山东省潍坊市届高三开学摸底考试数学理.docx
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山东省潍坊市届高三开学摸底考试数学理
山东省潍坊市2019届高三开学摸底考试
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题，则（）
A．B．
C．D．
2．复数的共轭复数是（）
A．B．C．D．
3．命题“若”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（）
A．若B．若C．若D．若
4．若，则（）
A．B．
C．D．
5．在中，，则角A等于（）
A．60°B．45°C．120°D．150°
6．设，若和的等差中项是0，则的最小值是（）
A．1B．2C．4D．
7．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
8．设变量满足线性约束条件：
，则目标函数的最小值为
（）
A．2B．-2C．6D．8
9．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了500名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
大于40岁
40
30
70
20至40岁
160
270
430
总计
200
300
500
下列说法最准确的是（）
A．有99%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄有关
B．有95%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄有关
C．有99%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄无关
D．有95%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄无关
（参考公式：
）
10．已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，（）
A．B．1C．D．
11．2019年上海世博会组委会要从A、B、C、D、E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）
A．12种B．18种C．36种D．48种
12．在平面几何中有如下结论：
正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P—ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题。
2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上。
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．在的展开式中，的系数与的系数之和等于。
14．曲线与直线在第一象限所围成的图形的面积是。
15．如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1，若ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，，则BD1的长为。
16．下列不等式
①已知；
②；
③已知；
④。
其中恒成立的是。
（把所有成立不等式的序号都填上）
三、解答题：
本大题共6小题，共74分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知集合
（1）若；
（2）若的充分条件，求实数的取值范围。
18．（本小题满分12分）
已知等差数列是递增数列，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
19．（本小题满分12分）
已知四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，，AB=PA=2，E、F分别为BC、PD的中点。
（1）求证：
PB//平面AFC；
（2）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值。
20．（本小题满分12分）
某同学参加3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为。
第二、第三门课程取得优秀成绩的概率均为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
（1）求该生恰有1门课程取得优秀成绩的概率；
（2）求该生取得优秀成绩的课程门数X的期望。
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中有两定点，，若动点M满足，设动点M的轨迹为C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线交曲线C于A、B两点，交直线于点D，若，证明：
D为AB的中点。
22．（本小题满分14分）
已知曲线在点处的切线斜率为
（1）求的极值；
（2）设在（-∞，1）上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若数列满足，求证：
对一切
参考答案
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分。
DACDCBDBACCD
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。
13．-240
14．4
15．3
16．①②④
三、解答题：
本大题共6小题，共74分。
17．（本小题满分12分）
解：
（1）…………2分
当时，…………4分
则P∩Q={1}…………6分
（2）……8分
的充分条件，
…………9分
，即实数的取值范围是…………12分
18．（本小题满分12分）
解：
（1）根据题意：
，知：
是方程的两根，且…………2分
解得，设数列的公差为
由…………4分
故等差数列的通项公式为：
…………6分
（2）当时，
…………8分
又…………9分
…………12分
19．（本小题满分12分）
解：
（1）连结BD交AC于O，
为菱形，则BO=OD…………1分
连结FO，…………3分
平面AFC，平面AFC，
平面AFC…………4分
（2）为BC中点，
…………6分
建立如图所示的空间直角坐标系，，
则，D（90，2，0）…………8分
平面PAE的一个法向量为……9分
设平面PDC的一个法向量为
则
…………11分
平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为……12分
20．（本小题满分12分）
解：
用表示“该生第门课程取得优秀成绩”，
由题意得
（1）该生恰有1门课程取得优秀成绩的概率为
该生恰有1门课程取得优秀成绩的概率为……5分
（2）由题意知…………6分
则
…………9分
X
0
1
2
3
P
该生取得优秀成绩的课程门数的期望为…………12分
21．（本小题满分12分）
解：
（1）设动点M的坐标为
由椭圆定义可知，点M的轨迹C是以）为焦点，
长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长…………4分
故曲线C的方程为…………5分
（Ⅱ）依题意，联立方程组
消去得：
…………7分
即AB的中点坐标为…………9分
解方程组
得直线与的交点D的坐标为…………10分
由得，代入D点坐标即为
综上可知，D为AB的中点…………12分
22．（本小题满分14分）
解：
（1）的定义域是…………1分
…………2分
由题知
令…………3分
当变化时，的变化情况如下表所示
1
（1，2）
+
0
-
1
所以处取得极大值1，无极小值。
…………5分
（2）…………6分
由题知上恒成立，即在（-∞，1）上恒成立……7分
即实数的取值范围是…………9分
（3）
（i）当时，由题意知…………11分
（ii）假设时，有，则时，
在（0，1）上是增函数，
即，即，又
即时，求证的结论也成立
由（i）（ii）可知对一切…………14分
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