高考数学理总复习讲义二元一次不等式组及简单的线性规划问题.docx

1、高考数学理总复习讲义二元一次不等式组及简单的线性规划问题第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题画二元一次不等式(组)表示的平面区域时，一般步骤为：直线定界，虚实分明；特殊点定域，优选原点；阴影表示注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线特殊点一般选一个，当直线不过原点时，优先选原点如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得.1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不

2、等式所表示平面区域的公共部分2简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题熟记常用结论(1)把直线axby0向上平移时，直线axbyz在y轴上的截距逐渐增大，且b0时z的值逐渐增大，b0时z的值逐渐减小(2)把直线axby0向下平移时，直线axbyz在y轴上的截距逐渐减小，且

3、b0时z的值逐渐减小，b0时z的值逐渐增大以上规律可简记为：当b0时，直线向上平移z变大，向下平移z变小；当b0时，直线向上平移z变小，向下平移z变大小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)在目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案：(1)(2)(3)二、选填题1不等式组表示的平面区域是()解析：选Cx3y60表示直线x3y60左上方部分，xy20表示直线xy20及其右下方部分故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分2不等

4、式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C. D.解析：选C不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示解可得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC1.3(2018天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为()A6 B19C21 D45解析：选C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z3x5y得yx.设直线l0为yx，平移直线l0，当直线yx过点P时，z取得最大值联立解得即P(2,3)，所以zmax325321.4若点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是_解析：点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，2m

5、350，即m1.答案：(1，)5已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为_解析：根据题意知(92a)(1212a)0，即(a7)(a24)0，解得7a24.答案：(7,24)典例精析(1)不等式组表示的平面区域的面积为()A4 B1C5 D无穷大(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是()A. B(0,1C. D(0,1解析(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，ABC的面积即所求求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，则ABC的面积为S(21)21.(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示

6、由得A，由得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中a的取值范围是0a1或a.答案(1)B(2)D解题技法1求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可2平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件

7、的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论过关训练1(2019漳州调研)若不等式组所表示的平面区域被直线l：mxym10分为面积相等的两部分，则m()A. B2C D2解析：选A由题意可画出可行域为ABC及其内部所表示的平面区域，如图所示联立可行域边界所在直线方程，可得A(1,1)，B，C(4,6)因为直线l：ym(x1)1过定点A(1,1)，直线l将ABC分为面积相等的两部分，所以直线l过边BC的中点D，易得D，代入mxym10，得m，故选A.2若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为_解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，即m1，所围成的区域为ABC，S

8、ABCSADCSBDC.点A的纵坐标为1m，点B的纵坐标为(1m)，C，D两点的横坐标分别为2，2m，所以SABC(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得m3(舍去)或m1.答案：1考法全析考法(一)求线性目标函数的最值例1(2018郑州第一次质量预测)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2xy的最小值为_解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y2x，平移该直线，易知当直线经过A(1,3)时，z最小，zmin2131.答案1考法(二)求非线性目标函数的最值例2若实数x，y满足则的取值范围为_解析作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示z表示可行域内任一点

9、与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1,2)，所以kOB2，即zmin2，所以z的取值范围是2，)答案2，)1(变设问)本例条件不变，则目标函数zx2y2的取值范围为_解析：zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.易知A(0,1)，所以OA21，OB212225，所以z的取值范围是1,5答案：1,52(变设问)本例条件不变，则目标函数z的取值范围为_解析：z可以看作点P(1,1)与平面内任一点(x，y)连线的斜率易知点P(1,1)与A(0,1)连线的斜率最

10、大，为0.无最小值所以z的取值范围是(，0答案：(，0考法(三)求参数值或取值范围例3(2019黄冈模拟)已知x，y满足约束条件且zx3y的最小值为2，则常数k_.解析作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由zx3y得yx，结合图形可知当直线yx过点A时，z最小，联立方程得A(2，2k)，此时zmin23(2k)2，解得k2.答案2规律探求看个性考法(一)是求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值考法(二)是求非线性目标函数的最值目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目

11、标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率考法(三)是由目标函数的最值求参数解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值口诀记忆线性规划三类题，截距斜率和距离；目标函数看特征，数形结合来解题找共性利用线性规划求目标函数最值问题的步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l

12、；(2)平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值或根据最值求参数. 过关训练1(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由z3x2y，得yx.作直线l0：yx.平移直线l0，当直线yx过点(2,0)时，z取最大值，zmax32206.答案：62(2019陕西教学质量检测)已知x，y满足约束条件若目标函数z3xy的最大值为10，则z的最小值为_解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线

13、l：3xy0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得231m0，m5.由图知，平移l经过B点时，z最小，当x2，y2251时，z最小，zmin3215.答案：5典例精析(2018福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是_元解析设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条

14、件z1 500x2 000y.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x4y0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值由得即P(200，900)，所以zmax1 5002002 0009002 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元答案2 100 000解题技法解线性规划应用题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出约束条件和目标函数；(3)作出平面区域；(4)判断最优解；(5)根据实际问题作答过关训练1(2018河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需要A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所

15、示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限量A/吨3212B/吨128A16万元 B17万元C18万元 D19万元解析：选C设该企业每天生产x吨甲产品，y吨乙产品，可获得利润为z万元，则z3x4y，且x，y满足不等式组作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x4y0并平移，可知当直线经过点B(2,3)时，z取得最大值，zmax324318(万元)故选C.2某高新技术公司要生产一批新研发的A款产品和B款产品，生产一台A款产品需要甲材料3 kg，乙材料1 kg，并且需要花费1天时间，生产一台B款产品需要甲材料1 kg，乙材料3

16、kg，也需要1天时间，已知生产一台A款产品的利润是1 000元，生产一台B款产品的利润是2 000元，公司目前有甲、乙材料各300 kg，则在不超过120天的情况下，公司生产两款产品的最大利润是_元解析：设分别生产A款产品和B款产品x，y台，利润之和为z元，则根据题意可得目标函数为z1 000x2 000 y画出可行域如图所示，由图可知，当直线y经过点M时，z取得最大值联立得M(30,90)所以当x30，y90时，目标函数取得最大值，zmax301 000902 000210 000.答案：210 000 一、题点全面练1由直线xy10，xy50和x10所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组

17、可表示为()A.B.C. D.解析：选A如图，作出对应的平面区域，三角形区域在直线x1的右侧，则x1；在xy10的上方，则xy10；在xy50的下方，则xy50.故用不等式组表示为故选A.2(2018南昌调研)设变量x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为()A2 B2C3 D4解析：选C作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线yx，平移该直线，当直线经过C(1,0)时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z3103，故选C.3(2019黄冈模拟)若A为不等式组表示的平面区域，则a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为()A9 B3C. D.解析：选D如图，不等式

18、组表示的平面区域是AOB，由动直线xya(即yxa)在y轴上的截距从2变化到1，知ACD是斜边为3的等腰直角三角形，OEC是直角边为1的等腰直角三角形，联立解得所以D，所以区域的面积S阴影SACDSOEC311，故选D.4(2019淄博模拟)已知点Q(2,0)，点P(x，y)的坐标满足条件则|PQ|的最小值是()A. B.C1 D.解析：选B作出P(x，y)的坐标满足条件的可行域，如图中阴影部分所示易得点Q到直线xy1的距离最小，所以|PQ|min.故选B.5已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B.C1 D2解析：选A不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，把目

19、标函数z2xy转化为y2xz，它表示的是斜率为2，截距为z的平行直线系，当截距最小时，z最小当直线z2xy经过点B时，z最小由得因此1a(13)，解得a，故选A.6(2019开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则zx2y的最大值是_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设ux2y，由图知，当ux2y经过点A(1,3)时取得最小值，即umin1235，此时zx2y取得最大值，即zmax532.答案：327已知x，y满足以下约束条件使zxay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为_解析：zxay，yx，为直线yx在y轴上的截距要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最

20、优解有无数个a0，把yx平移，使之与可行域的边界AC重合即可，1，满足要求，a1.答案：18(2019山西五校联考)不等式组表示的平面区域为，直线xa(a1)将平面区域分成面积之比为14的两部分，则目标函数zaxy的最大值为_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平面区域为ABC及其内部，作直线xa(1a4)交BC，AC分别于点E，F.由题意可知SEFCSABC，则(4a)51，可得a2(a6舍去)，所以目标函数zaxy即为z2xy，易知z2xy在点C(4,1)处取得最大值，则zmax9.答案：99若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(

21、1,0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，C(1,0)，联立解得A(3,4)平移直线xy0，过A(3,4)取最小值2，过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2)10电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙

22、连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约

23、束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(6,3)所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，交点C的坐标为(m，m)，直线x2y2的斜率为，斜截式方程为yx1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y02，则点C(m，m)必在直线x2y2的下方，即mm1，解得m，m的取值范围是，故选C.

24、2(2019金华模拟)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由得A(4,4)同理，得B(0,2)当k时，目标函数zkxy在x4，y4时取最大值，即直线zkxy在y轴上的截距z最大，此时，124k4，故k2.当k时，目标函数zkxy在x0，y2时取最大值，即直线zkxy在y轴上的截距z最大，此时，120k2，故k不存在综上，k2.答案：23若存在实数x，y，m使不等式组与不等式x2ym0都成立，则实数m的取值范围是()A0，) B(，3C1，) D3，)解析：选B作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(4,2

25、)，B(1,1)，C(3,3)设zx2y，将直线l：zx2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax4220，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin3233，因此zx2y的取值范围为3,0存在实数m，使不等式x2ym0成立，即存在实数m，使x2ym成立，m大于或等于z的最小值，即3m，解得m3，故选B.(二)交汇专练融会巧迁移4与向量交汇已知P(x，y)为不等式组所确定的平面区域上的动点，若点M(2,1)，O(0,0)，则z的最大值为()A1 B2C10 D11解析：选D作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立解得A(4,3)由点M(2,1)，O(0

26、,0)，得zOPOM2xy，则y2xz，显然直线y2xz过A(4,3)时，z最大，此时z24311.故选D.5与概率交汇关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式(x4)2(y3)21所表示的平面区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为()A. B.C. D.解析：选A关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为448，不等式(x4)2(y3)21所表示的平面区域记为N，且满足不等式组其面积为，所以在M内随机取一点，则该点取自N的概率为，故选A.6与圆交汇记不等式组表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则当APB的值最大时，cosAPB()A. B.C. D.解析：选D作出不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，要使APB最大，则OPA最大因为sinOPA，所以只要OP最小即可，即P到圆心的距离最小即可由图象可知当OP垂直直线4x3y100时，|OP|最小，此时|OP|2.设APB，则APO，即sin，此时cos 12sin21221，即cosAPB.故选D.