一元二次方程复习讲义.docx
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一元二次方程复习讲义
一元二次方程复习讲义
.基本概念
1.定义：
形如：
ax2・bx，c=O（a严0）的方程.即：
只含有一个未知数，并且所含未知
数的最高次数是2的方程，叫一元二次方程.其中a、b、c都是常数，a叫二次
项系数，b叫一次项系数，c叫常数项；ax2bx^0（a尸0）叫做一元二次方程的一般式.
例题：
若方程（m-1）xm1-2x二3是关于x的一元二次方程，求m的值.
解:
m-1式0
由已知得抽+1=2
m=1
解得
m=±1
分析：
已知方程疋关于x的一兀二次方程,故可化成ax•bx•c=0（a厂0）.其中方程左边是一个关于未知数x的二次三项式（a=0）,方程右边是零。
由此可知该一元二次方程的二次项为（m-1）x〔,一次项系数为m-1,
次数m+1必须等于2.
2.一兀二次方程的特殊形式
（1）当b=0，c=0时，有：
ax2=0，.••x2=0，.••x=0
（2）当b=0，c=0时，有：
ax2■c=0，va=0，此方程可转化为：
x2=-卫
a
1当a与c异号时，-->0，根据平方根的定义可知，x=%-；即:
a\a
当b=0,c=0，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根是互为相反数；
②当a与c同号时，--<0，v•负数没有平方根，•••方程无实数根.
a
（3）当b=0,c=0时，有：
ax2b^0，此方程的左边可以因式分解，使方程转化为:
x（axb）=0.即：
x=0或axb=0，.••x1=0，x2.
a
由此可见：
当b=0,c=0时，一元二次方程ax2b^0有两个不相等的实数根,且两实根中必有一个是0.
二.一元二次方程的解法
1.首要工作：
解一元二次方程时，如果所给的方程不是一元二次方程的一般式，第一步要先把它化为一元二次方程的一般式，然后再确定用什么方法求解•
2.解一元二次方程的常用方法：
（1）直接开方法：
把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个
形如：
ax2•c=0的方程时，可以使用此方法求解.
解法步骤：
1把常数项移到等号右边：
ax2=—c
2方程中各项都除以二次项系数：
x2=-C
a
（2）因式分解法：
把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分
解的话，可以使用此方法求解.
解法步骤：
1把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；
2令每个因式分别等于0,进而求出方程的两个根.
例：
解关于x的方程：
x2「（mn）xmn=0
解：
把方程左边因式分解得：
（x_m）（x_n）二0
二x1=m，x2=n
（3）配方法：
当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解
时，可使用此方法.
解法步骤：
1若方程的二次项系数不是1时，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1;
2把常数项移到等号右边；
3方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
4方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；
5方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根.
例1:
解方程：
3x2•12x-6=0
解：
方程两边同时除以3得：
移项，得：
x2・4x=2常数项移到等号右边
222
•••x4x
（2）^2
（2）方程两边都加上一次项系数一半的平方
即：
（x•2）2=6方程左边变成完全平方式，右边合并同类项
•x•2=：
—6方程两边同时开平方
--x<|二-2.、冷6,X?
二—2-.6最后求出方程的根
例2:
解方程：
x2-4x=0
解：
移项，得：
x-4x=-1常数项移到等号右边
•x24x（-2）2--1-（-2）2方程两边都加上一次项系数一半的平方
即：
（x-2）2=3方程左边变成完全平方式，右边合并同类项
•x-2=_•、3方程两边同时开平方
•Xi=2，、3,X2=2_3最后求出方程的根
（4）公式法：
利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程•
求根公式：
一元二次方程ax2bx0（a=0）的求根公式为：
x=—-4ac（其中a、b、c分别为一元二次方程的二次
2a
项系数、一次项系数和常数项）
解法步骤：
①先把一元二次方程化为一般式；
2找出方程中a、b、c等各项系数和常数的值；
3计算出b2-4ac的值；
把a,b,b2-4ac的值代入公式
⑤求出方程的两个根
例题：
解方程：
（1）x2-4x*=0
（2）x（x+12）=8x+12（3）2x2-3x，2=0
解：
（1）方程中：
a=2,b=-8,c=8
：
=b2_4ac=（-4）2-4X1X4=16-16=0
-（-4）八0
21
•••原方程根为捲=X2=2.
（2）原方程化简得：
x2・4x—12=0
方程中：
a=1,b=4,c=-12
.：
=b2_4ac=（4）2-4X1X（-12）=16+48=64
-48
2
=一2_4
•••原方程根为：
x/2,x2=-6.
（3）方程中：
a=2,b=-3,c=2
.：
=b2_4ac=（-3）2-4X2X2=9-16=-7
v.'：
<0•••原方程无实数根.
3.一元二次方程解法练习题
（1）用直接开方法解一元二次方程：
一36=0
①x2+1=2②（2x-1）2=7
④（3x-4）2=（3-4x）2⑤25x2-36=0⑥（X-3）2-144二0
（2）用因式分解法解一元二次方程：
2x2-10x=0色）x2-5x6=0x24x-5=0
④3x（x-1）=X-1⑤5x（x-3）=6-2x⑥2（x+2）（x-1）=（x+2）（x+4）
⑦3（x-5）2=2（5-x）⑧（x-5）（x-6）=x-5@）（x2）2-10（x2）25=0
⑩（X1）（x2^2x4⑦（2x-5）2-（x4）2=0⑦4（x-1）2-9（x2）2=0
（3）用配方法解一元二次方程：
⑦x2-3x1=0⑦x2x-1=0⑦x2-7x-9=0
⑦4x2-12x+3=0⑦2x2-7x-4=0⑦x（x+4）=8x+12
力3x2Fx-=0
8）4x2—x+1=0
「6x3=0
（4）用公式法解一元二次方程:
1）3x2—5x2=0
22x12-10x=3
㉚3x25（2x1）=0
42x（x4）=1
⑤（x3）（x—1）—2
60.25x20.5x=—1
力3x2-x-=0
8）4x2—x+1=0
㉚2x2-7x-4=0
㉚4x2-12x+3=0
㉚2x2-33x+130=0
2
x■3x■3=0
（5）选择适当的方法解下列方程：
㉚
㉚3x21=4x
二2x
㉚（x-2）2=9x2
5）x22x-9999=0
63x2=9x
㉚2x2-2、、2x=1㉚4x2=（x1）2
㉚（x101）2-10（x101）9=0
⑩2（2x•1）2-15（2x1）-8=0
1㉚x2-6x+9=0
㉚（x3）2-25=0
l4x2-x-1=0
15x2-4x-5=0
⑯9（2m3）2-4（2m-5）2=0
㉚3（x-2）2=x（x-2）
⑱（x2）23（x2）=0
㉚（x1）（x-1）=2x㉚2（x-2）22（x-2）=0
㉚（2m3）2
=2（4m7）
㉚x（3x-7）=2x
㉚（2x-7）2-x（2x-7）=0
㉚（2x-1）2=（3x1）2
㉚（x1）（x-1）=2.,2x㉚（x-2）2=9
@7t2-4t=5
.一元二次方程根的判别式
㉚丄丄[1_§x（x_]）]x?
_x丄
222323
㉘2x7x-3=0㉙4（x1）2=4（2x-5）2㉚
（1当厶_0时=方程有两个实数根；
（2）当尺=b2-4ac的值小于0时，即:
』当占＞0时二方程有两个不相等的实根;
当也=0时二方程有两个相等的实数根;
:
一■-0时=方程无实数根.
例1.不解方程判断下列方程跟的情况：
（1）2x2-8x8=0
（2）x24x-12=0（3）2x2-3x2=0
解：
（1）方程中：
a=2,b=-8,c=8
22
：
=b_4ac=（-8）2-4X2X8=64-64=0
v：
=0二原方程有两个相等的实数根.
（2）方程中：
a=1,b=4,c=-12
.：
=b2_4ac=（4）2-4X1X（-12）=16+48=64
v：
＞0•••原方程有两个不相等的实数根.
（3）方程中：
a=2,b=-3,c=2
.：
=b2_4ac=（-3）2-4X2X2=9-16=-7
v：
＜0二原方程无实数根.
例2.关于x的一元二次方程（m—1）x2—2（m—3）x+m+2=0有实数根，求m的取值范围.
分析：
当m—1工0时，该方程是关于x一元二次方程，要使一元二次方程有实数根，必须也色0;但当m-仁时，即m=1时，该方程变为6x+2=0，它是一个一元一次方程，所以m式1.
解：
当m—1工0时,即：
m=1时，该方程是关于x一元二次方程.
v原方程有实数根
•••••-0，即：
A=[—2（m—3）]2—4（m—1）（m+2）=—28m+44一0
解得:
md
•m的取值范围是
例3.求证：
关于x的一元二次方程（k-2）x2—2（k-1）x+k1=0（^3）总有实数根.
证明：
v-b2-4ac二[-2（k-1）]2-4（k-2）（k1）=4（3-k）且k_3，
•总有-0
•关于x的一元二次方程（k-2）x2—2（k-1）x+k1=0（k乞3）总有实数根.
四.一元二次方程根与系数的关系
1.定理：
设一元二次方程ax2bx（"（a^O且b2-4ac_0）的两个根分别为X1和X2，
则:
x1x2=
x1，x2
特别地：
对于一元二次方程x2px0，根与系数的关系为:
（X1
7..73
X2
5-、73）
4
注：
①此定理成立的前提是A>0•也就是说必须在方程有实数根时才可使用.
2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理，它是由法国数学家弗朗索
瓦•韦达（FrançoisVi辻e;1540年一1603年12月13日）提出的，
韦达是十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。
韦达讨论
了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理。
2.根与系数关系的应用举例
（1）验证一元二次方程的解是否正确；
例1.不解方程，检验下列方程的解是否正确?
x2-22x1=0
（X"i=•、2T，x2=■.2—d）
解：
①Tx1x2=.21...2-1=2.2，--=一^=-2.2
a1
X1X2乂21）（、.2—1）=2-1=1，-=^1
a1
•IX1•X2=，X1X2=—x^21，X2八2-1是方程的解.
aa
7+J73
X2
迄=3—-
解：
是它的另一个根是Xi,则
6
-Xi二一，…Xi=
4
•••方程的另一根为3.
4
注：
本题也可由x1+2=11求出x-i=3
44
（3）已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积，求这个方程；
例3.已知一元二次方程的两根分别为—和-7，求这个方程.
52
bc
bx-=0，则
aa
b27
解：
设所求的一元二次方程为:
b=4+（一-）二旦
a5210
a10
—•（一7）=_28
a5210
•••所求的一元二次方程为:
X227^28
=0
1010
即:
10x2+27x-28=0.
例4.已知一元二次方程的两根之和是10,两根之积是22,求这个方程和这个方程
的两个根
解：
设所求的一元二次方程为：
x2—x—=0，则
aa
b“bc—
x1x210，…10；x1x222
aaa
•所求的一兀二次方程为：
x2-10x■22=0
解这个方程得：
Xi=5，、3，X2=5-、3
例5.已知两个数的和是5,这两个数的积是6,求这两个数.
解：
把所求的两个数看做是某个一元二次方程的两个根，根据已知条件可知:
x1+x2=5,x1•x2=6
•••这个一元二次方程为：
x2-5x•6=0
解这个方程得：
捲=2,x2=3.
•所求的两个数分别为2和3.
（4）利用根与系数关系求方程中的未知系数;
11X1X2
十=
X1X2X1X2
|为—x2I二、（％x2）2-4x-!
x2
（为—X2）2二（X1X2）2—4x1X2，
3
X1
3
X2
二（X1X2）3
-3x1x2（x1x2），
22
X1X2X-IX^X-IX2（X!
X2）
例6.已知方程2x2kx一9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.
解：
设方程的另一根为x1，则x1•（-3）=-9,二x1=3
22
X1+X2二一k二一9+3=—6,即：
—k=—6
222222
"程的另一根为|,k的值为6,
例7.已知关于x的方程x2-3x•m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值.
解：
设方程的两根分别为xi和2xi，由根与系数关系可知：
b_3
x1+2x1===3，即：
3x1=3二x1=1，2x1=2
a1
二方程的两个根分别是1和2.
c
-x1x2mm=x1•（2x1）=1X2=2
a
（5）利用根与系数关系求代数式的值；
例8.若为公2是方程X2・2x-2012=0的两个根，求下列各式的值：
11
①X12■X22;②；③（X1-5）（X2-5）;④IX1-X2I.
解：
由题意，根据根与系数的关系得：
x1+x^-2，x1x^-2012
1X!
2X22=（X1x2）2-2x1x2=（-2）2-2（-2012）=4028
2丄±=X^=乙=丄
x-ix2x1x2-20121006
3（^-5）（X2-5）=x1x^5（x1x2）25=-2012-2（-5）25二-1977
4|人-x2|=.（x^x2）^.（x1x2）2-4x^2「（-2）2-4（-2012）=22013
注：
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
X12X22=（X1X2）2-2X1X2，
根与系数的关系充分体现了整体代换的思想.
（6）运用根的判别式和根与系数的关系解综合题
例9.已知关于x的一元二次方程x2•（2m_1）x•m2=0有两个实数根％和x2.
1求实数m的取值范围；
2当X；—x；=0时，求m的值.
解：
①由题意有&=（2m-1）2-4m2>0,解得m<-.
4
即:
实数m的取值范围是m<丄.
4
②由x-2-x；=0得（捲•x2）（为-x2）=0.
1若x-x^0,即卩—（2m-1）=0，解得m二一.
2
1111
由②知：
mw-—>—,.m=-不合题意，舍去.
4242
11
若捲-x2=0，贝Ux1=x2=0,由②mw得m二一.
44
•••当xf-xf=0时，m二丄.
4
例10.已知关于x的方程x2-（kT）x•Ik2T=0,根据下列条件，分别求出k的值.4
（②方程两实根的积为5;（②方程的两实根xi,x2满足|x（|=x2.
分析：
②由根与系数关系即可求出；②有两种可能，一是x1=x2•0,二是
-x^x2，所以要分类讨论.
解：
②•••方程两实根的积为5,
L
212广
也=[-（k+1）]2-4（；k2+1）30§
4即:
2•-k=4
12I
x1x2k1=5k=4
L4
•••当k=4时，方程两实根的积为5.
②由|x|=X2得知：
②当捲一0时，X1=X2，所以方程有两相等实数根，•=0,^;
2
②当x1<0时，-%=x2,•x1x2=0即k0•k=T
3由于.：
-0时k—-,故k=-1不合题意，舍去.
综上可得，k二-时，方程的两实根Xi,X2满足|xi|=X2.
2
例11.已知一元二次方程x2-2x・m=0.
①若方程有两个实数根，求m的范围;
②若方程的两个实数根为x1,x2，且x1+3x2=3，求m的值.
解：
②△=4-4m•••方程有两个实数根，4-4m>0,即m<1
②由一元二次方程根与系数的关系和已知可得：
X+x2=2
%+3x2=3
3
x^2
1
x2:
2
.313
-x1x2=m…m=—
224
例12.已知关于x的一元二次方程x2=2（1—m）x—m2的两实数根为X1,X2.
②求m的取值范围;
②设y=X1+X2,当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值.解：
②将原方程整理为一般式：
x2+2（m—1）x+m2=0.
•••原方程有两个实数根，
•••△=[2（m—1）2—4m2=—8m+4>0，解得mW-.
2
②■/X1，X2为x2+2（m—1）x+m2=0的两根，
口1
•y=X1+x2=—2m+2，且mW—.
2
•••一次函数y=—2m+2中y随m的增大而减小
•••当m取最大值丄时，y取得极小值1.
2
例13.已知关于x的方程x2-2（k-3）xk2-4k-1=0.
②若这个方程有实数根，求k的取值范围；
②若这个方程有一个根为1，求k的值；
②若以方程x2「2（k「3）x•k2「4k「1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰
在反比例函数y=m的图象上，求满足条件的m的最小值.
x
解：
①由题意得△二［_2k—3f-4k2—4k—1>0
化简得-2k-10>0,解得k<5.
2将1代入方程，整理得：
k2-6k^0,
解这个方程得ki=3-i3,k2=3.3.
3设方程x2-2（k-3）xk2-4k-1=0的两个根为Xi,X2,
根据题意得m=x,x2.
又由一元二次方程根与系数的关系得：
X1X2二k2-4k-1,
•••m二k2-4k-1二k-22一5,•••当k=2时m取得最小值一5
例14.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）.
1求证：
方程有两个不相等的实数根；
2设Xi,X2为方程的两个实数根，且Xi*2X2=14，试求出方程的两个实数根和k的值.
解：
①b2-4ac=（-6）2-41（-k2）=364k20,
.••方程有两个不相等的实数根.
②；花X2二-'6=6,
a1
又：
x-i2x2=14,
解方程组：
儿甘6,得:
N八2,
必+2x2=14,Ix2=8.
c_k2
由根与系数关系：
X1X^-，得：
-28=——，解得：
k=-4.
a1
根与系数关系练习题
一、填空题
1.一元二次方程x2*x-2=0的两根之积是
2.以1,-3为根的一元二次方程是.
3•若xi,X2是方程x=4的两根，贝UxiX2的值是
4.一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是xi,X2,则xi+X2等于
5•若方程2x2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1,则k的值是.
6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2—8x7=0的两个根，则这个直
角三角形的斜边长是•
7.设x!
x2是方程x2px^0的两实根，捲•1,x21是关于x的方程x2•qx•p=0的
两实根，则p=,q=.
2
8.已知a、B是一元二次方程x-4x-3=0的两实数根，则代数式（a-3）（p-3）=.
9.已知一兀二次方程x2-（石+1）x+巧-1=0的两根为刘、X2,则一+—=
x1x2
10.设*，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x123x1x2x22的值为
11
2.若Xi,X2是方程2x?
_6x•3=0的两个根，贝U的值为（）
捲x
19
A.2B.-2C.-D.9
22
3.已知菱形ABCD勺边长为5,两条对角线交于0点，且OA0B的长分别是关于x的方
程x（2m-1）xm2^0的根，则m等于（）
A.-3B.5C.5或一3D.-5或3
4.若t是一兀二次方程ax2bx，c=0（a=0）的根，则判别式厶=b2-4ac和完全平方式
M=（2atb）2的关系是（）
A.厶=MB.厶•MC..「：
：
MD.大小关系不能确定
5.若实数a=b，且a,b满足a2-8a•5=0,b2-8b•5=0,贝M弋数式皂11的值为（a—1b—1
）
A.-20B.2
C.2或-20D.2或20
11
6.已知方程2x2-x-3=0的两根为X1,X2，那么一•一=（）
X1X2
（C）3（D）-3
2的一元二次方程是（）
2
（B）x-2x3=0
（D）x22x3=0
8.若方程4x2，（a2-3a-10）x4^0的两根互为相反数，则a的值是（
（A）5或一2（B）5
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