第一章电子空穴和能带概念.docx

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第一章电子空穴和能带概念

第一章第一章电子空穴和能带概念

§1.1量子力学差不多概念

经典物理的两个独立理论体系：

波动学说、粒子学说。

当时绝大多数的现象能够用经典理论物理学说明：

●应用Newton方程成功讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动，将那个理论用到分子运动上，在气体分子运动论上也获得有益的结果。

●1897年J.J.汤姆森发觉了电子，那个发觉说明电子的行为类似于一个Newton粒子。

●光的波动本性已在1803年由杨的衍射试验证实

●Maxwell在1864年所发觉的光和电磁现象之间的联系将光的波动性置于更加坚实的基础之上。

一、经典物理的缺陷以及量子力学的引入

到上世纪初，在说明某些试验结果上还遗留一些困难：

●要紧是关于进展一个合适的原子模型以及稍后发觉的X射线和放射性等。

●也有一些困难属于那些应该得到说明而实际上未能说明的现象：

诸如黑体辐射的谱分布，固体的低温比热等。

●尽管光的波动性有大量的实验事实和光的电磁理论支持，但上世纪初发觉的黑体辐射、光电效应等现象却揭示把光仅看作波的局限性。

1.黑体辐射问题

我们明白，所有物体都发射出热辐射，这种辐射是一定波长范畴内的电磁波。

关于外来的辐射，物体有反射或吸取的作用。

假如一个物体能全部吸取投射在它上面的辐射而无反射，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射问题研究的是辐射与周围物体处于平稳状态时能量按波长/频率的分布。

一个空腔就能够看成黑体，当空腔与内部的辐射处于平稳时，腔壁单位面积所发射的能量和它所吸取的辐射能量相等。

实验得出的平稳时辐射能量密度按波长分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

许多人用经典物理理论来说明这种能量分布都未获得成功：

（1）维恩（Wien）：

由经典热力学理论动身进行讨论，并加上一些专门假设得出的分布公式——维恩公式。

那个公式在短波部分与实验结果还符合，在长波部分显著不同；

（2）瑞利－金斯曲线，依照经典电动力学和统计物理学得出的黑体辐射能量公式分布。

他们的结果在长波部分与实验结果较吻合，而在短波部分完全不同。

2.光电效应

当光照耀到金属表面时，有电子从金属中逸出，这种电子称为光电子。

实验证明，只有当光的频率大于一定值时，才有光电子发射出来；假如光的频率低于那个值，则不论光的强度多大，照耀时刻多长，都没有光电子产生，光电子能量只与光的频率有关。

光电效应以及黑体辐射实验的这些规律、现象是经典物理理论无法说明的。

因为按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度，而与光的频率无关。

3.普朗克假设、爱因斯坦的波粒二象性

黑体辐射问题是Planck普朗克在1900年引进量子概念后才得到解决。

普朗克依据如下假设说明黑体辐射谱的：

黑体以hγ为单位不连续地发射和吸取频率为γ的电磁辐射，而不是象经典理论所要求的那样能够连续地吸取和发射辐射能量。

能量单位hγ称为能量子h（普朗克常数）。

h＝6.62559×10－34焦耳.秒。

基于那个假定，普朗克得到与实验结果符合专门好的黑体辐射公式：

普朗克的理论开始突破经典物理学在微观领域内的束缚，打开了认识光的微粒性的途径。

按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度，而与光的频率无关。

然而，光电试验证明：

●只有当光的频率大于一定值时，才有光电子发射出来；

●假如光的频率低于那个值，则不论光的强度多大，照耀时刻多长，都没有光电子产生；

●光电子能量只与光的频率有关，而与光的强度无关，光的频率越高，光电子的能量就越大。

●光的强度只阻碍光电子数目，按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度，而与光的频率无关。

爱因斯坦认为电磁辐射不仅在被发射和吸取时以能量hγ的微粒形式显现，而且以这种形式以光速在空间运动，也确实是说光照耀到金属表面时，能量为hγ的光子被电子吸取。

电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的束缚力，另一部分确实是电子离开金属表面后的动能。

假如电子所吸取的光子能量小于金属的逸出功，则电子不能脱出金属表面，因而没有光电子产生。

光的频率决定光子的能量，光的强度只决定光子的数目，光子多，产生的光电子就多。

如此，经典理论不能说明的光电效应就得到了说明。

（1）康普顿效应（Comptoneffect）

1923年，美国物理学家康普顿在研究x射线通过实物物质发生散射的实验时，发觉了一个新的现象，即散射光中除了有原波长l0的x光外，还产生了波长l>l0的x光，其波长的增量随散射角的不同而变化。

这种现象称为康普顿效应（Comptoneffect）。

用经典电磁理论来说明康普顿效应遇到了困难。

康普顿借助于爱因斯坦的光子理论，从光子与电子碰撞的角度对此实验现象进行了圆满地说明。

康普顿效应第一次从实验上证实了爱因斯坦提出的关于光子具有动量的假设。

光子在介质中和物质微粒相互作用时，可能使得光向任何方向传播，这种现象叫光的散射。

他认为：

●康普顿假设光子和电子、质子如此的实物粒子一样，不仅具有能量，也具有动量，碰撞过程中能量守恒，动量也守恒。

光子和电子碰撞时，光子的一些能量转移给了电子。

●按照那个思想列出方程后求出了散射前后的波长差，结果跟实验数据完全符合，如此就证实了他的假设。

这种现象叫康普顿效应。

康普顿效应的发觉，进一步证实光具有粒子性。

实验证明，高频X射线被电子散射后，波长随散射角增加而增大。

而按照经典电动力学，电磁波被散射后波长不应改变。

（2）旧量子论

所谓的旧量子论发端于普朗克关于黑体辐射的工作，以后由爱因斯坦和德拜加以进展。

然而，只有到1911年，卢瑟福发觉原子是由小的、重的、带正电的核以及围绕着它的一些电子构成之后，那个理论才能定量描述原子。

旧量子论（波尔－索末非量子化定则的两个假设）：

●一个原子体系能够存在于一些特定的稳固的或量子化的状态，每一个状态同体系的一个确定能量相对应；

●从一个定态向另一个定态的跃迁，相伴着能量的获得或缺失，其值等于两个态之间的能量差；

●辐射量子的频率等于它的能量除于普朗克常数。

旧量子论使得人们获得了对氢原子结构的说明，但在若干不同的方面，它遇到了困难：

它不适用于非周期系统；对谱线强度只能给出定性的不完整的处理；对光的色散也不能给出中意的说明等等。

衍射试验能够说明旧量子论的困难：

光源S照明一个光阑A，A上割有两个狭缝，衍射花样显现在光敏屏B上，在衍射峰处光子的数目最多。

如此，当辐射从光源经狭缝到屏的过程中行为象波。

而当它从B碰出电子时，行为象粒子。

用物质代替辐射也能够作出类似试验。

电子被晶体散射所形成的衍射花样，能够从威尔逊云室中电子径中看出。

因此，物质的波动性和粒子性能够显现在同一试验中。

●起初我们或许能够假定衍射花样是通过两条狭缝的不同光子之间的干涉引起的，若如此就完全能够用粒子图像说明观测结果。

然而，能够证明这并不是一个中意的说明。

当我们减弱光强直到每次只有一个光子在光源和光屏之间通过，仍旧能够得到相同的衍射图案。

因此，我们只能得到如此的结论，衍射是单个光子的统计结果，并不涉及到光子之间的相互作用。

●由粒子图像观点来看，我们就能够问：

一束由独立的光子构成的流束（能够假定其中每个光子只能通过一条狭缝）如何会产生仅当两条狭缝都开着时才会显现的衍射花样？

或者如此问：

若当一条狭缝关闭时，光子会到达屏上某一位置，然而当这条狭缝放开时，它如何会阻止不通过这条狭缝的光子到达屏上的上述位置？

●在那个问题上隐含如此一条假定：

光子的确是穿过这两条狭缝中的特定一条，从经典理论或旧量子论的观点来看，那个假定是自然的：

因为这些理论认为，光子或其它粒子在每一瞬时都具有确定的可测定的位置。

然而，量子力学却舍弃那个假定，它主张只有当实验中包含位置测量时，光子的位置才有意义。

此外，实验的这一部分将会阻碍其余部分，不能把它们分开考虑。

因此，从新量子观来看，上一段所提出的问题本身就没有意义，因为它假定光子通过两条狭缝中特定的一条（从而使得另一条狭缝关闭），而在试验中并没有用来确定光子实际上是穿过哪一条狭缝的设备。

4.德布罗衣假说

在光有波粒二象性的启发下，德布罗衣1924年提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。

他把粒子和波通过粒子的能量E、动量P与波的频率f、波长之间的关系联系起来：

上式称为德布罗衣公式，或德布罗衣关系。

自由粒子的能量和动量差不多上常量，因此，由德布罗衣关系可知，与自由粒子联系的波，它的频率、传输方向都不变，因而其为平面波。

德布罗衣假设在1927年为戴维森—盖么的电子衍射实验所证实。

测不准原理：

为了用更专门的物理语言来阐明测不准原理，玻尔在1928年引进并协原理。

那个原理说，对原子现象的描述不可能象经典力学所要求得那种完全性；在构成一个完全经典描述中相互并协的各个量，实际上却是相互排斥的，而为了描述现象的各个方面，这些互相并协的量又差不多上必不可少的。

不应当把这一点看成是因为实验技术或精度的欠缺。

更恰当地说，这是一条自然规律：

每当妄图精确的测量一对正则变量中的一个，另一个就会发生变化，那个变化值在不干扰到原先目的的情形下是不能被严格地运算出来。

旧量子论与量子论的区别：

●旧量子论：

认为微观粒子有着固定的轨道，能够用确定的运动学参数进行描述（在这一点上，实际上把微观粒子看作为经典力学中的质点，然后，利用经典力学分析微观粒子），粒子在不同能级间跃迁通过吸取或开释电磁辐射量子实现；

●量子论：

微观粒子具有波粒二象性，微观粒子服从测不准原理。

二、薛定颚方程

1.薛定颚方程的导出

由德布罗衣关系

及测不准原理应当能够预料到，代表着位置完全不能确定、已知精确动量P和能量E、沿着正X方向行进的粒子的波函数ψ（x,t），将有下列形式之一：

这也是从戴维森及盖哥实验推知的。

由前已知与确定能量、动量粒子相对应的波具有平面波特性，因而能够写成：

写成复指数形式

，进一步利用德布罗衣关系可得：

进一步推导

利用自由粒子能量和动量关系式：

，可得：

此即自由粒子的薛定颚方程。

同时，由上面推导过程可推出：

这两个算苻依次分别称为能量算苻、动量算苻。

现在利用这两个算苻来建立在外场中粒子波函数所满足的微分方程。

设粒子在外场的势能U（r），如此，粒子的能量就能够利用汉弥顿算苻表示为：

上式两边同乘以波函数后

代入能量、动量算苻后，上式变为：

那个方程称为薛定颚波动方程，它描写势场U（r）中粒子波函数随时刻的变化。

2.多粒子系统的薛定颚方程

关于n个粒子所组成的多粒子体系。

以r1，r2，…，rn表示那个n粒子的坐标，那么描写体系状态的波函数ψ是r1，r2，…，rn的函数，整个多粒子体系的能量由哈密顿算苻可得

式中mi为第i个粒子的质量，Pi为第i个粒子的动量，而U（r1，r2，…，rn）则是整个系统的势能，它包括体系在外场中的能量和粒子间相互作用能量。

在做

变换后，能够得出多粒子体系的薛定颚方程:

3.定态薛定颚波动方程

一样势函数是时刻t的函数。

假如假定势能与时刻无关，那么能够利用分离变量求解上式

将上式代入薛定颚方程，

两边同除以上式

令上式两边等于H，上式可变为下列两式

由第一式得到：

将上式代入

，可得

（1）

比较上式和德布罗衣波函数形式

明显，

，而由德布罗衣关系可知：

，由此能够得到H——E。

因而，体系处于

（1）式所描写的状态时，能量具有确定值，因此这种状态称为定态。

而形如

的方程称为定态薛定颚方程。

由于

，因而将

称为能量算苻，又称为哈密顿算苻。

当U＝0时，对应的是自由空间中粒子的薛定颚方程，假如m为电子质量，则能够通过求解

此方程的一维解为

（1）

三、波函数的统计说明

1.有人认为波是由它所描写的粒子组成的。

这种看法是不正确地的。

我们明白，衍射现象是由波的干涉而产生的，假如真是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的。

但事实证明，在粒子流衍射试验中，照片上所显示出来的衍射图样和入设粒子流强度无关，也确实是说和单位体积内的粒子数无关。

假如减小入射粒子流强度，同时延长实验时刻，使投射到照片上粒子总数保持不变，则得到的衍射图样将完全相同。

即使是把粒子流强度减小到使得粒子一个一个地被衍射，只要通过足够长的时刻，所得衍射图样也依旧一样。

这说明每个粒子被衍射的现象和其它粒子无关，衍射图样不是由粒子间相互作用产生的。

2.玻恩（Born）说明

为了说明波恩的说明，我们仍旧考察上面粒子衍射试验。

假如入射电子流强度专门大，即单位时刻内有专门多电子被晶体反射，则照片上专门快就显现衍射图样。

假如入射电子流专门小，电子一个一个地从晶体表面上反射，这时照片上就显现一个一个地点子，显示出电子地微粒性。

随着时刻的延长，点子数目逐步增多，它们在照片上的分布就形成了衍射图样，显示出电子的波动性。

由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的。

玻恩确实是在那个基础上，提出了波函数的统计说明，即：

波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。

按照这种说明，描写粒子的波乃是几率波。

§1.2利用薛定颚方程求解氢原子

氢原子中电子是位于质子和电子的库仑力所形成的势场中，因此定态薛定颚方程中的势函数

因而，依据多粒子体系的薛定颚方程，氢原子系统的薛定颚方程能够写为

其中i=1，2分别表示质子和电子。

假如以（x，y，z）表示电子相关于原子核的坐标，以（X，Y，Z）表示体系质心的坐标：

则

同样能够得到

的变换式。

将这些式子代入薛定颚方程可得相对坐标和质心坐标表示的薛定颚方程

进一步设

利用分离变量法求解。

求解的详细过程见《量子力学教程》，周世勋编，p71－77。

最后，求得氢原子的能级

那个地点，

，u为电子质量。

从上述求解氢原子的过程能够看到，微观粒子处在一个个分离的、而不是连续的能级中。

微观粒子只有获得一定的能量后，才能从一个能级跃迁到另一个能级。

因此，这其中相伴着能量的吸取和发射。

§1.3能带模型

一、晶格

常见的晶体往往是凸多面体，围成那个凸多面体的面是光滑的，称为单晶。

单晶外形上最显著的特点是晶面有规则的配置，晶态物质在适当的条件下都能自发地进展为单晶。

布喇菲的空间点阵学说：

晶体内部结构能够概括为是一些有相同的点子在空间有规则地作周期性的无限分布。

这些点子的总体称为点阵。

此定义中的点子代表了结构周期中相同位置，又称为结点。

这些节点能够是原子本身，也能够是基元（分子结构）中心。

晶格：

通过点阵中的结点，能够做许多平行的直线族和平行的晶面族。

如此，点阵就成为一些网络，成为晶格，晶格呈周期性排布。

基元中只有一个原子的晶格称为布拉菲格子，基元中有两个/或两个以上原子的晶格称为复式格子。

为了深入了解固体的电特性，必须对固体中电子状态和运动规律加以了解。

那个地点，固体能带论是目前研究固体中的电子状态并说明其特性的要紧理论。

二、能代理论

1．单电子近似

在量子力学中，微观粒子的状态用波函数描述，决定粒子状态变化为薛定颚方程。

因此，理论上只要能写出相互作用着的原子核和电子系统的多粒子体系的薛定颚方程，就能明白系统的状态，但往往由于系统函数的复杂性，使得原始的薛定颚方程无法求解，为此能带理论采纳单电子近似模型来分析固体物理中的电子状态。

单电子近似认为：

晶体中某个电子是在周期性排列且固定不动的原子核势场以及其它大量电子平均势场中运动的。

那个势场的周期与晶格周期相同。

例如关于一维晶格，表示晶格中位置x处的势能为

V（x）=V（x+sa）

（2）

其中s为整数，a为晶格常数。

晶格中电子运动遵循的薛定颚方程为

（3）

如能解出那个方程，便能得到电子的波函数及能量。

然而找出实际晶体的V（x）专门困难，因而只能采取一些近似方法来求解。

2．布劳赫定律（Bloch）

布劳赫曾经证明，满足

（2）的波函数一定具有如下形式：

（4）

式中k为波氏，u（x）是一个与晶格同周期的周期函数，即

u（x）=u（x+na）

这一结论称为布劳赫定律。

3．共有化运动和准自由电子

将Boch定律与自由空间电子波函数相比较

（自由空间波函数）

能够看出，晶体中的电子在周期势场中的运动的波函数与自由电子的波函数相类似，都代表一个波长为1/k在K方向上传播的平面波，只是那个波的振幅u（k）随着x作周期性变化，其变化周期与晶格周期相同。

其次，依照波函数的物理意义，在空间某点找到电子的几率与波函数在该点的强度成正比（

）。

由于u（x）为周期函数，因此在晶格中各点找到该电子的几率也具有周期性，这反映了电子不再局限于某一个原子上，而是能够从晶体中某一点运动到晶体中其它对应的点，因而电子能够在整个晶体中运动，这种运动称为电子在晶体中的共有化运动；组成晶体的原子的外层电子共有化运动较强，其行为与自由电子相类似，称为准自由电子。

4.布里渊区与能带

求解（3）可得到如图所示的E（k）和k的关系曲线，图中横坐标表示波矢k，虚线表示自由电子的E（k）和k的抛物线关系，实线表示周期性势场中，电子的E（k）和k的关系曲线。

能够看到，当

时，能量显现不连续，形成一系列的允带和禁带。

结论：

（1）允带显现在以下几个区（称为布里渊区）中：

●第一布里渊区：

－1/2a

●第二布里渊区：

－1/a

●第三布里渊区：

－3/2a

其中，a为晶格常数。

（2）禁带显现在k=n/2a处，即显现在布里渊区的边界上

（3）能量分布出现周期性：

E（k）=E（k+n/a），因此在考虑能带结构时，只需考虑－1/2a

（4）依照周期边界条件，能够得出波矢k只能取分离的值，对边长为L的立方晶体，波矢k的三个重量kx，ky，kz分别为

因而能够证明，每个布里渊区中有

个k状态，每一个k个状态对应有一个能量状态（能级），因此每一个能带中有N个能级，依照Pauli不相容原理，每个能级能够容纳自旋相反的两个电子，因此每个能带能够容纳2N个电子。

注意：

由于晶体的具体尺寸远大于晶格常数，波氏k能够取专门多个值。

因而，在允带中存在专门多分离能级，只是由于它们相互间间距专门小，因此在上图中以连续曲线画出而没有用分离的能级画。

5、导体、半导体、绝缘体的能带

固体按其导电性分为导体、半导体、绝缘体。

固体能够导电，是固体中的电子在外场作用下作定向运动的结果。

由于电场力对电子的加速作用，使电子的运动速度和能量都发生了变化。

换言之，即电子与外电场发生能量交换。

从能带论来看，电子能量的变化，确实是从一个能级跃迁到另一个能级上。

●关于满带，其中的能级已为电子所占满，在一定外电场的作用下，满带中的电子无法获得足够的能量跃迁到另一个能带上，只能在原能带内活动，由于原能带内已无空余能带被其占据，因而满带内的电子能量无法改变，即满带内的电子并不形成电流，对电流没有奉献。

●关于未满带，在外电场的作用下，其中的电子只要获得就能够跃迁到同一个能带的另一个能级上，能量得以改变，并形成电流，对电流有奉献。

●金属能带，由于组成金属的原子中的价电子占据的能带是部分占满的，因而金属极易导电。

●绝缘体和半导体的能带相近似，所图所示，即下面是已被价电子占满的满能，中间为禁带，上面为空带。

因此在绝对温度下、在外电场作用下并不导电。

当外界条件发生变化，例如温度升高、或有光照时，满带中的电子就有部分被激发到上面的空带中，使上面能带底部有少量电子，这部分电子位于未满的能带中，因而在外电场的作用下，这些电子将参与导电；同时，下面原先填满的能带由于其中有部分电子被激发到上面，也将显现空电子态，因而其中的电子在外电场的作用下，也将参与导电。

满带电子的这种导电作用等效于把这些空的量子状态看成带正电荷的准粒子的导电作用，常称这些空的量子态为空穴。

因此在半导体中，导带中的电子和价带中的空穴均参与导电，这是与金属导电的最大区别。

绝缘体的禁带宽度专门大，半导体的绝缘宽度专门小。

价键上的电子激发成准自由电子的过程，称为本征激发。

§1.4半导体中电子的运动有效重量

一、半导体中E（k）与k的关系

关于半导体来说，起作用的常常是接近于能带底或能带顶的电子，因此，只要把握其能带底或能带顶电子底E（k）与k的关系就足够了。

仍以一维情形为例，设能带底位于k＝0，能带底邻近的k值必定专门小。

用泰勒级数将E（k）在k=0邻近展开，取前两项：

因为，k=0时，能量取极小值，因此

，因而

E（0）为导带底能量，关于给定半导体，

应该是定值，令

将上式带入能量表达式，得

此式与自由空间电子的能量表达式相类似，只是将惯性质量

变成了此处的

，常称

为能带底电子的有效质量。

同时，由于E（k）>E（0），因此，导带底的有效质量是正值。

同样道理，能够明白金属晶体中，有效质量也为正值。

同样，设能带定位于E（k）=0,依据同样的推倒，可求出位于价带顶的有效质量，他们具有相同的表达式，只是现在由于电子在价带顶处取极大值，因而E（k）

二、晶体中电子的平均速度加速度

1．晶体中电子运动的平均速度

依照量子力学概念，电子的运动速度能够看作为波包的运动，波包的群速确实是电子运动的平均速度。

设波包有许多频率f相差不多的波组成，则波包中心的运动速度

代入

，即可得

**注意：

上式与经典物理里速度与动量的关系相类似，只是将惯性质量换成有效质量。

由于有效质量有正有负，因而，电子运动的平均速度有正有负。

2．半导体中电子运动的加速度

当有强度为|E|的外电场时，电子受到f=-q|E|的力，dt时刻内，电子位移了一段ds，外力对电子作用的等于电子能量的变化，

dE=fds=fvdt

将电子平均速度表达式代入，

即

上式说明，在外力f的作用下，电子的波矢k不断变换，其变化率与外力成正比。

因为电子的速度与k有关，既然k状态不断变化，则电子的速度必定不断变化，其加速度

带入有效质量表达式，可得

由上式能够看到，在引进有效质量以后，晶体中电子所受外力与加速度之间的关系和牛顿第二运动定律类似。

3．有效质量的物理意义

晶体中由于存在着复杂的内部结构，因而存在着复杂的内部势场，这势场既有原子核的奉献，也有其它电子的奉献。

即使是没有外力的情形下，晶体中的电子，也要受到晶体内部势场的作用。

当电子在外力作用下，它一方面受到外力作用，同时还受到内部场作用。

电子的加速度应该是内部势场和外电场作用的综合成效。

然而，要找出内部势场的具体形式同时求得加速度专门困难。

引进有效质量后，使问题变的简单，有效质量直截了当把外力和加速度联系起来，而内部势场的作用则由有效质量加以概括。

因此，引进有效质量的意义在于它概括了晶体内部的势场作用，使得在解决晶体内部电子在外力作用下的运动规律时，能够不涉及到晶体内部的势场作用，因而能够专门方便地解决电子的运动规律。

4.空穴的有效质量

依照以上讨论，电子能够在晶体中作共有化运动，然而，这些电子是否导电，还必须考虑电子填充能带的情形，不能只看单个电子的运动。

假如一个能带中