高考数学理总复习讲义二元一次不等式组及简单的线性规划问题.docx
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高考数学理总复习讲义二元一次不等式组及简单的线性规划问题
第二节
二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题
❶画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，一般步骤为：
直线定界，虚实分明；特殊点定域，优选原点；阴影表示．
注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．特殊点一般选一个，当直线不过原点时，优先选原点．
❷如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得.
1．二元一次不等式（组）表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分❶
2．简单的线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式（组）
线性约束条件
由变量x，y组成的一次不等式（组）
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解（x，y）
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值❷的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
[熟记常用结论]
（1）把直线ax＋by＝0向上平移时，直线ax＋by＝z在y轴上的截距逐渐增大，且b＞0时z的值逐渐增大，b＜0时z的值逐渐减小．
（2）把直线ax＋by＝0向下平移时，直线ax＋by＝z在y轴上的截距逐渐减小，且b＞0时z的值逐渐减小，b＜0时z的值逐渐增大．
以上规律可简记为：
当b＞0时，直线向上平移z变大，向下平移z变小；当b＜0时，直线向上平移z变小，向下平移z变大．
[小题查验基础]
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（ ）
（2）线性目标函数的最优解可能是不唯一的．（ ）
（3）在目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）×
二、选填题
1．不等式组表示的平面区域是（ ）
解析：
选C x－3y＋6＜0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分．
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选C 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
解可得A（1,1），
易得B（0,4），C，
|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
3．（2018·天津高考）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为（ ）
A．6B．19
C．21D．45
解析：
选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.
设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P时，z取得最大值．
联立解得
即P（2,3），所以zmax＝3×2＋5×3＝21.
4．若点（m,1）在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．
解析：
∵点（m,1）在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面区域内，∴2m＋3－5＞0，即m＞1.
答案：
（1，＋∞）
5．已知点（－3，－1）和点（4，－6）在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．
解析：
根据题意知（－9＋2－a）·（12＋12－a）＜0，即（a＋7）·（a－24）＜0，
解得－7＜a＜24.
答案：
（－7,24）
[典例精析]
（1）不等式组表示的平面区域的面积为（ ）
A．4 B．1
C．5D．无穷大
（2）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是（ ）
A.B．（0,1]
C.D．（0,1]∪
[解析]
（1）作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A（1,2），B（2，2），C（3,0），则△ABC的面积为S＝×（2－1）×2＝1.
（2）不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由得A，
由得B（1,0）．
若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范围是0＜a≤1或a≥.
[答案]
（1）B
（2）D
[解题技法]
1．求平面区域面积的方法
（1）首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
（2）对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高．若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可．
2．平面区域的形状问题两种题型及解法
（1）确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；
（2）根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
[过关训练]
1．（2019·漳州调研）若不等式组所表示的平面区域被直线l：
mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝（ ）
A.B．2
C．－D．－2
解析：
选A 由题意可画出可行域为△ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示．
联立可行域边界所在直线方程，可得A（－1,1），B，C（4,6）．因为直线l：
y＝m（x＋1）＋1过定点A（－1,1），直线l将△ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故选A.
2．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为________．
解析：
如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，即m＞－1，所围成的区域为△ABC，S△ABC＝S△ADC－S△BDC.
点A的纵坐标为1＋m，点B的纵坐标为（1＋m），C，D两点的横坐标分别为2，－2m，
所以S△ABC＝（2＋2m）（1＋m）－（2＋2m）·（1＋m）＝（1＋m）2＝，
解得m＝－3（舍去）或m＝1.
答案：
1
[考法全析]
考法
（一） 求线性目标函数的最值
[例1] （2018·郑州第一次质量预测）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最小值为________．
[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝2x，平移该直线，易知当直线经过A（1,3）时，z最小，zmin＝2×1－3＝－1.
[答案] －1
考法
（二） 求非线性目标函数的最值
[例2] 若实数x，y满足则的取值范围为________．
[解析] 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．
z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（直线OA的斜率不存在，即zmax不存在）
由得B（1,2），
所以kOB＝＝2，即zmin＝2，
所以z的取值范围是[2，＋∞）．
[答案] [2，＋∞）
1．（变设问）本例条件不变，则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为________．
解析：
z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．
因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.
易知A（0,1），所以OA2＝1，
OB2＝12＋22＝5，所以z的取值范围是[1,5]．
答案：
[1,5]
2．（变设问）本例条件不变，则目标函数z＝的取值范围为________．
解析：
z＝可以看作点P（1,1）与平面内任一点（x，y）连线的斜率．易知点P（1,1）与A（0,1）连线的斜率最大，为0.无最小值．
所以z的取值范围是（－∞，0]．
答案：
（－∞，0]
考法（三） 求参数值或取值范围
[例3] （2019·黄冈模拟）已知x，y满足约束条件且z＝x＋3y的最小值为2，则常数k＝________.
[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
由z＝x＋3y得y＝－x＋，结合图形可知当直线y＝－x＋过点A时，z最小，联立方程得A（2，－2－k），此时zmin＝2＋3（－2－k）＝2，解得k＝－2.
[答案] －2
[规律探求]
看个性
考法
（一）是求线性目标函数的最值
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．
考法
（二）是求非线性目标函数的最值
目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：
（1）表示点（x，y）与原点（0,0）间的距离，表示点（x，y）与点（a，b）间的距离；
（2）表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率，表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
考法（三）是由目标函数的最值求参数
解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．
[口诀记忆]
线性规划三类题，截距斜率和距离；
目标函数看特征，数形结合来解题．
找共性
利用线性规划求目标函数最值问题的步骤
（1）作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；
（2）平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；
（3）求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值或根据最值求参数.
[过关训练]
1．（2018·全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
解析：
作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.作直线l0：
y＝－x.
平移直线l0，当直线y＝－x＋过点（2,0）时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案：
6
2．（2019·陕西教学质量检测）已知x，y满足约束条件若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．
解析：
画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：
3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，
由解得
∴2×3－1－m＝0，m＝5.
由图知，平移l经过B点时，z最小，
∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.
答案：
5
[典例精析]
（2018·福州模拟）某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元．该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．
[解析] 设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件z＝1500x＋2000y.
画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由得即P（200，900），所以zmax＝1500×200＋2000×900＝2100000.故每个月所获得的最大利润为2100000元．
[答案] 2100000
[解题技法]
解线性规划应用题的一般步骤：
（1）分析题意，设出未知量；
（2）列出约束条件和目标函数；
（3）作出平面区域；
（4）判断最优解；
（5）根据实际问题作答．
[过关训练]
1．（2018·河北“五个一名校联盟”模拟）某企业生产甲、乙两种产品均需要A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为（ ）
甲
乙
原料限量
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
A．16万元 B．17万元
C．18万元D．19万元
解析：
选C 设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为z万元，则z＝3x＋4y，且x，y满足不等式组
作出不等式组表
示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，可知当直线经过点B（2,3）时，z取得最大值，zmax＝3×2＋4×3＝18（万元）．故选C.
2．某高新技术公司要生产一批新研发的A款产品和B款产品，生产一台A款产品需要甲材料3kg，乙材料1kg，并且需要花费1天时间，生产一台B款产品需要甲材料1kg，乙材料3kg，也需要1天时间，已知生产一台A款产品的利润是1000元，生产一台B款产品的利润是2000元，公司目前有甲、乙材料各300kg，则在不超过120天的情况下，公司生产两款产品的最大利润是________元．
解析：
设分别生产A款产品和B款产品x，y台，利润之和为z元，则根据题意可得目标函数为z＝1000x＋2000y．画出可行域如图所示，
由图可知，当直线y＝－＋经过点M时，z取得最大值．联立得M（30,90）．所以当x＝30，y＝90时，目标函数取得最大值，zmax＝30×1000＋90×2000＝210000.
答案：
210000
一、题点全面练
1．由直线x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选A 如图，作出对应的平面区域，
三角形区域在直线x＝1的右侧，则x≥1；在x－y＋1＝0的上方，则x－y＋1≤0；在x＋y－5＝0的下方，则x＋y－5≤0.
故用不等式组表示为故选A.
2．（2018·南昌调研）设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为（ ）
A．－2B．2
C．3D．4
解析：
选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝x，平移该直线，当直线经过C（1,0）时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z＝3×1－0＝3，故选C.
3．（2019·黄冈模拟）若A为不等式组表示的平面区域，则a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A．9B．3
C.D.
解析：
选D 如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，
由动直线x＋y＝a（即y＝－x＋a）在y轴上的截距从－2变化到1，知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1的等腰直角三角形，联立解得所以D，所以区域的面积S阴影＝S△ACD－S△OEC＝×3×－×1×1＝，故选D.
4．（2019·淄博模拟）已知点Q（2,0），点P（x，y）的坐标满足条件则|PQ|的最小值是（ ）
A.B.
C．1D.
解析：
选B 作出P（x，y）的坐标满足条件的可行域，如图中阴影部分所示．易得点Q到直线x＋y＝1的距离最小，所以|PQ|min＝＝.故选B.
5．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝（ ）
A.B.
C．1D．2
解析：
选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，把目标函数z＝2x＋y转化为y＝－2x＋z，它表示的是斜率为－2，截距为z的平行直线系，当截距最小时，z最小．当直线z＝2x＋y经过点B时，z最小．由得因此－1＝a（1－3），解得a＝，故选A.
6．（2019·开封模拟）已知实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是________．
解析：
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A（1,3）时取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即zmax＝－5＝32.
答案：
32
7．已知x，y满足以下约束条件使z＝x＋ay（a＞0）取得最小值的最优
解有无数个，则a的值为________．
解析：
∵z＝x＋ay，
∴y＝－x＋，
为直线y＝－x＋在y轴上的截距．要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个．∵a＞0，把y＝－x＋平移，使之与可行域的边界AC重合即可，
∴－＝－1，满足要求，∴a＝1.
答案：
1
8．（2019·山西五校联考）不等式组表示的平面区域为Ω，直线x＝a（a＞1）将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z＝ax＋y的最大值为________．
解析：
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平面区域Ω为△ABC及其内部，作直线x＝a（1＜a＜4）交BC，AC分别于点E，F.由题意可知S△EFC＝S△ABC，则（4－a）·＝××5×1＝，可得a＝2（a＝6舍去），所以目标函数z＝ax＋y即为z＝2x＋y，易知z＝2x＋y在点C（4,1）处取得最大值，则zmax＝9.
答案：
9
9．若x，y满足约束条件
（1）求目标函数z＝x－y＋的最值；
（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点（1,0）处取得最小值，求a的取值范围．
解：
（1）作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易知B（0，1），C（1,0），
联立解得A（3,4）．
平移直线x－y＋＝0，过A（3,4）取最小值－2，
过C（1,0）取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
（2）直线ax＋2y＝z仅在点（1,0）处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.
故所求a的取值范围为（－4,2）．
10．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播
放时长（分钟）
广告播放
时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（1）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：
（1）由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
（2）设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为（6,3）．
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
二、专项培优练
（一）易错专练——不丢怨枉分
1．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，交点C的坐标为（－m，m），直线x－2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x－1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0－2y0＝2，则点C（－m，m）必在直线x－2y＝2的下方，即m＜－m－1，解得m＜－，∴m的取值范围是，故选C.
2．（2019·金华模拟）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由得A（4,4）．同理，得B（0,2）．
①当k＞－时，目标函数z＝kx＋y在x＝4，y＝4时取最大值，即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大，此时，12＝4k＋4，故k＝2.
②当k≤－时，目标函数z＝kx＋y在x＝0，y＝2时取最大值，即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大，此时，12＝0×k＋2，故k不存在．综上，k＝2.
答案：
2
3．若存在实数x，y，m使不等式组与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[0，＋∞）B．（－∞，3]
C．[1，＋∞）D．[3，＋∞）
解析：
选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A（4,2），B（1,1），C（3,3）．
设z＝x－2y，将直线l：
z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范围为[－3,0]．∵存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，∴－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.
（二）交汇专练——融会巧迁移
4．[与向量交汇]已知P（x，y）为不等式组所确定的平面区域上的动点，若点M（2,1），O（0,0），则z＝·的最大值为（ ）
A．1B．2
C．10D．11
解析：
选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
联立解得A（4,3）．由点M（2,1），O（0,0），得z＝OP―→·OM―→＝2x＋y，则y＝－2x＋z，
显然直线y＝－2x＋z过A（4,3）时，z最大，
此时z＝2×4＋3＝11.故选D.
5．[与概率交汇]关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式（x－4）2＋（y－3）2≤1所表示的平面区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为×4×4＝8，不等式（x－4）2＋
（y－3）2≤1所表示的平面区域记为N，且满足不等式组其面积为π，所以在M内随机取一点，则该点取自N的概率为＝，故选A.
6．[与圆交汇]记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则当∠APB的值最大时，cos∠APB＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 作出不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，
要使∠APB最大，则∠OPA最大．因为sin∠OPA＝＝，所以只要OP最小即可，即P到圆心的距离最小即可．由图象可知当OP垂直直线4x＋3y－10＝0时，|OP|最小，此时|OP|＝＝＝2.
设∠APB＝α，则∠APO＝，即sin＝＝，
此时cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝，
即cos∠APB＝.故选D.
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