概率与统计初步含习题训练.docx
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概率与统计初步含习题训练
第九章概率与统计初步
一、计数原理
1、（分类计数）加法原理：
完成一件事情，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事情，共有：
种不同的方法；
2、（分步计数）分步乘法原理：
完成一件事情，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……做第步有种不同的方法，那么完成这件事情，共有：
种不同的方法；
3、区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）；
二、排列与组合
1、排列数公式：
从个不同的元素中取出个不同元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个不同元素的排列数，用符号表示，且：
2、的阶乘：
自然数1到的连乘积，叫做的阶乘，记作：
，且：
3、组合数公式：
从个不同的元素中取出个不同元素的所有组合的个数，叫做从个不同的元素中取出个不同元素的组合数，用符号表示，且：
组合数公式也可写为：
4、组合数的两个性质：
5、排列与组合的区别：
排列与顺序有关；组合与顺序无关。
三、概率
1、基本概念
（1）随机现象：
在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象；
（2）随机试验的特征：
可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；
（3）随机事件：
随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C表示；
（4）必然事件：
在一次随机试验中必然要发生的事件，用表示（读作“omiga”，对应的小写希腊字母是“ω”）；
（5）不可能事件：
在一次随机试验中不可能发生的事件，用表示（读作“fai”）；
（6）基本事件：
随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：
最简单的随机事件；
（7）复合事件：
由若干个基本事件组成的事件称为复合事件；
2、频数与频率
（1）频数：
在次重复试验中，事件发生了次，叫做事件发生的频数；
（2）频率：
在次重复试验中，事件发生的频数在试验总次数中所占的比例，叫做事件A发生的频率；
3、概率
（1）一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：
；
（2）概率的性质：
i.对于必然事件：
ii.对于不可能事件：
iii.
4、古典概型
（1）古典概型：
如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；
（2）概率：
设试验共有个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件包含个基本事件，那么事件发生的概率为：
（3）事件的“交”：
“”表示同时发生，记作：
；
（4）事件的“并”：
“”表示中至少有一个会发生，又称为事件与事件的和事件；
（5）事件的“否”：
表示事件的对立事件；（读作abar，“A拔”）
（6）互为对立的事件：
若事件是事件的对立面，且;（对立事件的理解：
在任何一次随机试验中，事件与有且仅有一个发生）
（7）互斥事件（互不相容事件）：
不可能同时发生的两个事件，即：
；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件）
（8）相互独立事件：
在随机试验中，如果事件的发生不会影响事件发生的可能性的大小，即在事件发生的情况下，事件发生的概率等于事件原来的概率，那么称事件与事件相互独立；（事件发生与否，不影响事件的概率）
（9）若、是互斥事件，则：
（10）若、是对立事件，则：
，即：
（11）若、不是互斥事件，则：
（12）若、是相互独立事件，则：
四、总体、样本与抽样方法
例1：
为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量；
1、总体：
在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体；
2、个体：
组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；
3、样本：
被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；
4、样本容量：
样本所含个体的数目；例1中“100”是样本容量；
5、抽样的方法有三种：
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；
6、说明：
当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；
五、用样本估计总体
1、样本均值：
2、样本方差：
3、样本标准差：
4、说明：
均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；
5、作频率分布直方图的方法：
①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。
注：
频数是指各组内数据的个数；每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率；
例：
作出表格1中数据的频率分布直方图（本例题引用来自XX搜索）
表格1
分组（组距=3）
频数
频率
频率/组距
[150.5，153.5）
4
0.04
0.013
[153.5，156.5）
8
0.08
0.026
[156.5,159.5）
8
0.08
0.026
[159.5,162.5）
11
0.11
0.036
[162.5,165.5）
22
0.22
0.073
[165.5,168.5）
19
0.19
0.063
[168.5,171.5）
14
0.14
0.046
[171.5,174.5）
7
0.07
0.023
[174.5,177.5）
4
0.04
0.013
[177.5,180.5）
3
0.03
0.01
合计
100
1
如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图
六、章节习题
§9.1计数原理
（1）某人到S城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有种不同的选择；
（2）一家人到S城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有种不同的选择；
（3）4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；
（4）4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有种；
（5）3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；
（6）一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有种；
（7）一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有种；
（8）由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有个；
（9）由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有个；
§9.2排列组合
（10）7人站成一排，一共有种不同的排法；
（11）7人中选出3人排成一排，一共有种不同的排法；
（12）7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有种不同的选法；
（13）人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有种不同的排法；
（14）8人排成一排，其中A、B两人必须排在一起，一共有种不同的排法；
（15）8人排成一排，其中A、B、C三人不在排头并且要互相隔开，一共有种不同的排法；
（16）10件产品中有3件次品，从中任取2件，至少有一件次品的取法共有种；
（17）10件产品中有3件次品，从中任取2件，至多有一件次品的取法共有种；
（18）集合，每次取五个元素，按由小到大顺序排列，共有种不同的排列（取法）；
（19）10位乒乓球选手举行单打单循环比赛，一共需要举行场比赛；
（20）学生要从六门课中选学两门：
①如果有两门课时间冲突，不能同时学，有种选法；②如果有两门特别的课，至少选学其中的一门，有种选法；
（21）一个口袋内有6个小球，另一个口袋内有5个小球，所有这些小球的颜色互不相同，现从两个口袋各取出一个小球，有种不同的取法；
§9.3概率
（22）表示必然事件，；表示不可能事件，；
（23）一道选择题共有4个答案，其中只有一个是正确的，有位同学随意的选了一个答案，那么它选对的概率是；
（24）掷一颗骰子，第一次得到6点，那么他第二次掷这颗骰子得到6点的概率（）
A.大于B.等于C.等于D.等于
（25）甲掷两次骰子，每次掷一颗骰子，两次都得到6点的概率为（）
A.大于B.等于C.等于D.等于
（26）在10件产品中有2件次品，从中任取2件都是合格品的概率是
（27）有一批蚕豆种子，如果每一粒种子发芽的概率均为，那么播下粒种子恰好3粒种子都发芽的概率是（）
A.B.C.D.
（28）抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件为“出现1点”，事件为“出现2点”,已知，则事件“出现1点或2点”的概率为
（29）做某个随机试验，所有的基本事件构成的集合可用表示，设事件，事件，则，，，，，
（30）有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，如果两人试图独立在半小时内解决它，①两人都未解决的概率是；②问题得到解决的概率是
（31）甲、乙、丙三人在相同条件下射击，他们击中靶心的概率分别是：
甲为，乙为，丙为，求三人同时各射击一次，没人击中靶心的概率是多少？
（32）某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率是：
§9.4总体、样本与抽样方法
（33）在统计中，所研究对象的全体叫做，组成总体的每个对象叫做，被抽取出来的个体的集合叫做，样本所含个体的数目叫做
（34）为了了解所购买的一批商品的质量，抽测了其中225个商品，在这个问题中，225个商品的质量是（）A.个体B.总体C.样本D.样本容量
（35）要了解某种电子产品的质量，从中抽取450个产品进行检验，在这个问题中，450叫做（）A.个体B.总体C.样本D.样本容量
（36）为了了解全年级523名同学的视力情况，从中抽取90名同学进行测量，在这个问题中，总体是指，个体是指，样本是指；样本容量是
（37）要完成以下两项调查：
①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况；应采用的抽样方法是：
A.①用随机抽样法，②用系统抽样法B.①用系统抽样法，②用分层抽
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