高中一年级数学必修2第二章测试题和答案及解析.docx

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高中一年级数学必修2第二章测试题和答案及解析

第二章单元测试题

1、选择题

1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（　　）

A．相交　　B．平行C．异面D．平行或异面

2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（　　）

A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6

3．已知平面¦Á和直线l，则¦Á内至少有一条直线与l（　　）

A．平行　　B．相交　　C．垂直　　D．异面

4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（　　）A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°

5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面¦Á，使得（　　）

A．a?

¦Á，b?

¦ÁB．a?

¦Á，b∥¦ÁC.a⊥¦Á，b⊥¦ÁD．a?

¦Á，b⊥¦Á

6．下面四个命题：

①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为（　　）

A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：

①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.

其中一定正确的有（　　）

A．①②　　　B．②③　　　C．②④　　　D．①④

B．

8．设a，b为两条不重合的直线，¦Á，¦Â为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（　　）A．若a，b与¦Á所成的角相等，则a∥b

B．若a∥¦Á，b∥¦Â，¦Á∥¦Â，则a∥b

C．若a?

¦Á，b?

¦Â，a∥b，则¦Á∥¦Â

D．若a⊥¦Á，b⊥¦Â，¦Á⊥¦Â，则a⊥b

9．已知平面¦Á⊥平面¦Â，¦Á¡É¦Â＝l，点A∈¦Á，A?

l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥¦Á，n∥¦Â，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（　　）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥¦ÂD．AC⊥¦Â

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）

13．下列图形可用符号表示为________．

14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．

15．设平面¦Á∥平面¦Â，A，C∈¦Á，B，D∈¦Â，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面¦Á，¦Â之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.

16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；

④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．

求证：

（1）平面AB1F1∥平面C1BF；

（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

18．（12分）如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2

，M为BC的中点．

（1）证明：

AM⊥PM；

（2）求二面角P－AM－D的大小．

详解答案

1[答案]　D

2[答案]　C

[解析]　AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：

第一类与AB平行与CC1相交的有：

CD、C1D1

与CC1平行且与AB相交的有：

BB1、AA1，

第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．

3[答案]　C

[解析]　1°直线l与平面¦Á斜交时，在平面¦Á内不存在与l平行的直线，∴A错；

2°l?

¦Á时，在¦Á内不存在直线与l异面，∴D错；

3°l∥¦Á时，在¦Á内不存在直线与l相交．

无论哪种情形在平面¦Á内都有无数条直线与l垂直．

4[答案]　D

[解析]　由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.

5[答案]　B

[解析]　对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在¦Á，使a?

¦Á，b∥¦Á，B正确；对于选项C，a⊥¦Á，b⊥¦Á，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a?

¦Á，b⊥¦Á，一定有a⊥b，D错误．

6[答案]　D

[解析]　异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．

7[答案]　D

[解析]　如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?

平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?

平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．

8[答案]　D

[解析]　选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，¦Á，¦Â还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥¦Á，¦Á⊥¦Â，则a∥¦Â或a?

¦Â，则¦Â内存在直线l∥a，又b⊥¦Â，则b⊥l，所以a⊥b.

9[答案]　C

[解析]　如图所示：

AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?

AC⊥m；AB∥l?

AB∥¦Â.

13[答案]　¦Á¡É¦Â＝AB

14[答案]　45°

[解析]　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.

15[答案]　9

[解析]　如下图所示，连接AC，BD，

则直线AB，CD确定一个平面ACBD.

∵¦Á∥¦Â，∴AC∥BD，

则

＝

，∴

＝

，解得SD＝9.

16[答案]　①②④

[解析]　如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE¡ÉCE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?

平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．

②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝

a.

由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，

∴△ACD是等边三角形，故②正确．

③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．

④分别取BC，AC的中点为M，N，

连接ME，NE，MN.

则MN∥AB，且MN＝

AB＝

a，

ME∥CD，且ME＝

CD＝

a，

∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．

在Rt△AEC中，AE＝CE＝

a，AC＝a，

∴NE＝

AC＝

a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．

17[证明]　

（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，

∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.

又∵B1F1¡ÉAF1＝F1，C1F¡ÉBF＝F，

∴平面AB1F1∥平面C1BF.

（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.

又B1F1⊥A1C1，A1C1¡ÉAA1＝A1，

∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?

平面AB1F1，

∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

18[解析]　

（1）证明：

如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，

∵△PCD为正三角形，

∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝

.

∵平面PCD⊥平面ABCD，

∴PE⊥平面ABCD，而AM?

平面ABCD，∴PE⊥AM.

∵四边形ABCD是矩形，

∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝

，AM＝

，AE＝3，

∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.

又PE¡ÉEM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.

（2）解：

由

（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM，

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．

∴tan∠PME＝

＝

＝1，∴∠PME＝45°.

∴二面角P－AM－D的大小为45°.