压缩机的喘振与失速译文第6章.docx
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压缩机的喘振与失速译文第6章
第6章喘振和失速理论
6.1导论
这章提出的分析试图说明和预测由呈现在前一章关于单级和多级压缩机的试验数据而显示的物理性质。
对于轴流压缩机，试验结果已经表示旋转失速通常是由转子环面末端失速领先。
这种失速可能是突变或渐进的，存在许多失速单元，单元能覆盖部分或所有的叶片范围。
对于离心压缩机，失速能在导流轮、叶轮、无叶扩压器或叶片扩压器中开始。
虽然导流轮的失速特性看起来类似于轴流压缩机，但是需要更多的试验法完整证实。
虽然叶轮失速比轴流压缩机转子失速更加复杂，但是在单元内的回流活动方面存在整体的类似。
在无叶扩压器中，流动分离与合成失速特性的产生和性质在轴流压缩机定子失速特性上都没有发现。
这章在当轴流压缩机失速启动可能应用在导流轮上的最终注释时从轴流压缩机原理开始，并且以离心压缩机原理结束。
6.2单元传播速度
Emmons是第一个假设理论来预测传播速度，并且是解决关于在叶栅入口处由时均轴向和切向部分构成的瞬时速度场以及小的扰动速度形成的不同运动方程的基础。
在叶栅入口处假设为无旋流动，并且傅立叶型的解答被假设为速度势的拉普拉斯方程。
运动方程通过假设在通道出口处的有效面积随入口气流角的切线线性变化的物理模型进行阐明。
假设当入口气流角度变化时，在出口有效面积变化之前存在时间延迟。
在入口角度变化的时间里，可进一步假设有效面积的时间变率的线性比率在平衡出口流量截面和实际流量面积间的差异。
通过连续性对扰动速度可根据在叶栅入口的速度势表示出口流量面积。
代替时间延迟方程给出关于速度势的不同等式。
傅立叶方程代替了这个方程，并且正弦项和余弦项的系数根据傅立叶系数形成两种不同的方程。
注解大约是由对不稳定或阻尼解的解决方案和判别标准的振荡性质构成。
然而，没有推导处解法。
虽然Stenning也采用了小干扰的方法，但是他从在通道内流量的动量方程中得到了关于速度势的不同方程。
Stennin提供了从正弦和余弦函数的相等系数得到不同方程的解。
傅立叶系数被假设为根据失速单元频率表示的指数函数。
建立振荡运动的条件，并且得出了关于传播速度的解答。
在这部分，描述了由两位作者提议的小扰动理论。
在Stenning方法的求解运算的末期，将形成与试验数据的比较。
Emmons理论－图6.1阐明了流动模型（Emmons等人，1955。
叶栅被表示为失速和未失速叶片的交替组；流体考虑成不可压缩的。
远处上游的流速Q具有如同图中通过矢量图表示的U和V分量。
在叶栅的入口，速度分量包括稳态值和沿着叶栅长度变化值的小扰动部分。
速度分量为：
*（,,UUuxyt'=+
（1）*（,,VVxytυ'=+
（2）其中：
,uUVυ''<<
势函数被定义为如下公式：
UxVyφΦ=++（3）其中：
*/Ux=∂Φ∂且*/Vy=∂Φ∂与等式3的区别，可得到：
UUuxxφ
∂Φ∂'=+=+∂∂
VVyy
φυ∂Φ∂'=+=+∂∂因此：
uxφ∂'=
∂且y
φ
υ∂'=∂由于连续性：
0duddxdy
υ''
+=以及：
20φ∇=（4）
对于波形扰动的势函数能通过下面公式表示：
1（cos（sinny
b
nnnynyatbte
bbπππφ∞
⎛
⎫=+⎪⎝
⎭∑（5）
这个表达式的傅立叶部分包括了在y方向变化的用于规定随时间变化幅度（傅立叶系数的波形方向的三角函数。
指数函数规定了在x轴方向变化的波形扰动。
方程5对方程4的替换表示了定义的势函数是方程4的解。
Emmons假设在入口角变化和失速通道出口处的有效面积变化间的时间延迟。
出口流量系数定义为：
α＝（流通面积）∕（几何面积）（6）
流量系数被假设为随通道入口角度成线性变化。
在稳定流动条件下，入口气流角为10β（＝arctan/UV，且流量系数为00α。
在1β气流角时均衡值为0α。
然而在达到1β气流角时，不需要面积实际有效。
假定在达到1β时0α和实际值α间的流量系数变化率是线性，且如同下式：
0（t
α
γαα∂=-∂（7）随入口角度变化的流量系数的变被假设为：
1100
0001101（tantan（tanddββαααβββ=⎛⎫
∇=+-
⎪⎝⎭
110tantanxyU
UuU
VV
V
φφββυ-
'+-=
-='+当yVυφ'>>=且1/（tanddαβα'=时：
000xyUV
φφααα-
'=+（8）将方程8代入方程7中得到：
00（xyUtVVααγαφφα'∂⎡⎤
=+--⎢⎥∂⎣⎦
（9）根据速度势通过从连续性和α的定义阐明的表达式的替换能表示方程9。
满
足横向叶栅的连续性给出了：
**111（sinsinEEEAUuAVAVAβαβαω'+===其中*
sinEVωβ=xUφαω+=
xtt
φα
ω∂∂=∂∂
方程9然后变为：
002
1（xxyUUtVVφωααγωγφφγωα''∂⎛⎫
=--+-⎪∂⎝⎭
（9a）
从连续性：
**
11（sinsinEEEAUuAVAVβαβ'+==
*
sinEUuVαβ'
+=
由于稳定运行，0u'=，且Emmons定义00αα=。
因此：
00*
sinEU
Vαβ
=
（9b）且方程9a变为：
2
1xxyUtVVφωαγωαγφφ''∂⎛⎫
=--⎪∂⎝⎭
（10）具有这样的形式：
xxyBCt
φ
φφ∂=-∂（11）
其中：
1BVωαγ'⎛⎫
=-⎪⎝⎭
2
U
CV
αγω'=
方程5代入到11中并且收集正弦和余弦函数的系数给出两种常微分方程：
n
nnn
nndaBaCbdt
dbBbCadt
=-=+（12）
这将一直到Emmons执行完分析。
他指出通过这些方程描述的振荡运动增加或衰减分别取决于当0B>或0B<的情况。
为了表示这一点，方程能根据na或nb进行解答。
方程12的算子符号表示为：
（0nnDBaCb-+=
（0nnDBbCa--=应用算子1
（DBC
-到第二个方程，并且在其中加入第一个方程则能给出：
22（0nnDBbCb-+=
假设解的形式为tnnbKeλ=，特征方程为：
22（0BCλ-+=特征方程的根为：
BiCλ=±因此通解为：
（（1212（BiCtBiCtBtiCiCnnnnnbKeKeeKeKe+-+-=+=+
如果B是正值，运动将随时间增加。
如果B是负值，运动将衰减。
如果B是零：
iCλ=±通解为：
12cossinnnnbKCtKCt=+（14）传播速度为：
C=
（15）
振荡运动的判断条件为：
10BVωαγ'⎛⎫
=-=⎪⎝⎭
因此，从方程9b和稳定气流入口角10β的使用得到：
00**10
sinsintanEEVVU
VUVααβββ'=
==
（16）对于不稳定运动，例如在振荡运动增加的例子中：
00
10
tanααβ'>
这意味着不稳定性将被期望发生在沿着α与10tanβ比值的斜率上。
Emmons（1955的文献表示在5种不同叶栅安装角的特殊级联式机组的失速数据内是呈线性关系；图形表示在图6.2中。
Stenning理论－因为在叶排出口的阻塞被假设为入口气流角的函数，所以由Stenning等人（1955文献中假设的流动模型类似于Emmons的流动模型。
然而代替使用表达式，可根据如同Emmons
所取的速度势对出口流量系数的变化率来建
立运动方程，Stenning通过应用叶片排通道内的动量方程发展了运动方程。
他然后根据边界层的响应时间假设数学模型，并且在有和没有延时模型内形成了运动方程。
在这之后，他获得在有和无时间延迟的传播速度的表达式。
另外，他使用了不定常的入口速度势。
非稳定速度势能从非稳态欧拉方程中获得。
非粘滞、非稳态流动的运动方程是（使用图6.3和附录6－1的符号：
21
2cccxxcptρ⎛⎫∂+∇-∇=-∇⎪∂⎝⎭（17）
对于不可压缩流体的无旋运动：
202c
cptρ⎛⎫∂+∇+=⎪∂⎝⎭
（18）
因为是无旋流动，所以存在如下的速度势：
c∇Φ=（19）
使用连续性方程给出方程4。
方程通过分离变量法求解，因此：
ttt∂∂Φ⎛⎫
∇Φ=∇=∇Φ⎪∂∂⎝⎭
（20）将方程20代入方程18中，给出：
202tcpρ⎛⎫
∇Φ++=⎪⎝
⎭
这给出了非稳定流动的欧拉方程：
22tcp
ρΦ++=constant（21）
由于自定常流动的小扰动：
0tp
ccδϕδρ
++
=（22）在图6.3的叶栅入口处，1－3的距离假设为非常小，如下：
13
tt
ϕϕ=
且：
22
11331113332cpcpccpccpρρδδρδδρ⎫
+=+⎬+=+⎭
（23）在定子1处，方程22为：
（133310ccpϕδδρ++=（24）
运动方程从应用通道内的动量方程发展得到。
在定子3和2间的流体运动被考虑成一维，并且在l方向的动量方程是：
（0ctcctptρ∂∂+∂∂+∂∂=
方程结合了从3到2的相关的l。
同时也假定在3与2间时3cc=，并且从3c到2c的变化发生在通道出口的小段距离上：
22
3232320Lctccppρρ∂∂+-+-=由于根据稳定流动的小扰动并且假设2ρ不变化：
322333（0Lctccccpδδδδρ∂∂+--=（25）消除方程24和25间的333（ccpδδρ+，给出：
3122（
（0tcLcct
δϕδ∂++=∂（26）根据连续性：
3322AcAc=由于小扰动：
332222AcAccAδδδ=+
在出口时，速度和流通面积上存在有小扰动。
对2cδ求解给出：
3223222
AAcccAAδδδ=
-并且：
2
2
2332
22333222AAAcccccAAAδδδ⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（27）
同时根据叶栅入口表面上的连续性，在附录6－1中的符号为：
32cosucβ=
而且，在附录6－1的符号上，方程1和2变为：
xxucϕ=+yycυϕ=+所以因此：
32cosxucδϕδβ==
将3c和3cδ代入到方程27中，并且忽略小的数字乘积，给出：
2
2
2
332
2222
22222
coscosxxxAcAcAccAAAϕδδββ⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭将这个方程代入到方程26中，给出在定子1叶栅入口处的如下方程：
2
2222222222
0coscoscosxxxtxtccAL
Aϕδϕϕβαβαβ++-=（28）
出口面积扰动与出口面积的比率能根据出口流量系数α写出：
2
12
11（cot（cotAduAdδδαααδβδααβαυ'⎛⎫=
==⎪⎝⎭
其中1（cotddα
αβ'=
1
cotxyy
cϕϕβαα-'=
将最后一个表达式代入到方程28中，给出：
11
22322222cotcot10coscoscosxx
txtxycL
cϕαβαβϕϕϕβαβααβ''⎡⎤+
+-+=⎢⎥⎣
⎦（29）将方程5代入到方程29中，并集中正弦和余弦函数的系数对傅立叶系数给出两个常微分方程：
211223
222
11223
22（cotcotcos10coscos（cotcotcos10coscosxxnnxxnnccLnnnDabbbbccLnnnDbabbbβααβπ
ππβαβααββααβπππβαβααβ'⎡⎤⎡⎤'⎛⎫⎛⎫
++-+=⎢⎥⎢⎥
⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
'⎡⎤
⎡⎤'⎛⎫⎛⎫++--=⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
（30）
这些方程具有符号算子的形式为：
（1230nnADAaAb++=（31a）
（1230nnADAbAa+-=（31b）
其中：
12cosLnAb
π
β=+（32a）122
2cot1cosxcnAbαβπαβα'⎛⎫
=
-⎪⎝⎭
（32b）21
33
2cotcosxcnAbαβπαβ'=（32c）应用算子
123
1
（ADAA+到方程31b中，并把方程31a加入其中，给出：
22
123（0nnADAbAb++=（33）假设解的形式为ntnnbBeλ=，ntnnaAeλ=，然后特征方程变为：
22
123（0nAAAλ++=特征方程的根为：
32
11
nAAiAAλ=-
±而且把解代入到方程33中，得到：
21331211cossinAtAnnnAAbe
BtBtAA⎛⎫-⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭如果2A为负值，运动放大；如果2A为正值，运动衰减。
如果20A=，运动为振
荡的，因此：
3
1
nAiAλ=±
对于nb的解为：
12cossinnnnnnbBtBtλλ=+（34）其中：
1222cotcoscosx
nncLnbπ
βλπαββ=⎛⎫
+⎪
⎝⎭
（35）这是在弧度每秒上波传播的频率。
波的传播速度通过均分周期（或乘以频率）内
的波长获得。
如果假设基本波长2b是有n个谐波构成，第n谐波的波长为2bn。
波形的周期频率是通过均分2π获得。
第n谐波的传播速度为：
1
22222cotcoscosnpnpn
x
bVn
VLncbλπβπαββ=
=⎛⎫
+⎪
⎝⎭
（36）方程36表示在固定其他参数值时，当入口气流角增加时，单元传播速度减小；且当出口气流角和出口阻塞增加时，传播速度增加。
单元尺寸的增加将使传播速度增加。
方程同时也表示高次谐波的传播比基波的要快。
Stenning陈述了这和试验不一致，然而在图2.75和5.14中的图形暗示了谐波持续在失速单元内。
在图2.75上，基频谐波的存在将解释单元位置的不稳定，单元的宽度以及暂时出现的新单元。
图5.14表示了在失速单元内的中间波峰，这表明谐波的存在。
根据叶栅静压增量能用公式表示方程36，在叶栅数据中静压增量是比α更为有效的参数。
为了达到这点，Stenning重新定义α为在叶栅出口的时间质量流量与理想质量流量的比值，这就具有出口静压而不是进口总压。
理想流量假设为通过叶栅时总压没有损失。
因此：
012actualmassflow
idealmassflowforsameppα=
-
满足越过叶栅入口和出口表面的连续性，对不可压缩流体给出：
（11
11
2
22
noloss2012coscoscos2coscccppββαββρ=
=
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
由于没有损失时存在0201pp=：
（（{}11
201121cos2coscppppβαβρ=
⎡⎤
---⎢⎥
⎣⎦
因此：
（
（
11
1
2
22221
1
coscoscos1cosppcCcCc
ββαββ=
=
--（37）
其中：
（212
1
2pppC-=
将方程37代入36中，给出：
（1221cos21cosppnx
CVcLnbπββ-=
⎛⎫
+⎪
⎝⎭
（38）
时间延迟的效应－对于包括边界层延时的效应，Stenning假设如同图6.4
中所示α的变化指数地滞后于1β的变化。
在1β上单增量变化被假设为如下面在
α中的变化：
（（1tsseδαδα-=-（39）这里（ssδα是与入口气流角不连续变化对应的α内的稳态变化，且τ为延时边界
层的时间常数。
当失速单元通过叶片横截面时，入口气流角是连续的变化。
随时间变化的δα为：
（
（（tsssset
δατδαδαδα-∂==-∂（40）求解δα并使用算子符号：
1（（cot11
ssDDδααδβδαττ'==++（41）
对于稳态条件有：
111（（cot（cot（cot
ssddα
δαδβαδββ'=
=
作为在稳定状态的例子，假设在方程28中有：
2
2
AAδδαα
=
使用方程41给出：
1
1cot（cot11（1
xyyDcDϕϕβαδβδαααατατ-''==
++（42）将其代入到方程28中，给出：
2
1
2222222cot0coscoscos（1
xyxxxttxtyccLcDϕϕβϕατϕϕβαβαβατ-'++-=+
用（1Dτ+相乘，并应用算子给出：
22
2
222
11
223222
coscoscoscotcot10coscosx
ttxtttxt
xxxycL
Lccττϕϕϕϕββαβϕαβαβϕαβααβ⎡⎤+
+++⎢⎥⎣⎦
''⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦（43）
将如同方程5定义的ϕ微分介入到方程43中，并分离傅立叶级数中正弦和余弦函数的系数将在na和nb上产生两组二阶常微分方程。
再次假设解的形式为：
ntnnaAeλ=，ntnnbBeλ=于是特征方程为：
（222
12340nnAAAAλλ+++=（44）
其中：
121cosLnAbπτβ⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦（45a）
22222coscosxc
LnAbτπβαβ⎡⎤=+⎢⎥
⎣⎦（45b）13222cot1cosxcnAbπαβαβα'⎡⎤
=
-⎢⎥⎣
⎦（45c）21
4322
cotcosxcnAbαπβαβ'=（45d）
对于无阻尼振荡运动，两根必须是：
nniλω=±（46）将正根代入到方程44中，给出：
（222
12340n
nAAiAAωω-+++=将负根代入，则给出：
（222
12340nnAAiAAωω--++=
将一个减轻另外一个，且因式分解得到：
2
312（40nnAAAiωω-=
为了满足这个方程，适合的非零值2A以及nω为：
2
31nAAω=
将上述方程代入到方程46中，且将
n
λ代入方程44中给出其他两个系数的关系：
2
2
3
134
1
A
AiAAA
A
⎧⎫
⎛⎫
⎪⎪
-++=
⎨⎬
⎪
⎪⎪
⎝⎭
⎩⎭
22
3
24
1
A
AA
A
⎛⎫
-+=
⎪
⎝⎭
2
2
34
12
n
AA
AA
ω
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
（47）方程47表示的关系一定存在与无阻尼振荡运动的四个系数之间。
方程46和47涉及的根能被用于形成方程44的一个因子。
通过这个因子来划分方程44：
22
42
（
n
AA
λ⎡⎤
+
⎣⎦
给出：
22
2242
121
20
nn
AAA
AAA
λλ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++=
⎪⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这个方程的根为：
24
12
n
AA
i
AA
λ==-±
因为这些根是稳定的，所以
21
AA一定是正值。
因此，
1
A和
2
A都是正值或者都是
负值。
由于在方程47中实际的频率值，所以
3
A和
1
A都是正值或者都是负值。
因
此
1
A、
2
A和
3
A必须都是正值或者都是负值。
如果频率是具有正号，那么如同其
他系数一样
4
A具有相同的符号。
因此方程44的系数必须都是正值或者都是负值。
Stenning采用了所有系数都为正值的实际例子。
然后根据方程47中对于边界层响应时间延迟的例子在弧度每秒内的振荡频率为：
2
1
32
2
22
22
cot
cos
1
coscos
x
n
x
c
n
b
c
nL
b
βα
π
αβ
ω
τ
π
βαβ
'
⎡⎤
⎢⎥
=
⎛⎫
++
⎪
⎝⎭
（48）由于0
τ=时，方程48产生如同方程35相同的结果。
这能显示在代数操作和检索过程中，由于没有在时间延迟内的振荡运动，方程32必须为零，则：
1
cot
1
αβ
α
'
=
作为考虑到时间延迟时对于振荡运动，这不是个要求。
然后由于方程45c将为零，且根据方程47，频率将为零。
实际上如果所有的系数为正值，那么对于方程45c
也是正值：
1
cot1αβα
'<因此方程48的分子比方程35的小。
随着方程48的分母（由于时间延迟期限增加而耦合，这表示边界层延时具有减少失速单元传播速度的效应。
方程47能用来决定波长。
将方程45a－d代入到方程47中，给出：
2
2112232222
22222cotcot1coscos11coscoscosxxxccnnbbnLcnLbbαβαβππαβααβπτπτββαβ'⎡⎤
⎡⎤'⎛⎫-⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫+++⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦（49）这能重新改写为：
12224
14222
222cot11coscot1coscoscosxx
nnLbbccnLbππαββαταβτπαββαβ⎡⎤'⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦='⎡⎤⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎣
⎦（50）TERMATERMC
当1β变化时根据气动状态能计算TermA。
当失速开始时，由于termC等于termA，决定波长值的要求是可能的。
TermC具有有限范围的值。
当b→∞时，termC0→。
方程50能被改写为：
22
22
22cosTERMCcoscosx
LbcLbππβτπβαβ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
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