人教版初中数学七年级上册《411 立体图形与平面图形》同步练习卷含答案解析.docx
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人教版初中数学七年级上册《411立体图形与平面图形》同步练习卷含答案解析
人教新版七年级上学期《4.1.1立体图形与平面图形》
同步练习卷
一．解答题（共10小题）
1．[问题提出]
一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？
只有一面涂上颜色的有多少块？
有两面涂上颜色的有多少块？
有三面涂上颜色的多少块？
[问题探究]
我们先从特殊的情况入手
（1）当n=3时，如图
（1）
没有涂色的：
把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1=1个小正方体；
一面涂色的：
在面上，每个面上有1个，共有6个；
两面涂色的：
在棱上，每个棱上有1个，共有12个；
三面涂色的：
在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．
（2）当n=4时，如图
（2）
没有涂色的：
把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2=8个小正方体：
一面涂色的：
在面上，每个面上有4个，6个面，共有24个；
两面涂色的：
在棱上，每个楼上有2个，共有24个；
三面涂色的：
在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．
…
[问题解决]
一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：
把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有 个小正方体；一面涂色的：
在面上，共有 个；两面涂色的：
在棱上，共有 个；三面涂色的：
在顶点处，共 个．
[问题应用]
一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积．
[问题拓展]
把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块？
2．如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒，并回答下面问题．
（1）圆柱、六棱柱各由几个面组成？
它们都是平的吗？
（2）圆柱的侧面与底面相交成几条线？
它们是直的吗？
（3）六棱柱有几个顶点？
经过每个顶点有几条棱？
（4）试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点．
3．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，填写下面的空．
（1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
（2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
（3）由此猜想n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点．
4．将下列几何体按名称分类：
柱体有：
；锥体有：
；球体有：
（均填序号）
5．如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：
厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留π）．
6．如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数比为1：
2：
4：
5，请完成下面问题：
（1）求出扇形丁的圆心角度数；
（2）如果圆的半径r为2，请求出扇形乙的面积．
7．下图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图①，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图②；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图③．
（1）图②中大三角形被分割成 个三角形；图③中大三角形被分割成 个三角形．
（2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？
第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？
8．如图所示，图①～图④都是平面图形
（1）每个图中各有多少个顶点？
多少条边？
这些边围出多少个区域？
请将结果填入表格中．
（2）根据
（1）中的结论，推断出一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系．
图序
顶点数
边数
区域数
①
4
6
3
②
③
④
9．对于如图①、②、③、④所示的四个平面图
我们规定：
如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4个，边为AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8条．
（1）按此规定将图①、②、④的顶点①数、边数、区域数填入下列表格：
图
顶点数
边数
区域数
①
②
③
5
8
4
④
（2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系．
（3）若有一个平面图满足
（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？
10．图中有多少个三角形？
人教新版七年级上学期《4.1.1立体图形与平面图形》
同步练习卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．[问题提出]
一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？
只有一面涂上颜色的有多少块？
有两面涂上颜色的有多少块？
有三面涂上颜色的多少块？
[问题探究]
我们先从特殊的情况入手
（1）当n=3时，如图
（1）
没有涂色的：
把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1=1个小正方体；
一面涂色的：
在面上，每个面上有1个，共有6个；
两面涂色的：
在棱上，每个棱上有1个，共有12个；
三面涂色的：
在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．
（2）当n=4时，如图
（2）
没有涂色的：
把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2=8个小正方体：
一面涂色的：
在面上，每个面上有4个，6个面，共有24个；
两面涂色的：
在棱上，每个楼上有2个，共有24个；
三面涂色的：
在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．
…
[问题解决]
一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：
把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有 （n﹣2）3 个小正方体；一面涂色的：
在面上，共有 6（n﹣2）2 个；两面涂色的：
在棱上，共有 12（n﹣2） 个；三面涂色的：
在顶点处，共 8 个．
[问题应用]
一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积．
[问题拓展]
把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块？
【分析】[问题解决]依据正方体内部的小正方体的体积之和，可得没有涂色的正方体数量；依据正方体每个面上的内部的小正方体的面积，即可得到一面涂色的正方体的数量；依据正方体的棱上处于中间部分的小正方体的数量，可得两面涂色的小正方体数量；依据正方体的顶点数量，即可得到三面涂色的小正方体的数量；
[问题应用]设正方体棱长为ncm，依据有两面涂色的小正方体有96个，可得方程12（n﹣2）=96，再根据棱长即可得到体积；
[问题拓展]依据一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，把它切成棱长2cm的小正方体，类比上述问题的解决方法，即可得到没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块．
【解答】解：
[问题解决]
一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：
把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有（n﹣2）3个小正方体；一面涂色的：
在面上，共有6（n﹣2）2个；两面涂色的：
在棱上，共有12（n﹣2）个；三面涂色的：
在顶点处，共8个．
故答案为：
（n﹣2）3，6（n﹣2）2，12（n﹣2），8；
[问题应用]
设正方体棱长为ncm，
∵有两面涂色的小正方体有96个，
∴12（n﹣2）=96，
∴n=10，
∴这个大正方体的体积为1000cm3．
[问题拓展]
把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，把它切成棱长2cm的小正方体，
没有面涂色有（16﹣4）（10﹣4）（8﹣4）÷8=36块，
一面涂色有2[（16﹣4）（8﹣4）÷4+（16﹣4）（10﹣4）÷4+（10﹣4）（8﹣4）÷4]=72块，
两面涂色有4[（16﹣4）÷2+（10﹣4）÷2+（8﹣4）÷2]=44块，
三面涂色有8块．
【点评】本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：
1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
2．如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒，并回答下面问题．
（1）圆柱、六棱柱各由几个面组成？
它们都是平的吗？
（2）圆柱的侧面与底面相交成几条线？
它们是直的吗？
（3）六棱柱有几个顶点？
经过每个顶点有几条棱？
（4）试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点．
【分析】
（1）依据棱柱与圆柱的各个面进行判断；
（2）依据圆柱的侧面与底面的交线进行判断；
（3）依据六棱柱的特征进行判断；
（4）根据棱柱与圆柱从平面图形以及立体图形角度分析得出即可．
【解答】解：
（1）圆柱有3个面，六棱柱有8个面，圆柱有两个平面，有一个曲面，棱柱的8个面都是平面；
（2）圆柱的侧面与底面相交形成1条线，是一条曲线；
（3）该棱柱共有12个顶点，经过每个顶点有3条棱；
（4）棱柱与圆柱的相同点是：
都是柱体；
不同点是：
棱柱与圆柱的底面形状不同，棱柱的底面是多边形，圆柱的底面是圆形，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的侧面是长方形．
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，认真观察图形是解题的关键．
3．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，填写下面的空．
（1）四棱柱有 6 个面， 12 条棱， 8 个顶点；
（2）六棱柱有 8 个面， 18 条棱， 12 个顶点；
（3）由此猜想n棱柱有 （n+2） 个面， 3n 条棱， 2n 个顶点．
【分析】结合已知三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，3n条棱和2n个顶点．
【解答】解：
（1）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；
（2）六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；
（3）由此猜想n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．
故答案为：
（1）6，12，8；
（2）8，18，12；（3）（n+2），3n，2n．
【点评】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：
n棱柱有（n+2）个面，3n条棱和2n个顶点．
4．将下列几何体按名称分类：
柱体有：
（1）
（2）（3） ；锥体有：
（5）（6） ；球体有：
（4） （均填序号）
【分析】根据立体图形的特征，可得答案．
【解答】解：
柱体有：
（1）
（2）（3）；锥体有：
（5）（6）；球体有：
（4），
故答案为：
（1）
（2）（3），（5）（6），（4）．
【点评】本题考查了认识立体图形，掌握立体图形的特征是解题关键．
5．如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：
厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留π）．
【分析】根据图示可得两个图1中的图组成一个圆柱，因此图2中的图形体积=
个底面半径是2cm，高为10cm的圆柱体积．
【解答】解：
π×22×10+
（π×22×10）=40π+20π=60π（立方厘米）．
答：
该新几何体的体积为60π立方厘米．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，关键是找出图2中图形的体积计算方法．
6．如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数比为1：
2：
4：
5，请完成下面问题：
（1）求出扇形丁的圆心角度数；
（2）如果圆的半径r为2，请求出扇形乙的面积．
【分析】
（1）利用360°乘以扇形丁所占比例即可；
（2）利用圆的面积乘以扇形乙所占比例即可．
【解答】解：
（1）扇形丁的圆心角度数：
360°×
=150°；
（2）扇形乙的面积：
π×22×
=
π．
【点评】此题主要考查了计算圆的面积和圆心角，关键是掌握圆的面积公式：
πr2．
7．下图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图①，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图②；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图③．
（1）图②中大三角形被分割成 7 个三角形；图③中大三角形被分割成 10 个三角形．
（2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？
第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？
【分析】
（1）读图可得：
图②中大三角形被分割成7个三角形；图③中大三角形被分割成10个三角形；
（2）由图②、图③总结规律，图①是4个，图②是4+3×1个，图③是4+3×2个，…则图⑩有4+3×9=31个，第n个图形有4+3（n﹣1）=3n+1个．
【解答】解：
（1）图②中大三角形被分割成7个三角形；图③中大三角形被分割成10个三角形．
（2）图⑩有4+3×9=31个，
第n个图形有4+3（n﹣1）=3n+1个．
【点评】此题是一个找规律的题目，要认真观察图形，寻找规律，再作答．
8．如图所示，图①～图④都是平面图形
（1）每个图中各有多少个顶点？
多少条边？
这些边围出多少个区域？
请将结果填入表格中．
（2）根据
（1）中的结论，推断出一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系．
图序
顶点数
边数
区域数
①
4
6
3
②
③
④
【分析】
（1）根据图示分析即可解．
（2）根据表格的分析结果可解．
【解答】解：
（1）填表如下：
图序
顶点数
边数
区域数
①
4
6
3
②
8
12
5
③
6
9
4
④
10
15
6
（2）由
（1）中的结论得：
边数﹣顶点数+1=区域数．
【点评】此题比较新颖，要特别注意题中所给概念的意义，并找出等量关系．
9．对于如图①、②、③、④所示的四个平面图
我们规定：
如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4个，边为AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8条．
（1）按此规定将图①、②、④的顶点①数、边数、区域数填入下列表格：
图
顶点数
边数
区域数
①
②
③
5
8
4
④
（2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系．
（3）若有一个平面图满足
（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？
【分析】
（1）根据规定结合图形即可填充表格．
（2）根据所填的表格即可得出平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系．
（3）根据
（2）的关系直接写出答案．
【解答】解：
（1）按此规定将图①、②、④的顶点数、边数、区域数填入下列表格：
图
顶点数
边数
区域数
①
4
6
3
②
6
9
4
③
5
8
4
④
10
15
6
（2）由表格得：
顶点数+区域数=边数+1，
（3）设顶点数为x，根据题意可知，x+9=
+1，
得出x=16
每个顶点发出三个3边，有9个区域数，
则有16个顶点，24条边．
【点评】本题考查平面图形的知识，有一定难度，关键是理解题意，根据特殊推出一般规律．
10．图中有多少个三角形？
【分析】首先把图形分解，找出以O为中心的四边形里面共有16个三角形，共有3个四边形，因此共有16×3=48个，在每两个四边形的交界处各有4个三角形，共有8个，再求和即可．
【解答】解：
以O为中心的四边形里面共有16个三角形，16×3=48（个），
在每两个四边形的交界处各有4个三角形，共有4×2=8个，
图中共有三角形：
48+8=56（个）．
【点评】此题主要考查了认识平面图形，关键是正确数出以O为中心的四边形里面共有16个三角形．
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