时，－FN＋mg＝m
，FN背向圆心，随v的增大而减小
（3）当v＝
时，FN＝0
（4）当v>
时，FN＋mg＝m
，FN指向圆心并随v的增大而增大
在最高
点的FN
图线
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
典例剖析
图3
例4 如图3所示，斜轨道与半径为R的半圆轨道平滑连接，点A
与半圆轨道最高点C等高，B为轨道的最低点．现让小滑块（可
视为质点）从A点开始以速度v0沿斜面向下运动，不计一切摩
擦，关于滑块运动情况的分析，正确的是（ ）
A．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做自由落体运动
B．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做平抛运动
C．若v0＝
，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做自由落体运动
D．若v0＝
，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做平抛运动
例5 如图4所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O.
现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻
力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ ）
图4
A．一定是拉力
B．一定是推力
C．一定等于零
D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零
方法归纳 竖直面内圆周运动的解题技巧
（1）求解时先分清是绳模型还是杆模型，抓住绳模型中最高点v≥
及杆模型中v≥0这两个条件，然后利用牛顿第二定律求解．
（2）注意题目中“恰好通过”等关键词语．
跟踪训练4 在2010年11月17日广州亚运会体操男子单杠的决赛中，张成龙问鼎冠军．如图5张成龙正完成一个单臂回环动作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠1.60米，体重大约56公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求：
（1）张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果；
（2）张成龙在最高、最低点时对杠的作用力．
跟踪训练5 如图6所示，质量为m的小球自由下落高度为R后沿竖
直平面内的轨道ABC运动．AB是半径为R的1/4粗糙圆弧，BC
是直径为R的光滑半圆弧，小球运动到C时对轨道的压力恰为零，B
是轨道最低点，求：
（1）小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功；
图6
（2）小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比．
12.用极限思维法分析平面内的
圆周运动临界问题
例6
图7
如图7所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体A，静止于水
平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体B，A的中
点与圆孔距离为0.2m，且A和水平面间的最大静摩擦力为2N，
现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω满足什么条件时，物体B
会处于静止状态？
（g＝10m/s2）
方法提炼 处理临界问题的思维模式
临界问题广泛地存在于中学物理中，解答临界问题的关键是准确判断临界状态，再选择相应的规律灵活求解，其解题步骤为：
（1）判断临界状态：
有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态．
（2）确定临界条件：
判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．
（3）选择物理规律：
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
结合本题，应分析出物体A做圆周运动的向心力来源：
摩擦力和绳的拉力，绳的拉力等于B的重力，而摩擦力可以沿半径向里或向外，当沿这两个方向达到最大值，即为两个临界状态，结合圆周运动的公式，即可求解．
图8
跟踪训练6 如图8所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细
线相连的物体A、B的质量均为m，它们到转动轴的距离分别为rA＝20
cm，rB＝30cm.A、B与盘面间的最大静摩擦力均为自身重力的0.4倍，
试求：
（g取10m/s2）
（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度．
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度．
（3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B状态将如何？
A组 生活中圆周运动问题实例
1．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶的速度为v，①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力；②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力；③当速度大于v时，轮缘挤压外轨；④当速度小于v时，轮缘挤压外轨．则下列说法中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
图9
2．世界一级方程式锦标赛新加坡大奖赛赛道单圈长5.067公里，共有23个弯道，如图9所示，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是（ ）
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的
B．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的
C．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的
D．由公式F＝mω2r可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道
B组 竖直平面内的圆周运动问题
图10
3．如图10所示，汽车质量为1.5×104kg，以不变的速度先后驶过
凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15m，如果路面承受
的最大压力不得超过2.0×105N，汽车允许的最大速率是多少？
（g
＝10m/s2）
图11
4.如图11所示，质量为m的小球置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内以O点为圆心做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计．则：
（1）若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则该同
学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
（2）若该同学拿着盒子以第
（1）问中周期的
做匀速圆周运动，则当盒子运动到如图所示的位置（球心与O点位于同一水平面上）时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
课时规范训练
（限时：
60分钟）
一、选择题
1．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图1所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于
（ ）
图1
A.
B.
C.
D.
2．如图2所示，洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法
中错误的是（ ）
A．脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的
图2
B．水会从桶中甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故
C．加快脱水桶转动角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
3．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙
两物体的质量分别为M与m（M>m），它们与圆盘之间的最大静摩
擦
图3
力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l（l起，如图3所示，若将甲物体放在转动轴的位置上，甲、乙之间的连线
刚好沿半径方向拉直，要使两物体与圆盘之间不发生相对滑动，则
圆盘旋转的角速度最大值不得超过（ ）
A.
B.
C.
D.
4．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上如图4所示，顶部有一个物
体A，今给A一个水平初速度v0＝
，则A将（ ）
图4
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
5．下列关于离心现象的说法正确的是（ ）
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线方向做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
图5
6．如图5所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸
长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动．已知
两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相
等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块B
到OO1轴的距离为物块A到OO1轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使
转速逐渐增大，在绳子从处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．B受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力是先增大，后保持不变
C．A受到的静摩擦力是先增大后减小
D．A受到的合外力一直在增大
7．如图6所示，小物块从半球形碗的碗口下滑到碗底的过程
中，如果小物块的速度大小始终不变，则（ ）
图6
A．小物块的加速度大小始终不变
B．碗对小物块的支持力大小始终不变
C．碗对小物块的摩擦力大小始终不变
D．小物块所受的合力大小始终不变
图7
8．如图7所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m
的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，
沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B
的最小速度是（ ）
A．2m/sB．2
m/s
C．2
m/sD．2
m/s
图8
9．如图8所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳
内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点
时速度大小为v.若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在
最低点时，下列说法正确的是（ ）
A．受到的向心力为mg＋m
B．受到的摩擦力为μm
C．受到的摩擦力为μ（mg＋m
）
D．受到的合力方向斜向左上方
10．一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在
竖直面内做半径为R的圆周运动，如图9所示，则下列说法正确
的是（ ）
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
图9
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
二、非选择题
11．如图10所示，有一内壁光滑的试管装有质量为1g的小球，试管的开
口端封闭后安装在水平轴O上，转动轴到管底小球的距离为5cm，
让试管在竖直平面内做匀速转动．问：
图10
（1）转动轴达某一转速时，试管底部受到小球的压力的最大值为最小
值的3倍，此时角速度多大？
（2）当转速ω＝10rad/s时，管底对小球的作用力的最大值和最小值各是多少？
（g取10m/s2）
12．如图11所示，将一质量为m＝0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度g取10m/s2）．求：
图11
（1）小球经过C点的速度大小；
（2）小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
（3）平台右端O到A点的竖直高度H.
复习讲义
课堂探究
例1 C
例2
例3
（1）2.89×104N
（2）1.78×104N （3）30m/s
跟踪训练1 AC
跟踪训练2 AC
跟踪训练3 B
例4 D
例5 D
跟踪训练4
（1）8m/s
（2）560N 2800N
跟踪训练5
（1）－
mgR
（2）7∶12
例6 2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s
跟踪训练6
（1）3.65rad/s
（2）4rad/s （3）A做圆周运动，B做离心运动
分组训练
1．A
2．C
3．7.07m/s
4．
（1）2π
（2）小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg
课时规范训练
1．B
2．B
3．D
4．D
5．C
6．BD
7．AD
8．C
9．CD
10．A
11．
（1）20rad/s
（2）1.5×10－2N 0
12．
（1）5m/s
（2）6.0N （3）3.36m
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