解:
(1)
I=A(n)−A(t)
=In+In¡1+・・・+It+1
=
n(n+1)
2
−t(t+1)
2
(2)
I=A(n)−A(t)
=
Σn
k=t+1
Ik=
Σn
k=t+1
Ik
=2n+1−2t+1
3.已知累积函数的形式为:
a(t)=at2+b。
若0时刻投入的100元累积到3时刻
为172元,试计算:
5时刻投入的100元在10时刻的终值。
第1页
解:
由题意得
a(0)=1,a(3)=
A(3)
A(0)
=1.72
⇒a=0.08,b=1
∴A(5)=100
A(10)=A(0)・a(10)=A(5)・a(10)
a(5)
=100×3=300.
4.分别对以下两种总量函数计算i5和i10:
(1)A(t)=100+5t;
(2)A(t)=100(1+0.1)t.
解:
(1)
i5=
A(5)−A(4)
A(4)
=
5
120
≈4.17%
i10=
A(10)−A(9)
A(9)
=
5
145
≈3.45%
(2)
i5=
A(5)−A(4)
A(4)
=
100(1+0.1)5−100(1+0.1)4
100(1+0.1)4
=10%
i10=
A(10)−A(9)
A(9)
=
100(1+0.1)10−100(1+0.1)9
100(1+0.1)9
=10%
第2页
5.设A(4)=1000,in=0.01n.试计算A(7)。
解:
A(7)=A(4)(1+i5)(1+i6)(1+i7)
=1000×1.05×1.06×1.07
=1190.91
6.试计算500元经过两年半的累积达到615元的对应年单利率?
另外,500元以
单利率7.8%累积多少时间可以达到630元?
解:
设年单利率为i
500(1+2.5i)=615
解得i=9.2%
设500元需要累积t年
500(1+t×7.8%)=630
解得t=3年4个月
7.已知单利率为4%,问:
经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5%?
解:
设经过t年后,年利率达到2.5%
1+4%×t=(1+2.5%)t
t≈36.367
8.已知:
(1+i)5=X,(1+i)2=Y.求(1+i)11.
解:
(1+i)11=(1+i)5+2£3=XY3
9.已知600元投资两年将产生利息264元(复利方式),问:
2000元以同样的实
利率投资3年的终值。
第3页
解:
设实利率为i
600[(1+i)2−1]=264
解得i=20%
∴A(3)=2000(1+i)3=3456元
10.已知:
第n年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一
个货币单位。
计算(1+i)2n.
解:
设实利率为i
1
(1+i)n+
1
(1+i)2n=1
解得(1+i)¡n=
√
5−1
2
所以(1+i)2n=(
√
5−1
2
)¡2
=
3+
√
5
2
11.已知:
500元经过30年的投资将增为4000元,计算:
分别在第20、40和60年底
投资10,000元的现值之和。
解:
由500×(1+i)30=4000⇒(1+i)30=8
于是PV=
10000
(1+i)20+
10000
(1+i)40+
10000
(1+i)60
=1000×(8¡2
3+8¡4
3+8¡2)
=3281.25
12.以同样的实利率,1元经过a年增为2元,2元经过b年增为3元,3元经过c年增
为15元。
若已知6元经过n年增为10元。
试用a,b和c表示n。
第4页
解:
(1+i)a=2
(1)
(1+i)b=
3
2
(2)
(1+i)c=5(3)
(1+i)n=
5
3
(4)
(4)⇒n・ln(1+i)=ln5−ln3
(3)⇒ln5=c×ln(1+i)
(1)×
(2)⇒ln3=(a+b)・ln(1+i)
故n=c−(a+b)
13.已知资本A在一年内产生的利息量为336,产生的贴现量为300。
计算A。
解:
A・i=336
A・d=300
i−d=i・d
⇒A=2800
14.分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下,计算d5。
解:
(1)
d5=
a(5)−a(4)
a(5)
=
10%
1+5×10%
=6.67%
第5页
(2)
a¡1(t)=1−0.1t
⇒a(t)=
1
1−0.1t
⇒d5=
a(5)−a(4)
a(5)
=
1
0.5
−1
0.6
1
0.5
=16.67%
15.试用i(3)表示d(4),用d(12)表示i(6)。
解:
由(1+
i(3)
3
)3=(1−d(4)
4
)(¡4)
⇒d(4)=4・[1−(1+
i(3)
3
)¡3
4]
由(1+
i(6)
6
)6=(1−d(12)
12
)(¡12)
⇒i(6)=6・[(1−d(12)
12
)¡2−1]
16.在以下两种情况下计算100元在两年底的终值:
季结算名利率6%;每四年结
算一次的名贴现率为6%。
解:
(1)终值为100×(1+i(4)
4)4£2=112.65元
(2)终值为100×[(1−4d(1
4))
1
4]¡2=114.71元
17.已知:
i(m)=0.1844144和d(m)=0.1802608。
计算m。
解:
利用1
d(m)
−1
i(m)=1
m
⇒m=8
18.基金A以单利率10%累积,基金B以单贴现率5%累积。
计算两个基金的利息
力相等的时刻。
第6页
解:
aA(t)=1+0.1t⇒δA(t)=
a0
A(t)
aA(t)
=
0.1
1+0.1t
a¡1
A(t)=1−0.05t⇒δB(t)=−(a¡1
B(t))0
a¡1
B(t)
=
0.05
1−0.05t
由δA(t)=δB(t)得
t=5
19.一年期投资的累积函数为二次多项式,前半年的半年名利率为5%,全年的实
利率为7%,计算δ0.5。
解:
依题意,累积函数为a(t)=at2+bt+1
a(0.5)=0.25a+0.5b+1=1.025
a
(1)=a+b+1=1.07
⇒
a=0.04
b=0.03
于是
δ0.5=
a0(0.5)
a(0.5)
=0.068
20.已知:
帐户A的累积函数为:
1+t2,帐户B的累积函数为:
1+2t+t2。
计算帐
户A的利息力超过帐户B的利息力的时刻。
解:
依题意,δA(t)=2t
1+t2,δB(t)=2
1+t
由δA(t)>δB(t)
⇒2t
1+t2>
2
1+t
⇒t>1
21.已知季结算名贴现率为8%,分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当
前的现值:
全部采用复贴现;在最后的不足年份内采用单贴现。
解:
d(4)=8%,设复利下月实贴现率为d,单利下实利率为d0。
全部采用复利:
(1−d)3=1−8%
2
第7页
PV=5000(1−d)25=4225.25
前两年用复利:
1−3d0=1−8%
2
PV=5000(1−d)24(1−d0)=4225.46
22.为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元,当前选择这样的投资:
前两
年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。
已知季结算名利率6%,计算第3年
初投入的金额。
(原来的答案有误)
解:
i(4)=6%,则i=(1+6%
4)4−1=6.14%
设第3年初投入X,以第3年初为比较日,列价值方程
2000(1+i)2+2000(1+i)+X=2000v2+5000v8
解得X=504.67元
23.在一定的利率下,下面两种付款方式等价:
1〕第5年底支付200元,第10年底
支付500元;2〕第5年底一次性支付400.94元。
另外,以同样的利率现在投资100元
再加上第5年底投资120元,这些投资在第10年底的终值为P。
试计算P。
解:
对两种付款方式,以第5年为比较日,列价值方程:
200+500v5=400.94
解得v5=0.40188
所以
P=100(1+i)10+120(1+i)5=917.762
24.经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍?
解:
1000(1+6%)t=2×1000(1+4%)t
解得:
t=36年
25.已知年利率为8%,且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元,计
算n。
第8页
解:
列价值方程为
100vn+100v2n=100
解得n=6.25
26.基金A以月换算名利率12%累积;基金B以利息力δt=t
6
累积,初始时刻两基
金本金相同,计算两基金累积额相同的下一个时刻。
解:
δt=1
6t,得基金B的积累函数为
aB(t)=exp(
∫t
0
δsds)=exp(
t2
12
)
欲使aA(t)=aB(t)则
(1+
1
12
i(12))12t=exp(
t2
12
)
解得t=1.4
27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。
解:
1000(1+i)15=3000
则i
(2)=((1+i)
1
2−1)×2=7.46%
28.已知现金流:
当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元,在
第2年底的终值为700元。
计算实利率。
解:
列价值方程为
300(1+i)2+200(1+i)+100=700
解得i=11.96%
29.已知货币的价值以利息力δt=kt积累,在十年内增长了一倍,计算k。
(原来
的答案有误)
解:
δt=kt则积累函数为
a(t)=exp
∫t
0
ksds=exp(
k
2
t2)
由a(10)=2得e50k=2
解得k=0.0139
第9页
30.已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的
一个货币单位的资本以实贴现率i贴现的的现值之和为2.0096,计算i。
解:
(1+i)3+(1−i)3=2.0096
解得i=0.04
31.现有实利率为的投资项目。
证明:
一个货币单位的本金在第二个计息期的利
息收入与第一个计息期的利息收入之差为。
试给出这个结论的实际背景解释。
解:
一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j,第二个计息期内的利息收
入j+j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。
32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式:
A)现在付款15元,6个月后付款13.65元
B〕现在一次性付款28元。
如果两种方式无差异,计算隐含的年实利率。
(将原题中的16元改成13.65元,这
样结果更加符合实际)
解:
设半年实利率为i
0,则有:
15(1+i
0
)+13.65=28(1+i
0
)
解得:
i
0
=0.05故:
i=(1+i
0
)2−1=0.1025
33.甲在1997年元旦借给乙1000元,要求乙按下面方式偿还:
分别于1998年
和1999年元旦偿还100元,于2000年元旦偿还1000元。
在1998年元旦(正常还
款后)甲因急需资金,将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。
如果甲乙合约的年
利率为,甲丙合约的年利率为,比较和的大小。
解:
价值方程:
正常:
1000=100(1+j)¡1+100(1+j)¡2+1000(1+j)¡3
转让:
960=100(1+k)¡1+1000(1+k)¡2
解得:
j=6.98%,k=7.4%
从而:
j34.如果常数利息力增加一倍,计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。
第10页
解:
和δ等价的年利率i=eδ−1,年利率变化:
e2δ−eδ
eδ−1
=eδ
和δ等价的年贴现率1−e¡δ=d,年贴现率变化:
e¡δ−e¡2δ
1−e¡δ=e¡δ
35.证明:
lim
d!
0
δ−d
δ2=lim
i!
0
i−δ
δ2=
1
2
证:
lim
d!
0
δ−d
δ2=lim
δ!
0
δ−1+e¡δ
δ2=lim
δ!
0
1−e¡δ
2δ
=lim
δ!
0
e¡δ
2
=
1
2
lim
i!
0
i−δ
δ2=lim
δ!
0
eδ−δ−1
δ2=lim
δ!
0
eδ−1
2δ
=lim
δ!
0
eδ
2
=
1
2
36.某厂家对零售商提供两种折扣:
付现款可低于零售价格30%;6个月后付款,
可低于零售价格25%。
如果两种方式等价,计算对应的年利率。
解:
设货款为S,半年实利率为i
0
则有:
0.7S(1+i
0
)=0.75S
解得:
1+i
0
=1.0714
故i=(1+i
0
)2−1=14.80%
37.令01)在(t,1)内单利计算;
2)复利计算;
3)单利方式:
先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻t。
在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小。
解:
1)单利方式:
X1(1+(1−t)i)=1
2)复利方式:
X2(1+i)1¡t=1
3)单利方式:
X3=(1+ti)
1+i
由Taylor展开易证:
(1+i)1¡t>1+(1−t)i(1+i)t<1+it
故X138.基金A以年利率6%累积;基金B以年利率8%累积。
第10年底两个基金的终值
之和为2000元,第10年底基金A为基金B的一半。
计算第5年底两个基金的资本之
和。
(原来的答案有误)
第11页
解:
设基金A,B的本金为A,B:
A(1+0.06)10+B(1+0.08)10=1000
A(1+0.0610)=0.05B(1+0.08)10
解得:
A(1+0.06)5=498.17
B(1+0.08)5=907.44
从而5年底的累积值和=1405.61
39.已知第一年的实利率i1与第二年的实贴现率d2数值相同,第一年初的1000元
在第二年底的终值为1200元。
计算i1。
解:
设第二年的实利率i2,由题意:
i1=d2=i2
1+i2
从而:
1000(1+i1)(1+i2)=1000(
1+2i2
1+i2
)(1+i2)=1200
解得:
i2=0.1,进而i1=1
11
40.甲以名利率i
(2)=10购得1000份100元面额的26周国债。
1)计算价格P;
2)近似推导名利率i
(2)的波动对价格P的影响(dP
di
(2));
3)当名利率波动一个百分点时,近似计算价格P的波动范围。
(待查)
解:
1)P=1000×100×(1+i
(2)
2)¡1=95238.095
2)P=105
1+i
(2)
2
(dP
di
(2))=−2£105
(2+i
(2))2
3)(|dP
di
(2)
|)|
i
(2)=10%=4.5351×104即波动范围:
95238.095±453.51
41.对j>0,证明:
1)f(m)=(1+j
m)m是m的递增函数;
2)g(m)=m[(1+j)
1
m−1]是m的递减函数。
解:
1)f
0
(m)=1
m(1+j
m)mln(1+j
m),j>0,m>0,f
0
(m)>0
2)令y=ln(1+j)/m,则原式化为:
ey−1
y
ln(1+j)(j>0)
由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。
42.面额100元的26周国债名收益率11.07%。
证明:
售价在94.767到94.771之间时,
均可保持这个收益率。
(题意不理解,暂无修改意见)
第12页
第二章习题答案
1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存
款1000元,后十年每年底存款1000+X元,年利率7%。
计算X。
解:
S=1000s20p7%¬+Xs10p7%¬
X=
50000−1000s20p7%¬
s10p7%¬=651.72
2.价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式:
每月底还250元,期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解:
设首次付款为X,则有
10000=X+250a48p1.5%¬
解得X=1489.36
3.设有n年期期末年金,其中年金金额为n,实利率i=1
n
。
试计算该年金的现值。
解:
PV=nanpi¬
=n
1−vn
1
n
=
(n+1)nn2−nn+2
(n+1)n
4.已知:
a¬np=X,a2¬np=Y。
试用X和Y表示d。
解:
a2¬np=a¬np+a¬np(1−d)n则
d=1−(
Y−X
X
)
1
n
5.已知:
a¬7p=5.58238,a1¬1p=7.88687,a1¬8p=10.82760。
计算i。
解:
a1¬8p=a¬7p+a1¬1pv7
解得i=6.0%
6.证明:
1
1−v10=s1¬0p+a1¬p
s1¬0p。
第1页
证明:
s1¬0p+a∞¬p
s1¬0p=
(1+i)10−1
i+1
i
(1+i)10−1
i
=
1
1−v10
7.已知:
半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值:
开始4年每半
年200元,然后减为每次100元。
解:
PV=100a8p3%¬+100a20p3%¬=2189.716
8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。
然
后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计15年。
设前25年的年利率为8%,
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解:
设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日
1000¨s25p8%¬=X¨a15p7%¬
解得X=8101.65
9.已知贴现率为10%,计算a¨¬8p。
解:
d=10%,则i=1
1−d
−1=1
9
a¨¬8p=(1+i)
1−v8
i
=5.6953
10.求证:
(1)a¨¬np=a¬np+1−vn;
(2)s¨¬np=s¬np−1+(1+i)n
并给出两等式的实际解释。
证明:
(1)a¨¬np=1−vn
d=1−vn
i
1+i
=1−vn
i+1−vn
所以a¨¬np=a¬np+1−vn
(2)s¨¬np=(1+i)n−1
d=(1+i)n−1
i
1+i
=(1+i)n−1
i+(1+i)n−1
所以a¨¬np=s¬np−1+(1+i)n
第2页
12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利
率6%,计算:
1)该年金在1979年9月7日的现值;2)该年金在1992年6月7日的终
值。
解:
PV=100a49p1.5%¬−100a2p1.5%¬=3256.88
AV=100s49p1.5%¬−100s2p1.5%¬=6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1-10年和第21-30年中每
年1元,在第11-20年中每年2元;年金B在第1-10年和第21-30年中每年付款金
额为Y,在第11-20年中没有。
已知:
v10=1
2
,计算Y。
解:
因两种年金价值相等,则有
a30pi¬+a10pi¬v10=Ya30pi¬−Ya10pi¬v10
所以Y=3−v10−2v30
1+v10−2v30=1.8
14.已知年金满足:
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另
外,递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解:
由题意知,
2a2npi¬+3anpi¬=36
2anpi¬vn=6
解得i=8.33%
15.已知
a¬7p
a1¬1p=
a¬3p+sX¬p
aY¬p+sZ¬p
。
求X,Y和Z。