高中物理选修3静电场微型专题电场能的性质学案.docx
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高中物理选修3静电场微型专题电场能的性质学案
微型专题3 电场能的性质
[学科素养与目标要求]
物理观念:
1.进一步理解电势、电势差的概念、公式,知道电场力做功与电势能变化的关系是一种普遍的功能关系.2.理解E-x、φ-x图象的意义,并会分析有关问题.
科学思维:
1.通过分析电势、电势能及电场力做功的综合问题,提高逻辑思维和科学思维能力.2.通过方法的迁移,找到解决E-x、φ-x图象与其他图象问题共性的东西.
一、电场综合问题分析
例1 (多选)在光滑的绝缘水平面上,有一个正方形abcd,顶点a、c分别固定一个正点电荷,电荷量相等,如图1所示.若将一个带负电的粒子置于b点由静止自由释放,粒子将沿着对角线bd往复运动.粒子从b点运动到d点的过程中( )
图1
A.先做匀加速运动,后做匀减速运动
B.先从高电势到低电势,后从低电势到高电势
C.电势能与机械能之和保持不变
D.电势能先减小,后增大
答案 CD
解析 a、c两点固定相同的正点电荷,则bd为等量正点电荷连线的中垂线,由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动,故A错误;等量正点电荷连线的中垂线的中点电势最高,带负电的粒子从b点运动到d点的过程中,先从低电势到高电势,再从高电势到低电势,故B错误;带负电粒子从b点运动到d点的过程中所受电场力先由b指向d,后由d指向b,所以电场力先做正功后做负功,因此电势能先减小,后增大,故D正确;只有电场力做功,电势能与机械能之和保持不变,故C正确.
例2 (多选)(2018·郑州一中高二期中)如图2所示,在一个匀强电场(图中未画出)中有一个四边形ABCD,其中,M为AD的中点,N为BC的中点.一个带正电的粒子从A点移动到B点,电场力做功为WAB=2.0×10-9J;将该粒子从D点移动到C点,电场力做功为WDC=4.0×10-9J.则以下分析正确的是( )
图2
A.若将该粒子从M点移动到N点,电场力做功为WMN=3.0×10-9J
B.若将该粒子从M点移动到N点,电场力做功WMN有可能大于4.0×10-9J
C.若A、B之间的距离为1cm,该粒子的电荷量为2×10-7C,则该电场的场强一定是E=1V/m
D.若该粒子的电荷量为2×10-9C,则A、B之间的电势差为1V
答案 AD
解析 在匀强电场中,由于M为AD的中点,N为BC的中点,故φM=
,φN=
,则WMN=qUMN=q(φM-φN)=q(
-
)=
q(φA-φB)+
q(φD-φC)=
WAB+
WDC=3.0×10-9J,故A正确,B错误;由WAB=qUAB=qEd,若电场方向恰好沿AB方向,则d等于A、B之间的距离,d=1cm,得E=
=1V/m,若电场方向不沿AB方向,则d<1cm,得到E>X1V/m,故C错误;由WAB=qUAB得,UAB=
=1V,故D正确.
例3 如图3所示,在竖直平面内,光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点,在圆心处有一固定的正点电荷,B点为AC的中点,C点位于圆周的最低点.现有一质量为m、电荷量为-q、套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑.已知重力加速度为g,A点距过C点的水平面的竖直高度为3R,小球滑到B点时的速度大小为2
.求:
图3
(1)小球滑到C点时的速度大小;
(2)若以C点为零电势点,试确定A点的电势.
答案
(1)
(2)-
解析
(1)因为B、C两点电势相等,故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零.
由几何关系可得BC的竖直高度hBC=
根据动能定理有mg·
=
-
解得vC=
.
(2)小球从A到C,重力和电场力均做正功,所以由动能定理有mg·3R+W电=
,又根据电场力做功与电势能的关系:
W电=EpA-EpC=-qφA-(-qφC).
又因为φC=0,可得φA=-
.
电场中的功能关系
1.合力做功等于物体动能的变化量,即W合=ΔEk,这里的W合指合外力做的功.
2.电场力做功决定带电体电势能的变化量,即WAB=EpA-EpB=-ΔEp.这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似.
3.只有电场力做功时,带电体电势能与机械能的总量不变,即Ep1+E机1=Ep2+E机2.这与只有重力做功时,物体的机械能守恒类似.
二、φ-x和E-x图象分析
例4 (多选)空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图4所示,x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx,下列说法中正确的有( )
图4
A.EBx的大小大于ECx的大小
B.EBx的方向沿x轴正方向
C.电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大
D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中,电场力先做正功后做负功
答案 AD
解析 在φ-x图象中,图线的斜率大小表示场强大小,可见EBx>ECx,选项A正确;同理可知O点场强在x轴方向上的分量最小,电荷在该点受到的电场力在x轴方向上的分量最小,选项C错误;沿电场方向电势降低,在O点左侧,Ex的方向沿x轴负方向,在O点右侧,Ex的方向沿x轴正方向,选项B错误,选项D正确.
[学科素养] 从φ-x图象上可直接看出电势随位置的变化,可间接求出场强E随x的变化情况:
φ-x图象切线斜率的绝对值k=|
|=|
|,为E的大小,场强E的方向为电势降低的方向.从形象思维到抽象思维到建立模型,体现了物理“科学思维”的学科素养.
例5 (多选)(2018·启东中学高二质检)如图5甲所示,真空中有一半径为R、电荷量为+Q的均匀带电球体,以球心为坐标原点,沿半径方向建立x轴.理论分析表明,x轴上各点的场强随x变化的关系如图乙所示,则( )
图5
A.c点处的场强和a点处的场强大小相等、方向相同
B.球内部的电场为匀强电场
C.a、c两点处的电势相等
D.假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动,则从a点处移动到c点处的过程中,电场力一直做正功
答案 AD
解析 根据题图乙所示的x轴上各点的电场强度随x变化的关系知c点处场强和a点处场强大小相等、方向相同,球内部的电场为非匀强电场,选项A正确,选项B错误;沿电场线方向电势逐渐降低,由题图乙易判断a点的电势大于c点的电势,选项C错误;假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动,电场力与运动方向相同,电场力一直做正功,选项D正确.
E是矢量,E-x图象中E的正负反映E的方向,E的数值反映电场强度E的大小,E-x图象与x轴所围面积表示电势差大小.
针对训练 (2018·衡水市测试)静电场方向平行于x轴,其电势随x的分布可简化为如图6所示的折线,图中φ0和d为已知量.一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心、沿x轴方向做周期性运动.已知该粒子质量为m、电荷量为-q,忽略重力.规定x轴正方向为电场强度E、加速度a、速度v的正方向,如图分别表示x轴上各点的电场强度E、粒子的加速度a、速度v和动能Ek随x的变化图象,其中正确的是( )
图6
答案 D
解析 φ-x图象切线的斜率表示电场强度,沿电场方向电势降低,因而在x=0的左侧,电场向左,且为匀强电场,故A错误;由于粒子带负电,粒子的加速度在x=0左侧为正值,在x=0右侧为负值,且大小不变,故B错误;在x=0左侧粒子向右做匀加速运动,在x=0右侧向右做匀减速运动,速度与位移不成正比,故C错误;在x=0左侧,根据动能定理得qEx=Ek-Ek0,在x=0的右侧,根据动能定理得-qEx=Ek′-Ek0′,故D正确.
1.(电场综合问题)(多选)(2017·全国卷Ⅰ)在一静止点电荷的电场中,任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图7所示.电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed.点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra,φa)标出,其余类推.现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点,在相邻两点间移动的过程中,电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd.下列选项正确的是( )
图7
A.Ea∶Eb=4∶1B.Ec∶Ed=2∶1
C.Wab∶Wbc=3∶1D.Wbc∶Wcd=1∶3
答案 AC
解析 由题图可知,a、b、c、d到点电荷的距离分别为1m、2m、3m、6m,根据点电荷的场强公式E=k
可知,
=
=
,
=
=
,故A正确,B错误;电场力做功W=qU,a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3V、1V、1V,所以
=
,
=
,故C正确,D错误.
2.(φ-x图象)(多选)(2017·扬州市期末)两个点电荷Q1和Q2固定在x轴上O、D两点,两者之间连线上各点电势高低如图8中曲线所示(OB>BD),取无穷远处电势为零,由图可知( )
图8
A.B点电场强度为零
B.Q1为负电荷,Q2为正电荷
C.Q1电荷量一定大于Q2电荷量
D.将电子沿x轴从A点移到C点,电场力一直做正功
答案 BCD
解析 由E=
知,B点的电场强度不为零,A错误;负点电荷电场中的电势为负,正点电荷电场中的电势为正,结合题图可知,Q1为负电荷,Q2为正电荷,B正确;由题图可知,电势零点离D点较近,故Q1电荷量一定大于Q2电荷量,C正确;将电子沿x轴从A点移到C点,电势一直升高,电子的电势能一直减小,电场力一直做正功,D正确.
3.(电场综合问题)(多选)(2018·全国卷Ⅰ)图9中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面,已知平面b上的电势为2V.一电子经过a时的动能为10eV,从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV.下列说法正确的是( )
图9
A.平面c上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面f
C.该电子经过平面d时,其电势能为4eV
D.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 因等势面间距相等,由U=Ed得相邻虚线之间电势差相等,由a到d,eUad=6eV,故Uad=6V;各虚线电势如图所示,因电场力做负功,故电场方向向右,沿电场线方向电势降低,φc=0,A项正确;因电子的速度方向未知,若不垂直于等势面,如图中实线所示,电子可能到达不了平面f,B项正确;经过d时,电势能Ep=eφd=2eV,C项错误;由a到b,Wab=Ekb-Eka=-2eV,所以Ekb=8eV;由a到d,Wad=Ekd-Eka=-6eV,所以Ekd=4eV;则Ekb=2Ekd,根据Ek=
mv2知vb=
vd,D项错误.
4.(电场综合问题)(2018·东北师大附中高二月考)如图10所示,在足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方h高度的P点固定一个电荷量为+Q的点电荷.一质量为m、带电荷量为+q的物块(可视为质点)从轨道上的A点以初速度v0沿轨道向右运动,当运动到P点正下方B点时速度为v.已知点电荷产生的电场在A点的电势为φ(取无穷远处电势为零),PA连线与水平轨道的夹角为60°,重力加速度为g,静电力常量为k.试求:
图10
(1)物块在A点时受到轨道的支持力大小;
(2)点电荷产生的电场在B点的电势.
答案
(1)mg+
(2)φ+
解析
(1)物块在A点受到点电荷的库仑力:
F=
由几何关系可知:
r=
设物块在A点时受到轨道的支持力大小为FN
由平衡条件有:
FN=mg+Fsin60°
解得:
FN=mg+
(2)设点电荷产生的电场在B点的电势为φB
由动能定理有:
q(φ-φB)=
mv2-
mv02
解得:
φB=φ+
一、选择题
考点一 电场综合问题分析
1.质量为m的带电小球射入匀强电场后,以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动,在小球下落h的过程中( )
A.小球的重力势能减少了2mgh
B.小球的动能增加了2mgh
C.电场力做负功2mgh
D.小球的电势能增加了3mgh
答案 D
解析 带电小球受到向上的静电力和向下的重力,据牛顿第二定律F合=F电-mg=2mg,得F电=3mg,在下落过程中静电力做功W电=-3mgh,重力做功WG=mgh,总功W=W电+WG=-2mgh,根据做功与势能变化关系可判断:
小球重力势能减少了mgh,电势能增加了3mgh,根据动能定理,小球的动能减少了2mgh,故选D.
2.(多选)如图1所示,一带正电的点电荷固定于O点,两虚线圆均以O为圆心,两实线分别为带电粒子M和N仅在电场力作用下先后在电场中运动的轨迹,a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点.下列说法正确的是( )
图1
A.M带负电荷,N带正电荷
B.M在b点的动能小于它在a点的动能
C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D.N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
答案 ABC
解析 如题图所示,M粒子的轨迹向左弯曲,则带电粒子所受的电场力方向向左,可知M粒子受到了引力作用,故M带负电荷,而N粒子的轨迹向下弯曲,则N粒子所受的电场力方向向下,说明N粒子受到斥力作用,故N带正电荷,选项A正确;由于虚线是等势面,故M粒子从a到b电场力对其做负功,故动能减小,选项B正确;对于N粒子,由于d和e在同一等势面上,故从e到d电场力做功为零,故电势能不变,选项C正确;由于N粒子带正电,故从c点运动到d点的过程中,电场力做正功,选项D错误.
3.(2018·山东省实验中学期末)如图2所示,虚线a、b、c代表电场中的三条电场线,实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、R、Q是这条轨迹上的三点,由此可知( )
图2
A.带电粒子在R点时的速度大于在Q点时的速度
B.带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C.带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小,比在P点时的大
D.带电粒子在R点的加速度小于在Q点的加速度
答案 A
解析 根据牛顿第二定律可得qE=ma,又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ,则带电粒子在R、Q两点处的加速度大小关系为aR>aQ,故D项错误;由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用,只有动能与电势能之间的相互转化,则带电粒子的动能与电势能之和保持不变,故C项错误;根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知,带电粒子在R处所受电场力的方向沿电场线向右,假设粒子从Q向P运动,则电场力做正功,所以电势能减小,动能增大,速度增大,假设粒子从P向Q运动,则电场力做负功,所以电势能增大,动能减小,速度减小,故A项正确,B项错误.
4.(2018·厦门高二质量检测)如图3所示,两个相同的绝缘细圆环带有等量正电荷,电荷在圆环上的分布是均匀的,两圆环相隔一定距离同轴平行固定放置,B、D分别为两环圆心,C为BD中点.一带负电的粒子从很远处沿轴线向下依次穿过两环,若粒子只受电场力作用,则在粒子运动过程中下列说法正确的是( )
图3
A.粒子经过B点时加速度为零
B.粒子经过B点和C点时动能相等
C.粒子从A到C的过程中,电势能一直增大
D.粒子从B到D的过程中,电场力做的总功为0
答案 D
解析 两个相同的绝缘细圆环带有等量正电荷,电荷在圆环上的分布是均匀的,所以两个圆环产生的电场关于C点是对称的,结合矢量合成的方法可得,C点的合场强为零,带负电的粒子在B点受到的电场力的方向向下,加速度不为零,故A错误;由于两个圆环产生的电场关于C点是对称的,所以粒子从B到C电场力做功的绝对值与粒子从C到D电场力做功的绝对值大小相等,总功等于零,所以粒子经过B点与经过D点时的动能相等,故D正确,B错误;粒子从A到B的过程中,受到的电场力的方向向下,电场力做正功,电势能减小,故C错误.
5.(多选)(2018·全国卷Ⅱ)如图4,同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中,电场方向与此平面平行,M为a、c连线的中点,N为b、d连线的中点.一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点,其电势能减小W1;若该粒子从c点移动到d点,其电势能减小W2.下列说法正确的是( )
图4
A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B.若该粒子从M点移动到N点,则电场力做功一定为
C.若c、d之间的距离为L,则该电场的场强大小一定为
D.若W1=W2,则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 结合题意,只能判定Uab>0,Ucd>0,但电场方向不能确定,A项错误;由于M、N分别为ac和bd的中点,对于匀强电场,则UMN=φM-φN=
-
=
,可知该粒子由M移动到N过程中,电场力做功W=
,B项正确;电场强度的方向只有沿c→d时,场强E=
,但本题中电场方向未知,C项错误;若W1=W2,则Uab=Ucd,则ac与bd一定相互平行,可知UaM=UbN,D项正确.
考点二 电场中的图象问题
6.如图5甲所示,一条电场线与Ox轴重合,取O点电势为零,Ox方向上各点的电势φ随x变化的情况如图乙所示,若在O点由静止释放一电子,电子仅受电场力的作用,则( )
图5
A.电子沿Ox的负方向运动
B.电子的电势能将增大
C.电子运动的加速度恒定
D.电子运动的加速度先减小后增大
答案 D
解析 由题图看出,沿Ox方向电势逐渐升高,则电场线方向沿Ox负方向,电子所受的电场力沿Ox正方向,则电子将沿Ox正方向运动,电子的电势能将减小,故A、B错误;φ-x图象的斜率大小等于电场强度大小,由几何知识知,斜率先减小后增大,则电场强度先减小后增大,所以电子的加速度先减小后增大,故C错误,D正确.
7.(多选)(2018·哈师大附中期中)电荷量不等的两点电荷固定在x轴上坐标为-3L和3L的两点,其中坐标为3L处电荷带正电,电荷量为Q.两点电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图6所示,其中x=L处电势最低,x轴上M、N两点的坐标分别为-2L和2L,则下列判断正确的是( )
图6
A.两点电荷一定为异种电荷
B.原点O处场强大小为
C.负检验电荷在原点O处受到向左的电场力
D.负检验电荷由M点运动到N点的过程,电势能先减小后增大
答案 BC
解析 由φ-x图象特点可知两点电荷均为正电荷,故A错误;x=L处电势最低,此处图线切线的斜率为0,即该点的合场强为0,
=
,得Q′=4Q,故原点处的场强大小为
-
=
,方向向右,负检验电荷在原点O处受到的电场力向左,故B、C正确;由M点到N点电势先减小后增大,所以负检验电荷由M点运动到N点的过程,电势能先增大后减小,故D错误.
8.(2018·六安一中质检)沿电场中某条直电场线方向建立x轴,该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图7所示,坐标点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应,相邻两点间距相等.一个带正电的粒子从O点由静止释放,运动到A点的动能为Ek,仅考虑电场力作用,则( )
图7
A.从O点到C点,电势先升高后降低
B.粒子先做匀加速运动,后做变加速运动
C.粒子在AB段电势能变化量大于BC段电势能变化量
D.粒子在AB段电势能变化量小于BC段电势能变化量
答案 C
解析 由O点到C点,沿电场线方向,电势逐渐降低,A项错误;带正电的粒子所受电场力与速度方向一致,所以粒子一直做加速直线运动,在0~x1段电场强度逐渐变大,带电粒子所受电场力逐渐变大,故粒子在OA段做加速度增大的变加速直线运动,B项错误;E-x图象中图线与坐标轴所围面积代表电势差,可知AB段的电势差大于BC段的电势差,故电场力做功WAB>WBC,由电场力做功与电势能变化的关系得,粒子在AB段电势能变化量大于BC段的电势能变化量,C项正确,D项错误.
9.(多选)(2018·东北师大附中期中)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动,其电势能Ep随位移x变化的关系如图8所示,其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线,x2x3段是直线,则下列说法正确的是( )
图8
A.x1处电场强度最小,但不为零
B.粒子在O~x3段做变速运动,x2~x3段做匀变速运动
C.x2~x3段的电场强度大小方向均不变,为一定值
D.在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3
答案 BCD
解析 由E=
得场强与电势的关系:
E=
,电势能:
Ep=qφ,联立可得:
E=
·
,可知Ep-x图象切线的斜率
=qE=F电,x1处切线斜率为零,所以x1处电场强度为零,故A错误;由题图可知,O~x1,x1~x2,x2~x3,三段斜率大小变化情况为变小,变大,不变,则可知三段电场力变小,变大,不变,故B、C正确;根据电势能与电势的关系:
Ep=qφ,粒子带负电,q<0,可知电势能越大,粒子所在处的电势越低,所以φ1>φ2=φ0>φ3,故D正确.
二、非选择题
10.一长为L的细线,一端固定于O点,另一端拴一质量为m、带电荷量为q的小球,处于如图9所示的水平向右的匀强电场中.开始时,将线与小球拉成水平,小球静止在A点,释放后小球由静止开始向下摆动,当细线转过60°角时,小球到达B点速度恰好为零.试求:
(重力加速度为g)
图9
(1)A、B两点的电势差UAB;
(2)匀强电场的场强大小.
答案
(1)-
(2)
解析
(1)小球由A到B过程中,由动能定理得
mgLsin60°+qUAB=0,所以UAB=-
(2)根据匀强电场中电势差与电场强度的关系,
可得E=
=
.
11.如图10所示,光滑绝缘细杆竖直放置,它与以正点电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点,质量为m、带电荷量为-q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑,已知q≪Q,AB=h,小球滑到B点时的速度大小为
.求小球由A到C的过程中静电力做的功及A、C两点间的电势差.
图10
答案
mgh -
解析 因为杆是光滑的,所以小球从A到B过程中只有两个力做功:
静电力做功W和重力做功mgh,由动能定理得:
W+mgh=
mvB2
代入已知条件vB=
得静电力做功
W=
m·3gh-mgh=
mgh
因Q为点电荷,则B、C在同一等势面上,由B到C电场力做功为0,所以由A到C电场力做功WAC=W+0=
mgh.则UAC=
=-
.
12.如图11所示,Q为固定的正点电荷,A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h,将另一点电荷从A点由静止释放,运动到B点时速度正好变为零,若此电荷在A点处的加速度大小为
g,静电力常量为k,求:
图11
(1)此电荷在B点处的加速度;
(2)A、B两点间的电势差(用k、Q和h表示).
答案
(1)3g,方向竖直向上
(2)-
解析
(1)由题意可知,这一电荷必为正电荷,设其电荷量为q,由牛顿第二定律得,在A点时:
mg-k
=m·
g.在B点时:
k
-mg=m·aB,解得aB=3g,方向竖直向上.
(2)从A到B的过程,由动能定理得mg(h-0.25h)+qUAB=0,解得UAB=-
.
13.如图12所示的匀强电场,等势面是一簇互相平行的竖直平面,相邻等势面间隔均为d,各等势面电势已在图中标出(U>0),现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场,要使小球做直线运动,求:
(重力加速度为g)
图12
(1)小球应带何种电荷及其电荷量;
(2)小球受到的合外力大小;
(3)在入射方向上小球运动的最大位移的大小xm.(电场范围足够大)
答案
(1)正电荷
(2)
mg (3)
解析
(1)作电场线如图甲所示.由题意知,只有小球受到向左的电场力,电场力和重力的合力方向与初速度方向才可能在一条直线上,如图乙所示.只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动,所以小球带正电,小球沿v0方向做匀减速运动.由图乙知qE=mg,相邻等势面间的电势差为U,所以E=
,所以q=
=
.
(2)由图乙知,F合=
=