最新人教A版必修四高中数学同步习题第二章平面向量章末检测a和答案.docx
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最新人教A版必修四高中数学同步习题第二章平面向量章末检测a和答案
第二章 平面向量（A）
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．与向量a＝（1，）的夹角为30°的单位向量是（ ）
A．（，）或（1，）B．（，）
C．（0,1）D．（0,1）或（，）
2．设向量a＝（1,0），b＝（，），则下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＝|b|B．a·b＝
C．a－b与b垂直D．a∥b
3．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3,2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于（ ）
A．（－1，－2）B．（1，－2）
C．（－1,2）D．（1,2）
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于（ ）
A．0B．2＋C.D．2
5．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于（ ）
A.B.C．1＋D．2
6．若向量a＝（1,1），b＝（1，－1），c＝（－1,2），则c等于（ ）
A．－a＋bB.a－b
C.a－bD．－a＋b
7．若向量a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x），满足条件（8a－b）·c＝30，则x＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
8．向量＝（4，－3），向量＝（2，－4），则△ABC的形状为（ ）
A．等腰非直角三角形B．等边三角形
C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形
9．设点A（1,2）、B（3,5），将向量按向量a＝（－1，－1）平移后得到为（ ）
A．（1,2）B．（2,3）
C．（3,4）D．（4,7）
10．若a＝（λ，2），b＝（－3,5），且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于（ ）
A．2B．－2
C．||cosAD．与菱形的边长有关
12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（ ）
A.·B.·
C.·D.·
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1,2），若（a＋b）∥c，则m＝________.
14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.
15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知（2a＋3b）⊥（ka－4b），则实数k的值为________．
16.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（＋）·的最小值是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知a，b，c在同一平面内，且a＝（1,2）．
（1）若|c|＝2，且c∥a，求c；
（2）若|b|＝，且（a＋2b）⊥（2a－b），求a与b的夹角．
18．（12分）已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
（1）c∥d；
（2）c⊥d.
19．（12分）已知|a|＝1，a·b＝，（a－b）·（a＋b）＝，求：
（1）a与b的夹角；
（2）a－b与a＋b的夹角的余弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－1，－2），B（2,3），C（－2，－1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足（－t）·＝0，求t的值．
21．（12分）已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：
（1）BE⊥CF；
（2）AP＝AB.
22．（12分）已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.
求证：
△P1P2P3是正三角形．
第二章 平面向量（A）
答案
1．D 2.C
3．D [根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1,2）．]
4．D [|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.]
5．B [由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋＝，故选B.]
6．B [令c＝λa＋μb，则 ∴∴c＝a－b.]
7．C [∵a＝（1,1），b＝（2,5），∴8a－b＝（8,8）－（2,5）＝（6,3）．又∵（8a－b）·c＝30，∴（6,3）·（3，x）＝18＋3x＝30.∴x＝4.]
8．C [∵＝（4，－3），＝（2，－4），
∴＝－＝（－2，－1），
∴·＝（2,1）·（－2,4）＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．]
9．B [∵＝（3,5）－（1,2）＝（2,3），平移向量后得，＝＝（2,3）．]
10．A [a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝.此时，a与b同向，∴λ>.]
11．B [
如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋.·＝·（＋）＝－2＋0＝－2，故选B.]
12．A [根据正六边形的几何性质．
〈，〉＝，〈，〉＝，
〈，〉＝，〈，〉＝.
∴·<0，·＝0，
·＝||·||cos＝||2，
·＝||·2||·cos＝||2.比较可知A正确．]
13．－1
解析 ∵a＝（2，－1），b＝（－1，m），∴a＋b＝（1，m－1）．
∵（a＋b）∥c，c＝（－1,2），∴2－（－1）·（m－1）＝0.∴m＝－1.
14．3
解析 a·b＝|a||b|cos30°＝2··cos30°＝3.
15．6
解析 由（2a＋3b）·（ka－4b）＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.
16．－
解析 因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x（0≤x≤1）．
所以（＋）·＝2·＝－2x（1－x）＝2（x－）2－.
∴当x＝时，（＋）·取到最小值－.
17．解
（1）∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝（λ，2λ）．
又|c|＝2，∴λ＝±2，∴c＝（2,4）或（－2，－4）．
（2）∵⊥（2a－b），∴（a＋2b）·（2a－b）＝0.
∵|a|＝，|b|＝，∴a·b＝－.
∴cosθ＝＝－1，∴θ＝180°.
18．解 由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3.
（1）当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ（3a＋kb）．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
（2）当c⊥d时，c·d＝0，则（5a＋3b）·（3a＋kb）＝0.
∴15a2＋3kb2＋（9＋5k）a·b＝0，∴k＝－.
19．解
（1）∵（a－b）·（a＋b）＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝，∴|b|2＝，∴|b|＝，
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.∴θ＝45°.
（2）∵|a|＝1，|b|＝，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝.∴|a－b|＝，
又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝.∴|a＋b|＝，
设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝＝＝.即a－b与a＋b的夹角的余弦值为.
20．解
（1）＝（3,5），＝（－1,1），
求两条对角线的长即求|＋|与|－|的大小．
由＋＝（2,6），得|＋|＝2，
由－＝（4,4），得|－|＝4.
（2）＝（－2，－1），∵（－t）·＝·－t2，易求·＝－11，2＝5，
∴由（－t）·＝0得t＝－.
21．证明
如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A（0,0），B（2,0），C（2,2），
E（1,2），F（0,1）．
（1）＝－＝（1,2）－（2,0）＝（－1,2），
＝－＝（0,1）－（2,2）＝（－2，－1），
∵·＝－1×（－2）＋2×（－1）＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
（2）设P（x，y），则＝（x，y－1），＝（－2，－1），
∵∥，∴－x＝－2（y－1），即x＝2y－2.
同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.
解得x＝，∴y＝，即P.
∴2＝2＋2＝4＝2，
∴||＝||，即AP＝AB.
22．证明 ∵＋＋＝0，∴＋＝－，
∴（＋）2＝（－）2，
∴||2＋||2＋2·＝||2，
∴·＝－，
cos∠P1OP2＝＝－，
∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即、、中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．
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