塔问题。
有形如下图所示的数塔,从顶部出发,在每一结点能够选择向左走或是向右走,一起走到底层,要求找出一条路径,使路径上的值最大。
fｏr（ｒ=n-２;r〉＝0;r--）/／自底向上递归计算
for（ｃ＝0;1 ;ｃ＋+）
if（t[r＋1]［c]〉t[r+１]［c+1]） ２ ;
else 3 ;
３、Ｈaｎoｉ算法
Hａｎoi（n,a,ｂ,c）
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