完整版离散数学题目及答案.docx
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完整版离散数学题目及答案
数理逻辑习题
判断题
1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式（√）
2．公式p（pq）是永真式（√）
3．命题公式（pq）p是永真式（√）
4．命题公式pqr的成真赋值为010（×）
5．xA（x）Bx（A（x）B）（√）
6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题（×）
7．p（pq）p（√）
8．x（F（x）G（x））是永真式（×）
9．“我正在撒谎”是命题（×）
10．xF（x）xG（x）是永真式（√）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题（×）
12．p（pq）p（√）
13．x（F（x）G（x））是永假式（×）
14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式（√）
15．若p:
雪是黑色的，则公式pq是永真式（√）16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式（×）
17．公式pq的特异（主）析取式为pq（×）
18．命题公式p（qr）的成假赋值是110（√）
19．一阶逻辑公式x（F（x）G（x,y））是闭式（×）
单项选择题
1．下述不是命题的是（A）
A．花儿真美啊!
B．
明天是阴天。
C．2是偶数。
D．
铅球是方的。
2．
谓词公式（y）（x）（P（x）
→R（x,y））
∧yQ（x,y）中变元y（B
A．是自由变元但不是约束变元
B
．是约束变元但不是自由变元
3．
C．既是自由变元又是约束变元
D
．既不是自由变元又不是约束变元
下列命题公式为重言式的是（
A）
A
．p→（p∨q）
B．
（p∨┐p）→q
C
．q∧┐q
D．
p→┐q
4．
下列语句中不是．．命题的只有（
A）
A．花儿为什么这样红？
B．
2+2=0
）
C．飞碟来自地球外的星球。
D．凡石头都可练成金。
5．在公式（x）（y）（P（x,y）Q（z））
y）P（y,z）中变元y是（B）
A．自由变元
B．约束变元
C．既是自由变元，又是约束变元
D．既不是自由变元，又不是约束变元
6．下列命题公式为重言式的是（
A．p→（p∨q）
B．（p∨┐p）→q
C．q∧┐q
7．给定如下4个语句:
D．q→┐p
1）我不会唱歌。
2）
如果天不下雨,我就上街。
3）我每天都要上课。
4）
火星上有人吗?
其中不是复合命题的是（B
B．（3）（4）
A．
（1）（4）
C．
（1）（3）
D．
（1）（3）（4）
8．下列含有命题
p，q，r的公式中，
是特异（主）
析取范式的是
A．（pq
r）
pq）
B．
r）
pq）
C．（pq
r）
r）
D．
9．设个体域为整数集
则下列公式中值为真的是（
）。
A．（y）（x）
x·y=2）
B．
x）（y）（x·
y=2）
C．（x）（x－y=x）
D．
x）（y）（x+y=2y）
10．下述不是命题的是（D）
B．月亮上有水
D．x3
A．花儿是红色的
C．3是偶数
11．
用P表示：
天下大雨；Q表示：
他乘公共汽车上班。
将“如果天下大雨，他就乘公共
汽车上班。
”符号化正确的是（A
）
A
．PQB．QP
C．P
QD．PQ
12．谓词公式（y）（x）（P（x）
→
R（
x,y））∧
xQ（x,y）中变元y（C）
A．
是自由变元但不是约束变元
B．
是约束变元但不是自由变元
C．
既是自由变元又是约束变元
D．
既不是自由变元又不是约束变元
13．下
列命题公式为永假式的是（
C
）
A．
p→（p∨q）
B．
p∧q→q
C．
q∧┐q
D．
p→q
14．下
列语句中，不是命题的是（
C
）
A
．铅球不是球。
B
．要是他不上场，我们就不会输。
C
．刘翔跨110米栏用了不到13秒钟，
你说他是不是运动健将呢?
D
．刘翔跨110米栏用了不到13秒钟，
他是一个真正的运动健将。
13．关于命题变元P和Q的成假赋值为
01
对应的极大项是（C）
A
．┐P∧QB．┐P∨Q
C．P∨
┐QD．P∧┐Q
14．谓词公式（y）（x）（P（x）
→
R（
x,y））∧
yQ（x,y）中变元y（B）
A
．是自由变元但不是约束变元
B．
是约束变元但不是自由变元
C
．既是自由变元又是约束变元
D．
既不是自由变元又不是约束变元
15．
设p:
开关A开，q：
开关B开,则“开且只开
A、B中一个开关”的命题公式是（
A．
pq
B．
p
q
C．
（pq）（pq）
D．
（p
q）（pq）
16．下
列等价式正确的是（C）
A．
┐（x）A（x）┐A
B．
（x）（
y）A（x）（y）A
C．
┐（x）A（x）┐A
D
．（x）（A（x）B（x））（x）A（x）（x）B（x）
17．在论域D={a,b}中与公式（x）
A
（x）
等价的不含存在量词的公式是（B）
A．
A（a）A（b）
B
．A（a）
A（b）
C．
A（a）A（b）
D．
A（b）
A（a）
18．下
列命题公式为重言式的是（
C
）
A．
p→（p∧q）
B．
（p∨┐
p）→q
C．
p∨┐p
D．
p→┐q
C）
19．下列命题中真值为1的是（B）
A．若2+2=4,则3+36
B．若
2+2=4,则3+3=6
C．2+2=4,当且仅当3+36
D．2+24,当且仅当3+3=6
20．设个体域为整数，下列公式中真值为
1的是（
B）
A．xy（x+y=1）
B．
xy（x+y=1）
C．xy（x+y=1）
D．
xy（x+y=1
21．下列命题中真值为0的是（C
）
A．若2+2=5,则3+36
B．若2+2=4,则3+3=6
C．2+2=5,当且仅当3+36
D．
2+24,当且仅当3+3=6
22．谓词公式x（M（x）y（E（y）
L（x,y））中变元x（C）
A．是自由变元但不是约束变元
B．
是约束变元但不是自由变元
C．既是自由变元又是约束变元
D．
既不是自由变元又不是约束变元
23．设个体域为整数，下列公式中真值为
1的是（
B）
A．xy（x+y=1）
B．
xy（x+y=1）
C．xy（x+y=1）
D．
xy（x+y=1
填空题
1．n个命题变元的极小项有2n
个。
2．设p:
220,q:
3是奇数，则pq的真值是1。
3．含n个命题变项的重言式的特异（主）合取范式为1
4．设个体域为整数集合Z，命题xy（xy3）的真值为1
5．公式xP（x）xQ（x）的前束范式为x（P（x）Q（x））
6．设p：
我很累，q：
我去学习，命题：
“我很累，但我还去学习”的符号化为pq
7．设P表示：
天下大雨；Q表示：
他乘公共汽车上班，则命题“如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。
”的符号化是pq
8．设P：
2+2＝4，Q：
3是奇数,则命题“2+＝24，当且仅当3是奇数．”的符号化为PQ
9．含n个命题变项的矛盾式的特异（主）析取范式为0
10．命题公式pq成假的解释是01,1011．pq的成假解释为01,10
计算题
1．
求
xF（x）
xG（x）的前束范式。
解：
xFx
xGx
xFx
xGx3分
xFx
Gx3分
2．
求
（pq）
r的真值表，并写出它的特异（主）析取范式和特异（主）合取范式。
解：
真值表如下：
故主析取范式为
pqrpqrpqrpqrpqr
主合取范式为
pqr
p
qr
pqr
3．求命题公式的
（（p
q）
r）p成真赋值。
解：
pq
r
p
=p
q
r
p
pq
=prqrp
成真赋值100，010，101，110，111
4．将公式（xP（x）yR（y））xF（x）化为前束范式。
解：
xPxyRyxFx
xyPxRyxF
xyPxRyzF
xyzPxRyF
5．求公式（p∨（q∧r））→（p∧q∧r）
解：
pqr
pqr
p
q
r
pq
r
p
q
r
p
qr
p
q
p
r
pq
p
q
r
p
qr
成真赋值为：
000，001，010，111
6．用谓词公式表示“有人喜欢吃所有的食物”
解：
Mx:
x是人，Ny:
y是食物
Hx,y:
x喜欢吃y
符号化：
xMxyNyH
7．用作真值表方法确定下列命题公式的类型：
x
z
z
的特异（主）析取范式，并求成真赋值r
pqrpqr
。
x,y
（（pq）（qp））（pq）.解：
设原式=A，真值表如下：
p
q（pq）
（qp）
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
则原式为永真式。
pqA
11
11
01
11
8．用逻辑式表示
”。
某些计算机与某些外部设备之间不能相联
解：
Cx：
x是计算机，Dx：
x为外部设备，
Px,y：
x与y相联
10．给定一阶逻辑公式xP（x,y）
yQ（y），求该公式的前束范式。
符号化为xy（C（x）D（y）P（x,y））
解：
原式＝（F（a）
yG（y））（F（b）
yG（y））
＝（F（a）
（G（a）
G（b）））
（F（a）（G（a）G（b）））
＝（F（a）
F（b））
（G（a）
G（b））
9．在个体域D{a,b}，消去公式x（F（x）
yG（y））的量词。
解：
原式xPx,yzQz
xzPx,yQz
11．用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间能相联解：
Cx：
x是计算机，Dx：
x为外部设备，
Px,y：
x与y相联
符号化为xy（C（x）D（y）P（x,y））
12．用等值演算求命题公式┐（p∨q）∧（q→r）的特异（主）析取范式，并判断该公式的
类型。
解：
原式
pq
qr
p
q
qpqr
p
q
pqr
p
q
rpqr
公式类型为非永真的可满足式。
13．设一阶逻辑公式Gx（yP（x,y）（zQ（z）R（x））），试将G化成与其等价的前束范式。
解：
Gx（yP（x,y）（zQ（z）R（x）））
＝xy（P（x,y）z（Q（z）R（x）））
＝xyz（P（x,y）（Q（z）R（x）））
14．设公式G的真值表如下，试求出G的特异（主）析取范式和特异（主）合取范式。
p
q
r
G
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
解：
主析取范式（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）
主析取范式（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）
15．求公式xF（x）yG（x,y）的前束范式。
解：
原式＝xF（x）yG（z,y）
＝xy（F（x）G（z,y））
证明题
1．用等值演算证明等值式
（p
r）
（qr）（pq）r
证明：
左边（pvr）
（q
r）
（pq）r
（pq）r
（p
q）
r右边
2．设P,Q,R是三个命题，构造下列推理证明：
前提：
PQ,QR,P
结论：
R
证明：
1P前提引入
2PQ前提引入
3Q12析取三段论4分
4QR前提引入
5R34假言推理4分
前提：
p（q
s），q，r
p
结论：
rs
证明：
（1）r
附加前提引入
（2）
pr
前提引入
（3）
p
（1）
（2）拒取
3．证明下列推断
4）pq
s
前提引入
5）qs
6）q
7）s
（3）（4）假言推理
前提引入
（5）（6）假言推理
4．用构造证明法证明下列推理：
前提：
pq,（qr）r,（ps）
结论：
s
证明：
1s
2ps
3ps
4p
5prr
6pr
7r
8r
9rr
5．证明：
p（qr）证明：
左边pqprqprqprqprq
否定结论引入
前提引入
2置换
13析取三段论
前提引入
5简化
5简化
46析取三段论
78合取
（pr）q。
r
＝右边
6．证明公式G＝（（P→Q）∧（Q→P）∧P）→P是永真式。
证明：
G
（（PQ）
（Q
P）
P）P
＝（（P
Q）
P）
P
＝（（P
P）
（P
Q））P
＝（P
Q）
P
＝P
Q
P
＝1Q
＝1
G为永真式
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