3套大一轮数学文高考复习人教课时规范训练《第四章 平面向量数系扩充与复数引入》.docx

3套大一轮数学文高考复习人教课时规范训练《第四章 平面向量数系扩充与复数引入》.docx

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3套大一轮数学文高考复习人教课时规范训练《第四章平面向量数系扩充与复数引入》

课时规范训练

《第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入》4-1

A组　基础演练

1．设向量a＝（2,4）与向量b＝（x,6）共线，则实数x＝（　　）

A．2　　　　　　　　　B．3

C．4D．6

解析：

选B.∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.

2．若向量＝（2,3），＝（4,7），则等于（　　）

A．（－2，－4）B．（2,4）

C．（6,10）D．（－6，－10）

解析：

选A.由于＝（2,3），＝（4,7），

所以＝＋＝（2,3）＋（－4，－7）＝（－2，－4）．

3．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则等于（　　）

A．（－2,7）B．（－6,21）

C．（2，－7）D．（6，－21）

解析：

选B.＝3＝3（2－）

＝6－3＝（6,30）－（12,9）

＝（－6,21）

4．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝（　　）

A.－

B.＋

C.＋

D.－

解析：

选D.在△CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.

5．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于（　　）

A．aB．b

C．cD．0

解析：

选D.∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①

又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②

由①得：

b＝λ1c－a.

∴b＋c＝λ1c－a＋c＝（λ1＋1）c－a＝λ2a.

∴，即，

∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.

6．若a＝（1,2），b＝（－3,0），（2a＋b）∥（a－mb），则m＝（　　）

A．－B.

C．2D．－2

解析：

选A.∵a＝（1,2），b＝（－3,0），

∴2a＋b＝（－1,4），a－mb＝（1＋3m,2），

又∵（2a＋b）∥（a－mb），

∴－1×2－4（1＋3m）＝0，∴m＝－.

7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则（　　）

A．x＝，y＝

B．x＝，y＝

C．x＝，y＝

D．x＝，y＝

解析：

选A.由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以x＝，y＝.

8．若a，b为已知向量，且（4a－3c）＋3（5c－4b）＝0，则c＝________.

解析：

（4a－3c）＋3（5c－4b）＝0，则a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－a，∴c＝b－a.

答案：

b－a

9．设向量a，b不共线，且＝k1a＋k2b，＝h1a＋h2b，若＋＝ma＋nb，则实数m＝________，n＝________.

解析：

＋＝（k1＋h1）a＋（k2＋h2）b＝ma＋nb，由平面向量基本定理知m＝k1＋h1，n＝k2＋h2.

答案：

k1＋h1　k2＋h2

10．已知向量a＝（1,2），b＝（x,1），u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．

解析：

因为a＝（1,2），b＝（x,1），u＝a＋2b，v＝2a－b，

所以u＝（1,2）＋2（x,1）＝（2x＋1,4），

v＝2（1,2）－（x,1）＝（2－x,3），

又因为u∥v，所以3（2x＋1）－4（2－x）＝0，

即10x＝5，解得x＝.

答案：

B组　能力突破

1．设向量a，b满足|a|＝2，b＝（2,1），则“a＝（4,2）”是“a∥b”成立的（　　）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选C.若a＝（4,2），则|a|＝2，且a∥b都成立；

因a∥b，设a＝λb＝（2λ，λ），由|a|＝2，知

4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，

∴a＝（4,2）或a＝（－4，－2）．

因此“a＝（4,2）”是“a∥b”成立的充分不必要条件．

2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为（　　）

A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1

C．λμ＝－1D．λμ＝1

解析：

选D.∵A、B、C三点共线，

∴存在实数t，满足＝t，

即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，

∴，∴λμ＝1.

3．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是（　　）

A.B.

C．－3D．0

解析：

选D.∵＝＝（－）

＝－，又＝r＋s，∴r＝，s＝－，

∴r＋s＝0，故选D.

4．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．

解析：

若点A，B，C能构成三角形，

则向量，不共线．

∵＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1,2），＝－＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），∴1×（k＋1）－2k≠0，解得k≠1.

答案：

k≠1

5．已知a＝（1,0），b＝（2,1）．求：

（1）|a＋3b|；

（2）当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？

解：

（1）因为a＝（1,0），b＝（2,1），

所以a＋3b＝（7,3），

故|a＋3b|＝＝.

（2）ka－b＝（k－2，－1），a＋3b＝（7,3），

因为ka－b与a＋3b平行，

所以3（k－2）＋7＝0，即k＝－.

此时ka－b＝（k－2，－1）＝，

a＋3b＝（7,3），则a＋3b＝－3（ka－b），

即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．

《第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入》4-2

A组　基础演练

1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则（2a－b）·b＝（　　）

A．－1　　　　　　　　　　B．0

C．1D．2

解析：

选B.（2a－b）·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos60°－1＝0.

2．已知向量a＝（1，），b＝（3，m），若向量a，b的夹角为，则实数m＝（　　）

A．2B.

C．0D．－

解析：

选B.a·b＝|a||b|cos，则3＋m＝2··.（＋m）2＝9＋m2，解得m＝.

3．设x∈R，向量a＝（x,1），b＝（1，－2），且a⊥b，则|a＋b|＝（　　）

A.B.

C．2D．10

解析：

选B.∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，x＝2，∴a＋b＝（3，－1），∴|a＋b|＝.

4．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B.|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×＋4＝3，∴|a＋2b|＝.

5．已知向量a＝（1,2），b＝（x，－4），若a∥b，则a·b等于（　　）

A．－10B．－6

C．0D．6

解析：

选A.由a∥b得2x＝－4，x＝－2，

故a·b＝（1,2）·（－2，－4）＝－10.

6．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝（－2，－6），|b|＝，则a·b＝________.

解析：

由a＝（－2，－6），得|a|＝2，则a·b＝|a||b|cos60°＝2··＝10.

答案：

10

7．已知向量m＝（λ＋1,1），n＝（λ＋2,2），若（m＋n）⊥（m－n），则λ＝________.

解析：

∵m＋n＝（2λ＋3,3），m－n＝（－1，－1），

又（m＋n）⊥（m－n），

∴（m＋n）·（m－n）＝（2λ＋3,3）·（－1，－1）＝0，

从而λ＝－3.

答案：

－3

8．在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．

解析：

已知A＝，由题意得||||cos＝tan，||||＝，所以△ABC的面积S＝||||sin＝××＝.

答案：

9．已知向量a＝（4,5cosα），b＝（3，－4tanα），α∈，a⊥b，求：

（1）|a＋b|；

（2）cos的值．

解：

（1）因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cosα×（－4tanα）＝0，

解得sinα＝.

又因为α∈，

所以cosα＝，tanα＝＝，

所以a＋b＝（7,1），

因此|a＋b|＝＝5.

（2）cos＝cosαcos－sinαsin

＝×－×＝.

10．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝（2sinB，－），n＝（cos2B,2cos2－1），且m∥n.

（1）求角B的大小；

（2）如果b＝2，求S△ABC的最大值．

解：

（1）m∥n⇒2sinB·＋cos2B＝0⇒sin2B＋cos2B＝0⇒2sin＝0（B为锐角）

⇒2B＝⇒B＝.

（2）cosB＝⇒ac＝a2＋c2－4≥2ac－4⇒ac≤4.

S△ABC＝a·c·sinB≤×4×＝.

B组　能力突破

1．已知△ABC中，·＋2＝0，则△ABC的形状是（　　）

A．钝角三角形　　　　　　B．锐角三角形

C．等腰直角三角形D．直角三角形

解析：

选D.·＋2＝0化为·（＋）＝0，即·＝0，所以⊥.

所以△ABC为直角三角形．

又根据条件，不能得到||＝||.

2．已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O.若||＝||，且2＋＋＝0，则·等于（　　）

A.B．2

C.D．3

解析：

选D.因为2＋＋＝0，所以（＋）＋（＋）＝0，即＋＝0，所以O为BC的中点，故△ABC为直角三角形，∠A为直角，又|OA|＝|AB|，则△OAB为正三角形，||＝，||＝1，与的夹角为30°，由数量积公式可知选D.

3．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为（　　）

A．1B．2

C.D．3

解析：

选C.如图，设D为BC的中点，由＋＋＝0，

得＝2，

∴A、O、D共线且||＝2||，

又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，

∴||＝||＝||＝2，||＝1，

∴||＝，∴在方向上的投影为.

4．已知a＝（2，－1），b＝（λ，3），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．

解析：

由a·b＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜，由a∥b得：

6＝－λ，即λ＝－6.因此λ＜，且λ≠－6.

答案：

（－∞，－6）∪

5．设向量a＝（sinx，sinx），b＝（cosx，sinx），x∈.

（1）若|a|＝|b|，求x的值；

（2）设函数f（x）＝a·b，求f（x）的最大值．

解：

（1）由|a|2＝（sinx）2＋（sinx）2＝4sin2x，

|b|2＝（cosx）2＋（sinx）2＝1，

及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.

又x∈，从而sinx＝，所以x＝.

（2）f（x）＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x

＝sin2x－cos2x＋＝sin＋.

当x＝∈时，sin取最大值1.

所以f（x）的最大值为.

《第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入》4-3

A组　基础演练

1．（2016·高考四川卷）设i为虚数单位，则复数（1＋i）2＝（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．2

C．2iD．2＋2i

解析：

选C.（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i.

2．（2016·高考北京卷）复数＝（　　）

A．iB．1＋i

C．－iD．1－i

解析：

选A.＝＝＝i.

3．已知复数z＝2－i，则z·的值为（　　）

A．5B.

C．3D.

解析：

选A.因为z＝2－i，所以＝2＋