QZZN高手分享数学运算经典题解.docx

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QZZN高手分享数学运算经典题解

数学运算经典题解

【天下息戎】制作

又名：

今晚打老虎

1】剪绳索问题：

例一：

将一根绳索持续对折三次，然后每隔必然长度剪一刀，共剪6刀。

问如此操作后，原先的绳索被剪成了几段？

段        段        段        段

【息戎注：

对折三次这条绳索就变成2^3段，有7个拐点，对折n次就有2^n段，拐点有2^n-1个（注意是对折，与平均折三次有本质区别）】

解析：

切一刀变成2^n+1份，以后每多切一刀就增加2^n份，因此切了6刀，就变成2^3*6+1=49.

因此针对【对折剪绳索问题】取得公式如下：

对折n次，均匀剪了m刀，共变成2^n*m+1份，其中有2^n-1份【看拐点的个数】的长度是其他绳索长度的两倍。

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例二：

【变形题】将一根绳索持续对折三次，然后每隔必然长度剪一刀，共剪6刀。

问如此操作后，剪成两种长度的绳索，较短的绳索比较长的绳索多多少根？

解析：

一共剪成49短，拐点有7个，因此有7个长度是另一种长度两倍，49-7*2=35

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例三：

一根铁丝长２０００厘米，剪二种规格的小段，３６厘米和１９厘米的，不能有剩余，问最少剪几回（最多剪）？

【息戎解析】：

2000\36=55…..20

2000\19=105…..5

咱们发觉：

36n+19m=2000n和m都是整数。

从上面两个式子咱们能够取得：

36乘以n小于55的数加上20是19的倍数。

因为【余数的积】等于【积的余数】17n+20是19（能够看成【19=17+2】的倍数）.n=10符合条件的还有2948【10+19的倍数】

因此：

45+2000\19=45+20=65.最少要切成65段需要64刀

最多：

确实是切成36的越少，段数越多。

（36*48+20）\19+（55-48）=92+7=99.因此切98刀。

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2】不定值问题：

例一：

小明用5天时刻看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么，小明第五天至少看了多少页.？

解析：

设小明第一天看了a页，第二天看了b页，那么前五天看的页数依次为:

    a，b，a+b，a+2b，2a+3b.

上面各个数的和是200，得到

    5a+7b=200.

因为5a与200都是5的倍数，所以b是5的倍数.

因为b>a，

因此上式只有两组解:

    b=20，a=12;b=25，a=5.

将这两组解分别代入2a+3b，得到第五天至少看了84页.

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例二：

国2007-51）学校举行一次中国象棋竞赛，有10名同窗参加，竞赛采纳单循环赛制，每名同窗都要与其他9名同窗竞赛一局。

竞赛规那么，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分，竞赛终止后，10名同窗的得分各不相同，已知：

（1）竞赛第一名与第二名都是一局都没有输过；

（2）前两名的得分总和比第三名多20分；

（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。

那么，排名第五名的同窗的得分是（   ）。

分                  分                  分                分

［解析］10名同窗单循环竞赛，共需竞赛C210=45场，每人竞赛9场。

每场竞赛不管竞赛结果如何，对竞赛两边得分总奉献为2分（假设两边打平的话，两边各得1分；假设有一方获胜，那么胜方得2分，负方得0分），因此所有人总得分是45×2＝90分。

依照条件

（1），明白前两名之间的竞赛是平局，第一名的成绩最多是2×8+1=17分。

因为他们得分各不相同，第二名的得分最多是16分；依照条件

（2），第三名的得分最多是13分；那么第四名的得分最多是12分，第五名的得分最多是11分。

依照条件（3），后四名（七至十名）的得分和最多是12分。

假设第五名得分不足11分，那么第五名得分最多是10分，第六名的得分最多是9分，现在所有人的得分和≤17+16+13+12+10+9+12=89＜90分，矛盾。

假设不成立，即第五名的得分恰为11分。

【息戎解析】：

设第三名为a，第四名为b，第五名为c第六名为d。

10名同窗单循环竞赛确实是每俩人干一场C210=45,因此45场共90分。

下面确实是看看那个90分的分派。

2a+20+2b+c+d=90

2（a+b）+c+d=70

a+b大于等于c+d+4

因此：

3（c+d）》62

c+d》

c>d，c=11能够确信。

因为考场上没有时刻验证。

只能直接去确信值。

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例三：

A、B、C、D、E五个人在一次总分值为100分的考试中，得分都是大于91的整数。

若是A、B、C的平均分为95分，B、C、D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分。

那么D的得分是：

（）

分 分 分 分

【息戎解析】：

95*3-94*3能够取得，A-D=3能够排除B和D项。

若是D等于96那么B或C确实是第二名，第5名就小于91.只能选C

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例四：

五个人的体重之和是428斤,他们的体重都是整数,而且各不相同.那么体重最轻的人,最重可能是（）斤

解析：

423\5=84….3抛开3，先看中间值是84的持续五个数8二、83、84、8五、86，最轻的提高一斤，就需要5斤来提高整体.3能够忽略掉。

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例五：

现有鲜花21朵分给5人，假设每一个人分得的鲜花数量各不相同，那么分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。

A7        C、9  

解析：

21\5=4…1，展开23456看最高的，余数只能加到6上。

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3】余数、倍数、约数问题：

例一：

有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，而且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。

那么，这四个自然数的和是：

（）

【息戎解析】：

先确信A的值，A是五、六、7的公倍数，其中最小公倍数是210，因为他们的和不超过400只有210符合。

B:

5X+5=210

C:

6x+6=210

D:

7X+7=210

解出来加和便取得，210+41+34+29=314

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例二：

已知三个持续自然数依次是1一、九、7的倍数，而且都在500-1500之间，那么这三个数的和是？

A3129

B3132

C3135

D3140

【息戎解析】：

三个数的和必然9的倍数，“弃九法”列位数字加和看是不是是9的倍数。

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例三：

一个自然数,被7除余2,被8除余3,被9除余1,1000之内一共有多少个如此的自然数有多少个？

A 2 

B 3 

C 4 

D 5 

【息戎解析】：

7n-5与8n-5的最小公倍数是56n-5能够化成56n+51，那个数与9n+1的最小公倍数能够写成：

504n+X,在1000内只有n=0、1符合。

因此有两个。

【那个地址面X是一个大于51小于504的一个正整数，咱们没有必要求出那个数来】

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例四：

一个自然数.被23456整除.被7除余6.被8除余4.被9除余3.那个数最少为多少？

【息戎解析】：

此题考查的是中国剩余定理。

先找，7、8的最小公倍数，被9除余3；7、9的最小公倍数，被8整出余4；八、9的最小公倍数，被7整出余6的。

56\9=6…..2，2*6=12除以9余3,56*6符合

同理能够找到：

能被7，8整除，被9除余3的数为56×6=336

能被8，9整除，被7除余6的数为72×3=216

能被7，9整除，被8除余4的数为63×4=252

804-504=300

公式确实是:

504n+300最小值是300.

23456的最小公倍数是60

N=051015符合

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4】浓度问题

例一：

甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的溶液600克。

此刻从甲、乙两杯中掏出相同总量的溶液，把从甲杯中掏出的倒入乙杯中，把从乙杯中掏出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。

问此刻两倍溶液的浓度是多少（）

　　%解析：

两杯混合后溶液是1000，通过尾数法直接选B。

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【转载天字一号】盐水互换问题有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．此刻从两杯倒出等量的盐水，别离互换倒入两杯中．如此两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克

解析：

带入公式  m=xy/x+y

        m=9600/200=48

例二：

有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．此刻从两杯倒出等量的盐水，别离互换倒入两杯中．如此两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？

公式：

互换量=mn/（m+n）

通过公式能够直接取得

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例三：

某容器中装有盐水。

教师让小李再倒入5%的盐水800克，以配成20%的盐水。

但小李却错误地倒入了800克水。

教师发觉后说，没关系，你再将第三种盐水400克倒入容器，就能够够取得20%的盐水了。

那么第三种盐水的浓度时多少？

（）   

 A20%  B、30%  C、40%  D、50%

【息戎解析】：

拆补法解题。

因为800清水与400克溶液混合，再把它们分成800克5%的溶液和400克20%的溶液。

800*5%+400*20%=120120\400*100%=30%

例四：

有浓度为30%的溶液假设干，加了必然数量的水后稀释为24%的溶液，若是再加入一样多的水后，浓度将变成多少?

【息戎解析】：

设中间量24%为100克。

因此溶质为24克

原有溶液：

24\30%=80克，因此加了20克水，再加20克水溶液变成120克。

例五【十字交叉法】：

容器中有某种浓度的酒精，加入一杯水后，容器中的纯酒精含量为25%，再加入一杯纯酒精，容器中的纯酒精含量为40%。

问原先容器中有几杯酒精，浓度是多少？

【息戎解析】：

100151

40=

2560m

取得：

m=4，4-1=3有三杯，

X253

25=

0X-251

能够解出X的值

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4】排列组合

例一：

用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：

1，2，3，4，5，12，……，54321。

其中，第206个数是

A.313B.12345C.325D.371

解析：

p51+P52+P53+P54=205

因此选B

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例二【变形题】：

用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：

1，2，3，4，5，12，……，54321。

其中，第226数字是

A.1B.2

解析：

p51+P52*2+P53*3=225

第226必然是1.

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例三：

五个人站成一排,甲乙站在一路最后的站法共有（  ）种.

【息戎解析】:

甲乙站到一路P22，然后全排P44--捆绑法

例四：

五个人站成一排,甲乙不站在一路最后的站法共有（  ）种：

【息戎解析】：

三个人全排p33有四个空，p42------插孔法

例四：

三边长均为整数，且最大边长为100的三角形的个数为（）

（A）2500个（B）2550个（C）2600个（D）2650个

【息戎解析】：

100之内共有100个数能够选择，以后每选择一边递减2，行程等差数列。

（100+2）*50\2=2550

例五：

将14封信投入23个邮筒，有多少种不同的投法？

【息戎解析】：

每一个封信有23当选择，共14封。

因此是14个23相乘23^14

例六：

8本不同的书，任选3本分给3个同窗，每人一本，有多少种不同的分法？

【息戎解析】：

第一，C83然后p33

【转载自天字一号】P33，咱们来看第一个同窗能够有3种书选择，选择完成后，第2个同窗就只剩下2种选择的情形，最后一个同窗没有选择。

【变形题】8本不同的书，任选3本分给3个同窗，有多少种不同的分法？

【息戎解析】：

C83，然后3^3。

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例七：

从4台甲型和5台乙型电视机中任意掏出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，那么不同的取法共有（）

（A）140种（B）84种（C）70种（D）35种

解析：

C93-C43-C53=70

错位排列：

D1=0D2=1D3=2D4=9D5=44

例八：

五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，那么贴错的可能情形有几种？

息戎解析：

C53*2

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例九：

2名同窗别离到三个不同的路口进行车流量的调查，假设每一个路口4人，那么不同的分派方案共有__

C（4,12）C（4,8）C（4,4）___种

【转自天字一号】【解析】每一个路口都顺顺序考虑

第一个路口是C12取4

第二个路口是C8取4

第三个路口是C4取4

则结果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗其实不是这样的在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。

如果再×P33则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口那么情形又不一样因为咱们在分派人数的时候考虑了路口的不同。

因此最后要去除这种可能情形因此在上述结果的情形下要÷P33

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例十：

在一张节目表中原有8个节目，假设维持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方式？

【转自天字一号】先用一个节目去插9个空位，有P（9,1）种方式；再用另一个节目去插10个空位，有P（10,1）种方式；用最后一个节目去插11个空位，有P（11,1）方式，由乘法原理得：

所有不同的添加方式为P（9,1）×P（10,1）×P（11,1）=990种

例十一：

从10双不同颜色的手套中任取3只，颜色各不相同，问有多少种取法？

【息戎解析】：

C103*2^3=120*8=960先掏出、

例十二：

从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

（A）240（B）180（C）120（D）60

【息戎解析】：

先取颜色六种颜色先去一种，这种确实是一双，在从剩下五种颜色中掏出两种来，再从这两种颜色中各取一只与完整的一双来搭配。

C61*C52*2^2=240

【变形题】从6不同颜色各2双的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

六种颜色选一种，这一种颜色有两种选择，C61*C21

再选两种颜色C52*4^2

12*10*16=1920

例十三：

用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　）

　　A．24个　B．30个　C．40个　D．60个

【息戎解析】：

此题咱们先做出全数没有重复数字的来，减去奇数的确实是偶数的。

C41*C41*C31-C21*C31*C31=30.

第一，全数：

百位只能安排2345，先安排一个，十位安排剩下的四个，个位安排剩下的三个。

奇数：

先安排个位，3和5，剩下4个，在安排百位，百位上不能安排0.因此只能安排3个，剩下3个，取一个安排到十位上。

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例十四：

八位同窗出去野营，晚上他们在沙滩上玩游戏，游戏需要这八个同窗围成两个四人的圆圈，请问一共有多少种方式？

A720

B900

C1080

D1260

【息戎解析】：

此题考查分组问题，分成两组确实是C84\A22,再确实是圆圈全排列，A33A33，答案选D

例十五：

4个不同小球放入编号为一、二、3、4的四个盒子，那么恰有一个空盒的放法有___种

【息戎解析】：

C42，把其中俩球捆到一路，放到4个盒子里面P43，C42*P43=6*4*3*2=144

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例十六：

8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1～11的盒子里面，每一个盒子至少放1个，有多少种方式？

【息戎解析】：

方式一：

先挑出8个空来安排八块奶糖，C118，剩下三个全排列P33.

方式二：

直接安排3种奶糖，剩下的8个自然放到剩下的盒子里。

确实是P113

两种方式都得990.

例十七：

某人去ABCDE五个城市旅行，第一天去A城市，第七天到E城市。

若是他今天在某个城市，那么他第二天确信会离开那个城市去另一个城市，那么他一共有多少种旅行行程安排？

A204B205C819D820

【息戎解析】：

第一确信，从第一天开始到第七天，有6次转移，因为5个城市，因此，底数是5-1，因此是4^6=4096,4096\5=,在那个地址咱们想到“公事员精神”第一选择给他人，题目去的不是A城市，最接近819，因此选C，若是回到A城市就选820。

【变形题】：

某人去ABCDE五个城市旅行，第一天去A城市，第七天到E城市。

那么他一共有多少种旅行行程安排？

A204B3125C819D820

解析：

此题从底数入手，第二天有5种选择，因此不需要减1

【变形题】：

某人去ABCDE五个城市旅行。

若是他今天在某个城市，那么他第二天确信会离开那个城市去另一个城市，共旅行七天。

那么他一共有多少种旅行行程安排？

【息戎解析】：

答案是：

5*4096。

先设定其中一个城市，共有4^6种选择。

共有5个城市。

要乘以5.

【变形题】：

某人去ABCDE五个城市旅行，第一天去A城市，第二天到只能去CDE城市,第三天去A城市，第七天回到A城市。

若是他今天在某个城市，那么他第二天确信会离开那个城市去另一个城市，那么他一共有多少种旅行行程安排？

【息戎解析】：

3*1*4*4*4*4=256*3，从A城市动身的，768\5=

第一接近给他人154不给A,153给A.

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5】行程问题

例一：

甲．乙两人同时从A、B两地动身相向而行，甲抵达B地后当即往回走，回到A地后，又当即向B地走去；已抵达A地后当即往回走，回到B地后，又当即向A地走去。

如此往复，行走的速度不变，假设两人第二次迎面相遇，地址距A地500米，第四次迎面相遇地址距B地700米，那么A、B两地的距离是多少？

【息戎解析】：

这是典型的两岸型相遇问题。

若是那个题是第一次是距A地500米，第二次距B地700米咱们能够用两岸型公式得出

500*3-700=800，可是那个地址问的是第二次和第四次，那个公式就不有效了。

需要咱们继续推导。

**条件：

甲、乙两车别离同时从A、B两地动身，各自到头即返回。

假设其m小于n，第m次相遇距A点是a千米，第n次相遇距B点式b千米，全程为s

则甲乙两车两次别离共走了2m-1和2n-1个全程，甲走了（m-1）s+a,乙走了ms-a,一样甲走了ns-b,乙走了（n-1）s+b，由于别离走的时刻相同能够依照等量列等式：

（m-1）s+a\ms-a=ns-b\（n-1）s+b

化简能够取得：

S=（2n-1）a+（2m-1）b\m+n-1

一样咱们来推导单岸型。

条件：

甲、乙两车别离同时从A、B两地动身，各自到头即返回

假设其m小于n，第m次相遇距A点是a千米，第n次相遇距A点式b千米，全程为s

那么甲乙两车两次别离共走了2m-1和2n-1个全程，第一次甲走了（m-1）s+a,乙走了ms-a,一样甲走了（n-1）s+b,乙走了ns-b，由于别离走的时刻相同

（m-1）s+a\ms-a=（n-1）s+b\ns-b

化简取得：

s=（2n-1）a–（2m-1）b\n-m

因此此题咱们代入已经推导出来的公式：

7*500+3*70