相交线与平行线单元拔高讲义.docx

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相交线与平行线单元拔高讲义

角的相关计算和证明（讲义）

一、知识点睛

在证明的过程中，

由平行想到____________、____________、____________；

由垂直想到__________________、_____________________；

由外角想到________________________________________．

二、精讲精练

1.如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=45°，∠CEF=155°，则

∠BCE=__________．

第1题图第2题图

2.如图，在正方形ABCD中，∠ADC=∠DCB=90°，G是B

边上一点，连接DG，AE⊥DG于E，CF⊥DG于F．若

∠DAE=25°，则∠GCF=_________．

3.已知：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°，在Rt△AFG中，∠G=90°，∠F=∠FAG=45°，∠CAG=20°，则∠AEB=_________，∠ADC=_________．

第3题图第4题图

4.如图，ED⊥AB于D，EF∥AC，∠A=35°，则∠DEF=________．

5.如图，在△ABC中，∠B=60°，P为BC上一点，且∠1=∠2，

则∠APD=________．

6.已知：

如图，直线BD交CF于点D，交AE于点B，连接AD，BC，∠1+∠2=180°，∠A=∠C．求证：

DA∥CB．

证明：

如图，

∵∠1+∠2=180°（__________________________）

∠2+∠CDB=180°（__________________________）

∴_______=_______（__________________________）∴______∥________（__________________________）∴∠A+∠CDA=180°（__________________________）∵∠A=∠C（__________________________）∴_______+_______=180°（__________________________）∴DA∥CB（__________________________）

7.已知：

如图，E，F分别在AB，CD上，EC⊥AF，垂足为O，∠1+∠C=90°，∠2=∠D．求证：

AB∥CD．

8.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=75°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．

9.已知：

如图，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE．

求证：

∠A=2∠P．

证明：

如图，设∠PBC=α，∠PCE=β

∵BP平分∠ABC（_______________________）

∴∠ABC=2∠PBC=2α（_______________________）

∵CP平分∠ACE（_______________________）

∴∠ACE=_______=________（_______________________）

∵∠ACE是△ABC的一个外角（_______________________）

∴2β=2α+∠A（_______________________）

∴∠A=2（β-α）（_______________________）

∵∠PCE是△BCP的一个外角（_______________________）

∴β=______+_______（_______________________）

∴∠P=β-α（_______________________）

∴∠A=2∠P（_______________________）

10.已知：

如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足D．

求证：

∠A=2∠BCD．

三、回顾与思考

_______________________________________________________________________________________________________________________________________

【参考答案】

一、知识点睛

1.同位角、内错角、同旁内角

2.直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

二、精讲精练

1.20°

2.25°

3.65°，70°

4.125°

5.60°

6.已知

平角的定义

∠1，∠CDB，同角的补角相等

AB；CD；同位角相等，两直线平行

两直线平行，同旁内角互补

已知

∠C，∠CDA，等量代换

同旁内角互补，两直线平行

7.证明：

如图

∵EC⊥AF（已知）

∴∠COF=90°（垂直的性质）

∴∠C+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）

∵∠1+∠C=90（已知）

∴∠1=∠2（同角的余角相等）

∵∠2=∠D（已知）

∴∠1=∠D（等量代换）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

8.解：

如图，

∵∠B=35°，∠C=75°（已知）

∴∠BAC=180°-∠B-∠C

=180°-35°-75°

=70°（三角形的内角和是180°）

∵AE平分∠BAC（已知）

∴∠BAE=

∠BAC

=

×70°

=35°（角平分线的定义）

∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）

∴∠AED=∠B+∠BAE

=35°+35°

=70°（三角形的一个外角等于和它不相邻

的两个内角的和）

∵AD⊥BC（已知）

∴∠ADE=90°（垂直的性质）

∴∠EAD=90°-∠AED

=90°-70°

=20°（直角三角形两锐角互余）

9.已知

角平分线的定义

已知

2∠PCE，2β，角平分线的定义

外角的定义

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

等式的性质

外角的定义

α，∠P，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

等式的性质

等量代换

10.证明：

如图，设∠BCD=α

∵CD⊥AB（已知）

∴∠BDC=90°（垂直的性质）

∴∠B=90°-α（直角三角形两锐角互余）

∵∠B=∠ACB（已知）

∴∠ACB=90°-α（等量代换）

∴∠A=180°-∠B-∠ACB

=2α（三角形内角和是180°）

即∠A=2∠BCD（等量代换）

角的相关计算和证明（随堂测试）

1.

已知：

如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠F=130°．

求证：

EF∥AB．

2.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．

求证：

∠1=∠2．

证明：

如图，

∵∠ACB=90°（已知）

∴∠CAF+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）

∵______________（__________________________）

∴∠ADE=90°（垂直的性质）

∴∠EAD+∠AED=90°（__________________________）

∵AF平分∠CAB（已知）

∴∠CAF=∠EAD（角平分线的定义）

∴______________（等角的余角相等）

∵∠1=∠AED（对顶角相等）

∴∠1=∠2（等量代换）

【参考答案】

1.证明：

如图，

∵CD∥AB（已知）

∴∠DCB=∠ABC（两直线平行，内错角相等）

∵∠DCB=70°（已知）

∴∠ABC=70°（等量代换）

∵∠CBF=20°（已知）

∴∠FBA=∠CBA-∠CBF

=70°-20°

=50°（等式的性质）

∵∠F=130°（已知）

∴∠FBA+∠F=180°（等式的性质）

∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）

2.CD⊥AB，已知

直角三角形两锐角互余

∠2=∠AED

角的相关计算和证明（作业）

3.已知：

如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD上一点．若AC⊥CE，∠A=30°，则∠E=______．

第1题图第2题图

4.已知：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，

AE⊥BC于点E．若∠ADE=80°，∠EAC=20°，则∠B=______．

5.已知：

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．

求证：

．

证明：

如图，

设∠DBC=α，∠DCB=β

∵BD平分∠ABC（___________________________）

∴∠ABC=2∠DBC=2α（___________________________）

∵CD平分∠ACB（___________________________）

∴∠ACB=______=_____（___________________________）

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（_________________________）

∴2α+2β+∠A=180°（等量代换）

∴

（___________________________）∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（_______________________）

∴α+β+∠D=180°（___________________________）

∴α+β=______-______（___________________________）∴

（___________________________）∴

（___________________________）

6.已知：

如图，AB∥DE，∠1＝∠ACB，AC平分∠BAD．

证明：

AD∥BC．

7.已知：

如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，∠ACB=70°，

∠B=40°，求∠M的度数．

【参考答案】

1.60°

2.50°

3.已知

角平分线的定义

已知

2∠DCB，2β，角平分线的定义

三角形的内角和是180°

等式的性质

三角形的内角和是180°

等量代换

180°-∠D，等式的性质

等量代换

等式的性质

4.证明：

如图，

∵AB∥DE（已知）

∴∠1=∠BAC（两直线平行，同位角相等）

∵AC平分∠BAD（已知）

∴∠DAC=∠BAC（角平分线的定义）

∴∠1=∠DAC（等量代换）

∵∠1=∠ACB（已知）

∴∠DAC=∠ACB（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

5.解：

如图，

∵∠ACB=70°，∠B=40°（已知）

∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B

=180°-70°-40°

=70°（三角形的内角和是180°）

∵AD平分∠BAC

∴∠DAC=

∠BAC=

×70°=35°（角平分线的定义）

∵EF⊥AD（已知）

∴∠APF=90°（垂直的性质）

∴∠AFP=90°-∠DAC

=90°-35°

=55°（直角三角形两锐角互余）

∵∠CFM=∠AFP（对顶角相等）

∴∠CFM=50°（等量代换）

∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）

∴∠M=∠ACB-∠CFM

=70°-55°

=15°（三角形的一个外角等于和它不相邻

的两个内角的和）