第7讲 三角形的辅助线进阶汇总.docx

第7讲 三角形的辅助线进阶汇总.docx

《第7讲 三角形的辅助线进阶汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第7讲 三角形的辅助线进阶汇总.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第7讲三角形的辅助线进阶汇总

第7讲三角形的辅助线进阶篇

一初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？

把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

注意点

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

二由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：

a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

（一）、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。

下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：

BC=AB+CD。

分析：

此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：

在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

例2．已知：

如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

分析：

此题还是利用角平分线来构造全等三角形。

构造的方法还是截取线段相等。

其它问题自已证明。

例3．已知：

如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：

AB-AC=CD

分析：

此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢？

练习

1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：

AB+BD=AC

2．已知：

在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：

AE=2CE

3．已知：

在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。

求证：

BM-CM>AB-AC

4．已知：

D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。

求证：

BD+CD>AB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：

∠ADC+∠B=180 

分析：

可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

求证：

BC=AB+AD

分析：

过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。

此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

求证：

∠BAC的平分线也经过点P。

分析：

连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，

如果PC=4，则PD=（）

A4B3C2D1

2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：

如图2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，

AE=

（AB+AD）.求证：

∠D+∠B=180 。

4.已知：

如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上的点，∠FAE=∠DAE。

求证：

AF=AD+CF。

5．已知：

如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。

求证CF=BH。

（三）：

作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1．已知：

如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。

求证：

DH=

（AB-AC）

分析：

延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。

问题可证。

例2．已知：

如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：

BD=2CE。

分析：

给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：

如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。

求证：

AM=ME。

分析：

由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。

例4．已知：

如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。

求证：

AM=

（AB+AC）

分析：

题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=

EC，另外由求证的结果AM=

（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。

练习：

1．已知：

在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。

2．已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=

BC

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

如图4-1和图4-2所示。

例1如图，AB>AC,∠1=∠2，求证：

AB－AC>BD－CD。

例2如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：

∠A+∠C=180。

例3如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：

AD=AB+CD。

练习：

1.已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。

求证：

△ABC是直角三角形。

2．已知：

如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：

DC⊥AC

3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：

AC=AE+CD

4．已知：

如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：

BC=AB+AD

三由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（1）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=

SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。

已知ΔABC的面积为2，求：

ΔCDF的面积。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

求证：

∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线

例5．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：

ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：

AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：

BD=2CE。

（六）中线延长

口诀：

三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

例一：

如图4-1：

AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

BE+CF>EF。

例二：

如图5-1：

AD为△ABC的中线，求证：

AB+AC>2AD。

分析：

要证AB+AC>2AD，由图想到：

AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

练习：

1如图，AB=6，AC=8，D为BC的中点，求AD的取值范围。

2如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：

AD=2AE。

3如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。

求证：

AM⊥DC。

4，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。

6．已知：

如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：

BF=AC