空间点直线平面之间的位置关系专题强化训练.docx
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空间点直线平面之间的位置关系专题强化训练
空间点、直线、平面之间的位置关系专题强化训练答案
一、选择题
1.l1，l2表示空间中的两条直线，若p：
l1，l2是异面直线；q：
l1，l2不相交，则（ ）
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
2.已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（ ）
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
3.给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（ ）
A.①B.①④C.②③D.③④
4.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（ ）
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________（填序号）.
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
8.
直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________.
三、解答题
9.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？
说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？
说明理由.
10.
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.
已知∠BAC＝，
AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
（1）三棱锥P－ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值.
11.以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
12.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
13.如图，
正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________.
14.
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
（1）求四棱锥O－ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值.
空间点、直线、平面之间的位置关系专题强化训练答案
一、选择题
1.l1，l2表示空间中的两条直线，若p：
l1，l2是异面直线；q：
l1，l2不相交，则（ ）
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析 直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A.
答案 A
3.已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（ ）
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
答案 D
3.给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（ ）
A.①B.①④C.②③D.③④
解析 显然命题①正确.
由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.
命题③中，两个平面重合或相交，③错.
三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.
答案 B
4.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（ ）
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
答案 C
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
解析
连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.
设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝.
答案 B
二、填空题
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________（填序号）.
解析 A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确；连接D1C，因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.
答案 ③④
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
解析 取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.
答案 4
9.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________.
解析 如图所示，
取BC中点D，连接MN，ND，AD.
∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，
∴MN綉B1C1.又BD綉B1C1，
∴MN綉BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND∥BM，
∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角（或其补角）.
设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，
在△ADN中，由余弦定理得
cos∠AND＝＝.
故异面直线BM与AN所成角的余弦值为.
答案
三、解答题
9.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？
说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？
说明理由.
解
（1）AM，CN不是异面直线.理由：
连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.
又因为A1A綉C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线.
（2）直线D1B和CC1是异面直线.
理由：
因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线.
10.
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.
已知∠BAC＝，
AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
（1）三棱锥P－ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值.
解
（1）S△ABC＝×2×2＝2，
三棱锥P－ABC的体积为
V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
（2）
如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角（或其补角）.
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
11.以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.
答案 B
12.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
解析
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.
若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直.
因此l1与l4的位置关系不能确定.
答案 D
13.如图，
正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________.
解析 取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綉AD.
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角（或其补角）.
在△GHF中，可求HF＝，
GF＝GH＝，
∴cos∠HFG＝＝.
答案
14.
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
（1）求四棱锥O－ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值.
解
（1）由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.
（2）如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，
则∠EMD（或其补角）为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵（）2＋（）2＝（）2，∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
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