中考题矩形菱形正方形初二用.docx
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中考题矩形菱形正方形初二用
矩形菱形与正方形
一、选择题
1.（2018山东滨州）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
故选：
D．
2．（2018·湖北省孝感）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）
A．52B．48C．40D．20
故选：
A．
3.（2018·山东临沂·3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
故选：
A．
4.（2018·山东威海·3分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）
A．1
C．
D．
故选：
C．
5.（2018•湖南省永州市）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．任意多边形的内角和为360°D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
故选：
D．
6.（2018·新疆生产建设兵团）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）
A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm故选：
D．
7.（2018·新疆生产建设兵团）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）
A．
B．1C．D．2
故选：
B．
8.（2018·重庆（A））下列命题正确的是
A.平行四边形的对角线互相垂直平分B.矩形的对角线互相垂直平分C.菱形的对角线互相平分且相D.正方形的对角线互相垂直平分
D.正确。
二.填空题
1.（2018·广东广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，
0）点D在y轴上，则点C的坐标是。
【答案】（－5，4）
2.（2018·广东深圳）如图，四边形ACFD是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E、
A、B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是．【答案】8
3.（2018·四川自贡·4分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF
的最小值是
答案为
．
4.（2018•株洲市•3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为.
【答案】2.5
5.（2018·山东青岛·3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．
6.（2018·湖北省武汉·3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°．
三.解答题
1.（2018•山东枣庄）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．求证：
四边形EFDG是菱形；
【解答】解：
（1）证明：
∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：
GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
2.（2018•江苏扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．求证：
四边形AEBD是菱形；
【解答】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD=EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形．
3.（2018•江苏盐城）在正方形
中，对角线
所在的直线上有两点
、
满足
，连接
、
、
、
，如图所示.
（1）求证：
；
（2）试判断四边形
的形状，并说明理由.
（1）解：
证明：
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，则∠ABE=∠ADF=135°，又∵BE=DF，
∴△ABE≅△ADF。
（2）解：
解：
四边形AECF是菱形。
理由如下：
由
（1）得∴△ABE≅△ADF，∴AE=AF。
在正方形ABCD中，CB=CD，∠CBD=∠CDB=45°，则∠CBE=∠CDF=135°，双∵BE=DF，
∴△CBE≅△CDF。
∴CE=CF。
∵BE=BE，∠CBE=∠ABE=135°，CB=AB，
∴△CBE≅△ABE。
∴CE=AE，
∴CE=AE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形。
4.（2018·山东青岛）已知：
如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：
AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【解答】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=CF．
（2）解：
结论：
四边形ACDF是矩形．理由：
∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
5.（2018·山东泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．
（1）求证：
△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：
AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
【解答】解：
（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FGA，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：
过点G作GP⊥AB于P，
∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由
（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△GPD，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，证明：
∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=
AD，
∴AE=AF=FG，
由
（1）得AE∥FG，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
6.（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：
四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=，BD=2，求OE的长．
DC
ABE
【解析】
（1）证明：
∵AB∥CD
∴∠CAB=∠ACD
∵AC平分∠BAD
∴∠CAB=∠CAD
∴∠CAD=∠ACD∴AD=CD
又∵AD=AB
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=AD
∴YABCD是菱形
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O．
∴AC⊥BD．OA=OC=1AC，OB=OD=1BD，
22
∴OB=1BD=1．2
在Rt△AOB中，∠AOB=90︒．
∴OA=
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90︒．
=2．
在Rt△AEC中，∠AEC=90︒．O为AC中点．
∴OE=1AC=OA=2．
2
7.（2018•北京•7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：
GF=GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
DC
H
AEB
【解析】
（1）证明：
连接DF．
∵A，F关于DE对称．
∴AD=FD．AE=FE．在△ADE和△FDE中．
DC
⎧AD=FD
⎨
⎪AE=FE
⎩
⎪DE=DE
∴△ADE≌△FDEH
∴∠DAE=∠DFE．
AEB
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠C=90︒．AD=CD
∴∠DFE=∠A=90︒
∴∠DFG=180︒-∠DFE=90︒
∴∠DFG=∠C
∵AD=DF．AD=CD
∴DF=CD
在Rt△DCG和Rt△DFG．
⎧DC=DF
⎩
⎨DG=DG
∴Rt△DCG≌Rt△DFG
∴CG=FG．
（2）BH=AE．
证明：
在AD上取点M使得AM=AE，连接ME．
∵四这形ABCD是正方形．
∴AD=AB．∠A=∠ADC=90︒．
∵△DAE≌△DFE
DC
∴∠ADE=∠FDE
同理：
∠CDG=∠FDG
∴∠EDG=∠EDF+∠GDF
MH
=1∠ADF+1∠CDF
22
AEB
=1∠ADC=45︒2
∵DE⊥EH
∴∠DEH=90︒
∴∠EHD=180︒-∠DEH-∠EDH=45︒
∴∠EHD=∠EDH
∴DE=EH．
∵∠A=90︒
∴∠ADE+∠AED=90︒
∵∠DEH=90︒
∴∠AED+∠BEH=90︒
∴∠ADE=∠BEH
∵AD=AB．AM=AE
∴DM=EB
在△DME和△EBH中
⎧DM=EB
⎨
⎪∠MDE=∠BEH
⎩
⎪DE=∠EH
∴△DME≌△EBH
∴ME=BH
在Rt△AME中，∠A=90︒，AE=AM．
∴ME==AE
∴BH=AE．
【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定
8.（2018·浙江舟山·6分）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且
∠CEF=45°。
求证：
矩形ABCD是正方形
【考点】三角形全等的判定，矩形的性质，正方形的判定
【解析】【分析】证明矩形ABCD是正方形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，则可证一组邻边相等
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，又∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形。
9.（2018·广东深圳·8分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆
心，大于
AD长为半径做弧，交于点B,AB∥CD.
（1）求证：
四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积.
【答案】
（1）证明：
由已知得：
AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得：
BC是∠FCE的角平分线,
∴∠ACB=∠DCB，又∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，又∵AC=CD,AB=DB,
∴AC=CD=DB=BA，
四边形ACDB是菱形，
又∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.
10.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：
△ADE≌△CED；
（2）求证：
△DEF是等腰三角形．
【解答】证明：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：
BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE和△CED中，，
∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）由
（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形．
11．（2018年四川省内江市）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
【解答】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）由
（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
12.（2018年江苏省南京市）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：
（1）∠BOD=∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．
【解答】证明：
（1）
延长OA到E，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，又∠BOE=∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE=2∠BAO，同理∠DOE=2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）
即∠BOD=2∠BAD，又∠C=2∠BAD，
∴∠BOD=∠C；
（2）连接OC，
∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC=
∠BOD，∠BCO=
∠BCD，又∠BOD=∠BCD，
∴∠BOC=∠BCO，
∴BO=BC，
又OB=OD，BC=CD，
∴OB=BC=CD=DO，
∴四边形OBCD是菱形．
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