数学选修21试题复习V.docx
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数学选修21试题复习V
数学选修2-1试题复习V
单选题（共5道）
1、三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，，若＜，＞=，则二面角A-BD-C的大小为（ ）
A
B
C或
D或
2、设长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，AD=2，M和N分别为AA1和BB1的中点，若θ为直线CM与D1N所成的角，则θ等于（ ）
A30°
B45°
C60°
D90°
3、函数y=x2cosx的导数为
Ay′=2xcosx－x2sinx
By′=2xcosx+x2sinx
Cy′=x2cosx－2xsinx
Dy′=xcosx－x2sinx
4、用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）
A12
B10
C8
D6
5、方程+=1表示的图形是（ ）
A一条直线
B两条平行线段
C一个正方形
D一个正方形（除去四个顶点）
简答题（共5道）
6、已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）求证:
平面A1BD∥平面B1D1C;
（2）若E、F分别是AA1、CC1的中点,求证:
平面EB1D1∥平面FBD.
7、如图一，平行四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于，对于图二，
（Ⅰ）求AC；
（Ⅱ）证明：
AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。
8、设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（，0），
（1）求证：
三点A、M、B共线；
（2）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程。
9、如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求cos＜，＞的值；
（2）求证：
BN⊥平面C1MN．
10、如图，等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求||的值；
（2）求面SCD与面SAB所成的二面角大小．
填空题（共5道）
11、已知为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①；
②；
③；
④.
其中正确命题的序号是____▲____．
12、△ABC的三个顶点分别是A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），则AC边上的高BD长为______．
13、如图4，空间四边形ABCD中，若AD=4，BC=4，E、F分别为AB、CD中点，且EF=4，则AD与BC所成的角是.
14、直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正切值为。
15、曲线x2+ay+2y+2=0经过点（2，-1），则a=______．
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1-答案：
tc
解：
∵二面角的范围是[0，π]，且＜，＞=，∴二面角A-BD-C的大小为．故选C．
2-答案：
tc
解：
如图建立空间直角坐标系，则D1
（0，0，0），M（2，0，），N（2，1，），C（0，1，），=（2，1，），=（2，-1，-），∵•=2×2-1×1-=0，∴⊥，所以直线CM与D1N所成的角为90°，即θ等于90°，故选D．
3-答案：
A
4-答案：
C
5-答案：
tc
解：
x＞0，y＞0，方程+=1为x+y=1；x＞0，y＜0，方程+=1为x-y=1；x＜0，y＞0，方程+=1为-x+y=1；x＜0，y＜0，方程+=1为-x+-y=1；∴方程+=1表示的图形是一个正方形（除去四个顶点）．故选：
D．
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1-答案：
证明:
（1）由B1B∥DD1,且B1B=DD1,得B1D1∥BD.因为平面B1D1C,而平面B1D1C,所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD=D,所以平面A1BD∥平面B1D1C.
（2）由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,连结AG、GF,则AE∥B1G且AE=B1G,所以B1E∥AG.由GF∥BC且GF=BC,BC∥AD,得GF∥AD且GF=AD,所以AG∥DF且AG=DF.所以B1E∥DF.所以DF∥平面EB1D1.所以平面EB1D1∥平面FBD.空间直线和平面
2-答案：
解：
（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，由AB=CD，CB=CD，得，AE⊥BD，CE⊥BD∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，∴cos∠AEC=在△ACE中，AE=，CE=，=，∴AC=2
（Ⅱ）由∴，，∴∴，又BC∩CD=C，∴AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）方法一：
由（Ⅰ）知BD⊥平面ACE，BD平面ABD，∴平面ACE⊥平面ABD，平面ACE∩平面ABD=AE作CF⊥AE于F，则CF⊥平面ABD∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，∴sin∠CAF=sin∠CAE=；方法二：
设点C到平面ABD的距离为h，∵，∴∴h=，于是AC与平面ABD所成角的正弦为sin=；方法三：
以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立的空间直角坐标轴系C-xyz，则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，2，0）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则·=0，·=02x-2z=0，y-2z=0取x=y=1，则=（1，1，1），于是AC与平面ABD所成角的正弦即：
3-答案：
解：
（1）设，由已知得到，且，设切线PA的方程为：
，由得，从而，解得，因此PA的方程为：
，同理PB的方程为：
，又在PA、PB上，所以，即点都在直线上，又也在直线上，所以三点A、M、B共线。
（2）垂线AN的方程为：
，由得垂足，设重心G（x，y），所以，解得，由，可得，即为重心G所在曲线方程。
4-答案：
以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，
（1）依题意，A1
（1，0，2），C（0，0，0），B1
（0，1，2），B（0，1，0），∴=（1，-1，2），=（0，1，2），∴•=1×0+（-1）×1+2×2=3，又||=，||=，∴cos＜，＞==…6分证明：
（2）A1
（1，0，2），C1
（0，0，2），B1
（0，1，2），N（1，0，1），∴M（，，2），∴=（，，2），=（1，0，-1），=（1，-1，1），∴•=×1+×（-1）+1×0=0，同理可求•=0，∴⊥，⊥，C1M∩C1N=C1，∴BN⊥平面C1MN…12分．
5-答案：
解：
（1）连接SF，则在正△SAB中，AB=2，SE=，E为AB的中点，∴SE=，SE⊥AB∵BC=2，AD=1，E，F分别为AB，CD的中点，∴EF=∵等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，SE⊥AB∴SE⊥面ABCD，∴SE⊥EF直角△SEF中，|SF|==，∴||=2=；
（2）建立如图所示的直角坐标系，则S（0，0，），D（1，1，0），C（-1，2，0）设面SCD的法向量为=（x，y，z），则由，可得取x=1，可得=（1，2，）∵面SAB的法向量为∴cos＜＞===．
解：
（1）连接SF，则在正△SAB中，AB=2，SE=，E为AB的中点，∴SE=，SE⊥AB∵BC=2，AD=1，E，F分别为AB，CD的中点，∴EF=∵等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，SE⊥AB∴SE⊥面ABCD，∴SE⊥EF直角△SEF中，|SF|==，∴||=2=；
（2）建立如图所示的直角坐标系，则S（0，0，），D（1，1，0），C（-1，2，0）设面SCD的法向量为=（x，y，z），则由，可得取x=1，可得=（1，2，）∵面SAB的法向量为∴cos＜＞===．
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1-答案：
④①错误。
若，则m不平行；②错误。
平行于同一平面的两直线位置不确定；③错误。
两个平行平面内两条直线可能平行，也可能异面；④正确。
这是线面垂直的性质定理。
2-答案：
∵A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），∴=（4，-5，0），=（0，4，-3），∵点D在直线AC上，∴设=λ=（0，4λ，-3λ），由此可得=-=（0，4λ，-3λ）-（4，-5，0）=（-4，4λ+5，-3λ），又∵⊥，∴•=-4×0+（4λ+5）×4+（-3λ）×（-3）=0，解得λ=-．因此=（-4，4λ+5，-3λ）=（-4，，），可得||==5故答案为：
5
3-答案：
试题分析：
取的中点,连接,则,故（或其补角）为异面直线AD与BC所成的角，又易知,,所以,故.点评：
本题考查异面直线所成角的大小，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．
4-答案：
略
5-答案：
由题意，∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点（2，-1），∴22-a-2+2=0∴a=4故答案为4
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