子午线轮胎有限元分析第3讲弹性力学的应力应变理论精.docx

子午线轮胎有限元分析第3讲弹性力学的应力应变理论精.docx

《子午线轮胎有限元分析第3讲弹性力学的应力应变理论精.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《子午线轮胎有限元分析第3讲弹性力学的应力应变理论精.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

子午线轮胎有限元分析第3讲弹性力学的应力应变理论精

子午线轮胎有限元分析

第3讲　弹性力学的应力2应变理论

洪宗跃,吴桂忠

（北京橡胶工业研究设计院,北京　100039

中图分类号:

U463.341+.6;O241.82　　文献标识码:

E　　文章编号:

100628171（20051220760206

　　虽然轮胎不是弹性体,但是通过前人的研究和大量的试验发现,为了简化分析,可以将其视为

弹性体,运用弹性理论对轮胎进行研究。

所谓弹性体是指在卸载后能够完全恢复其初始形状和尺寸的物体。

一般用弹性理论来研究载荷作用下弹性体中内力的状态和变形规律。

1　,变形改变了分子间距,在物体内形成一个附加的内力场。

当内力足以与外力平衡时,变形不再继续,物体达到稳定平衡状态。

根据弹性理论的无初应力假设,主要研究由外载荷引起的附加内力场。

111　应力的概念

为了解决结构的强度问题,不仅要确定外力,而且需要求出其内力,但仅有内力分量是不够的,还需要研究各截面上内力的分布情况（内力场。

引进应力的概念是为准确描述内力场。

物体受外力的作用或由于温度有所改变将产生内力。

为了研究物体在某一点P处的内力,假设用经过P点的一个截面mn将该物体分为A和B两部分,而将B部分撇开,如图1所示。

撇开的部分将在截面mn上对留下的部分施加一定的内力。

取这一截面上包含P点的一小部分,该部分面积为ΔA。

设作用于ΔA上的内力为ΔQ,则内力的平均集度即平均应力为ΔQ/ΔA。

令ΔA无限小而趋于点P,假定内力为连续分布,则ΔQ/ΔA将趋于一定极限（s,即

limΔA=0ΔΔA

=

s图1　应力分析

　　s为物体在截面mn上（在P点的应力。

ΔA是标量,s的方向即是ΔQ的极限方向。

对于应力,除了推导某些公式外,通常都不用其沿坐标轴方向的分量,因为这些分量与物体的形变或材料强度都没有直接的关系。

与物体的形变及材料强度直接相关的是应力在其截面的法向

和切向的分量,也就是正应力（σ

和剪应力（τ,如图1所示。

112　物体内一点的应力状态

对物体内一点应力状态进行研究是解决处于弹性阶段的物体强度问题的基础,要弄清楚一点的应力情况,必须了解通过该点任意方向的截面上的应力。

从一个受外力作用的物体中用截面法取出一个微单元体,采用直角坐标系时,可以取为平面与坐标平面平行的正六面体。

由于物体各部分间力的相互作用,单元体各截面上都有应力存在。

如果这些应力为已知,就可以求得该微单元

067轮　胎　工　业　　　　　　　　　　　　　　　2005年第25卷

第12期体任意斜面上的应力。

一点的应力状态常用微单元体3对相互垂直面上的应力表示。

取出一个微小的平行六面体,其棱边平行于坐标轴而长度为PA=Δx,PB=Δy,PC=Δz,如图2所示。

将每一面上的应力分解为1个正应力和2个剪应力,分别与3个坐标轴平行。

正应力用σ表示,为了表明这个正应力的作用面和作用方向,加上一个坐标角码,例如,正应力σx是作用在垂直于x轴的面上,同时也是沿着x轴的方向作用的;剪应力用τ表示,并加上2个坐标角码,前一个角码表明作用面垂直于其一个坐标轴,后一个角码表明作用方向沿其一个坐标轴,例如,剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。

微单元体的6个面上共有9个应力

分量,即σx,σy,σz,τxy,τxz,τyz,τyx,τzx和τzy

。

图2　物体内一点的应力状态

如果某一个截面上的外法线是沿坐标轴的正

方向,则这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负;相反,如果某一个截面上的外法线是沿坐标轴的负方向,则这个截面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正,沿坐标轴正方向为负。

图2所示的应力分量全是正的。

值得注意的是,虽然上述正负号规定对于正应力来说,结果与材料力学中的规定相同（拉应力为正而压应力为负,但是对于剪应力来说,结果却与材料力学中的规定完全不同。

根据剪应力互等定理可得

τxy=τyxτxz=τzxτyz=τzy

　　因此,微单元体上的9个分量只有6个是独

立的。

在物体上的任意一点,如果已知σx,σy,σz,

τxy,τyz和τzx这6个分量,就可以求得经过该点的任意截面上的正应力和剪应力。

因此,上述6个应力分量可以完全确定该点的应力状态。

根据以上讨论,一点应力状态的应力分量可以写成如下的应力分量矩阵,其中正应力σx,σy和σz分别是σxx,σyy和σzz的简写。

σxτxyτxzτyxσyτyzτzx

τzyσz

=σx

τxyτxzτxy

σyτyz

τxz

τyzσz

113　平衡微分方程

了解了物体内一点的应力状态后,就可以研

究应力状态随坐标的变化规律,也就是研究平衡。

Axyzxxx,,,y=σy（x,y,z,z=σz（x,y,z,τxy=τxy（x,y,z,τyz=τyz（x,y,z,τzx=τzx（x,y,z　　邻近另一点B（x+dx,y+dy,z+dz的应力状态可由A点得到。

将应力在A点按泰勒（Tay2lor级数展开,并略去高阶小量（只保留一阶小量,则B点的应力状态表示如下。

在前微面上:

σx+xdx,τxy+xdx,τxz+

x

dx　　在右微面上:

τyx+ydy,σy+ydy,τyz+

y

dy　　在上微面上:

τzx+5zdz,τyz+5zdz,σz+

5z

dz　　考虑微单元体的平衡条件,用X,Y和Z分别表示沿x,y和z方向的单位体积力（与坐标轴同向为正,则∑X=0,∑Y=0,∑Z=0。

经过简化可得

x+y+z+X=0x+y+z+Y=0x+y+z

+Z=01

67洪宗跃等1子午线轮胎有限元分析第3讲弹性力学的应力2应变理论

　　该组方程即为物体的平衡微分方程。

对轮胎而言,一般应用圆柱坐标系。

图3示出圆柱坐标系中的扇形微单元体,微单元体上的正应力分量为σr,σθ和σz,剪应力分量为τzr,τθr和τθz等。

根据同样的方法得到圆柱坐标系中的平衡方程:

r+r5θ+z+σθ

r

+fr=0

x+r5θ+z+r+fθ=0

r+

θ

r5θ

+z+

τ

r

+fz=0

式中,fr,fθ和fz分别为r,θ和z方向的体积力

。

图3　圆柱坐标系中的扇形微单元体

2　应变理论

大多数弹性理论问题仅用上述的平衡微分方程是难以求解的,必须考虑物体的变形和材料的物理性质。

在此根据运动学的观点研究物体的变形,介绍应变的概念及性质,导出应变协调方程。

211　位移和应变的概念

物体变形时,各点位置的改变称为位移。

位移一般有两种:

一种是整个物体像一个刚体一样运动而引起的位移;一种是物体内各点间有相对位移,从而发生变形。

这里主要研究物体由变形而引起的位移,暂时不考虑产生位移的原因,纯属几何问题。

在变形过程中,物体内各点可能向任意方向产生位移,在直角坐标系中（见图4,总位移向量分解为沿坐标轴方向的分量,沿x,y和z轴的位移分量分别为u,v和w,则:

u=u（x,y,z

v=v（x,y,z

w=w（x,y,z

图4　直角坐标系中物体位移示意

　　由材料力学可知,微单元体的变形（如图5所示可用正应变及剪应变表示

x,y和z轴。

x=dx

ε

y=dy

ε

z=dz

　　剪应变是微单元体各面间夹角的改变量,以弧度表示。

当沿两坐标轴正方向的两条直线间的角度减小时,剪应变为正,反之为负（见图5。

γ

xy=

α+

β

图5　微单元体的变形示意

　　与剪应力互等定理类似,剪应变也存在下述互等关系式:

267轮　胎　工　业　　　　　　　　　　　　　　　2005年第25卷

第12期γxy=γyxγyz=γzyγxz=γzx

　　正应变及剪应变所包含的6个应变分量即可表示微单元体的应变状态。

212　应变与位移的关系

位移分量与应变分量之间有密切的关系,物体变形后,只要各点位移分量确定,应变分量也就相应确定了。

现在讨论一个六面体在xoy平面上的投影（见图6,ACBD为变形前的投影,A′C′B′D′为变形后的投影

。

图6　六面体在xoy平面上的投影

位移是坐标值的单值连续函数,D点在x和

y轴上的位移分量为u,v,则A和B点的位移分

量分别为

u（x+dx,y,z,v（x+dx,y,zu（x,y+dy,z,v（x,y+dy,z

　　按多元泰勒级数展开,并利用小变形假设略去二阶以上小量,则可得A及B点的位移分量

u+xdx,　v+xdxu+

5ydy,　v+5y

dy　　根据应变分量的定义可得εx=

[（u+

dx

+dx-u]-dxdx=

xεy=

[（v+

dy

+dy-v]-dydy=

y

γxy=α+β≈tan

α+tanβ=dx（1+xdx+dy（1+ydy=

1+εx+1+εy

≈x+

y式中,εx和

εy与1相比,其值很小,可忽略不计。

同理,利用另外两个坐标平面上的投影可以求出其它应变分量与位移分量之间的关系式,综合起来可以得到如下6个关系式:

εx=

x,　γxy=x+yεy=y,　γyz=y+zεz=z,　γzx=x

和,应变分量也可以写成矩阵形式。

εx

2

xy2

zx2xyεy2

yz2

zx2

yzεz

　　在圆柱坐标系中,应变分量与位移分量的关系为:

εr=r,　γr

θ=r5θ+r-rεθ=r5θ+r,　γθz=

z+r5θεx=z,　γzr=r+z

　　物体在变形前是一个连续体,变形后仍然是连续体,微单元之间的变形必须协调。

也就是说变形必须满足某些条件,各应变分量之间存在一定的关系。

这样的条件称为变形连续条件,可用下列各式表达:

2ε5y2+2ε5x2=2γxy2ε5z2+2ε5y

2=2γyz3

67洪宗跃等1子午线轮胎有限元分析第3讲弹性力学的应力2应变理论

2εx2+2εz

2

=2γzxz（x+y-z=22

εxyx（y+z-x=22εyz

y（z+x-y=22

εzx

　　该组方程是物体小变形连续的充分必要条件,6个应变分量不能任意给定,必须满足变形连续方程。

213　小变形和大变形的概念以上讨论的是微单元体小变形时的应变2位移关系,这时的应变属于小应变,即应变分量远小于1,其平方项忽略不计。

但是对轮胎来说,其变形属于大变形,应变分量与位移分量之间的关系不再保持线性而呈非线性,所研究的问题就成为

几何非线性问题。

大变形时应变分量与位移分量的关系可用下列各式表达。

（1直角坐标系

εxx=x+2[（x2+（x2+（x2]εyy=

y

+2[（y2+（y2+（y

2]εzz=

5z+2[（5z2+（5z2+（5z2

]εxy=

5y+5x+25x5y+25x5y+25x5y

εyz=

z+y+2yz+2yz+2

yz

εzx=

+z+2zx+2x+2

zx

2　　　　εr=

r+2[（2+（2+r2]-rr（52+5]+r2（5-5+2r

2（u2+v2εz=

z+2[（z2+（z

2+（z

2]εrθ=2（r5

θ+r-r+2r（2

r+2

r+2

r-2r（r-r-2r25

-2r2

εθz=2（z+r5θ+2r（2z+2z+2

z-2r（z-zεrz=

2（5r+5z+2（25z5r+25z5r+2

5z5r+2r5z

式中,u,v和w为圆柱坐标系中r,θ和z方向的

位移。

3　应力与应变的关系

根据材料力学,单向应力状态时虎克定律为

σx=E

εx式中,E为材料弹性模量。

由于很多实际问题是处于复杂的空间应力状态,因此研究空间应力状态时的广义虎克定律有重要的意义。

将单向应力状态虎克定律推广到空间应力状态,得到广义虎克定律。

（1应变用应力表示

ε

x

=

E

[

σx

-

μ（σy

+

σz

]

γxy=

τG=

E

xy

εy=E

[σy-μ（σx+σz]

γyz=

τG=

E

yz

εz=E

[σz-μ（σx+σy]

γzx=

τG

=

E

zx

　　（2应力用应变表示

σx=（2G+λεx+λεy+λεz=2Gεx+λ

eτxy=Gγxy

σy=λεx+（2G+λεy+λεz=2Gεy+λeτyz=Gγyz

467轮　胎　工　业　　　　　　　　　　　　　　　2005年第25卷

第12期轮　　　胎工业765σ=λx+λy+（2G+λε=2Gz+λεεzεezτ=Gzxγzxμ为泊松比,G为剪切模量,λ为伸长率,e=式中,ε+ε+ε。

xyz4　结语上述是弹性理论基本方程,在解决具体问题时需要确定一定的边界条件。

这些弹性理论的基本内容将在以后的讨论中会经常用到。

HMMM（粘合剂A产量,以满足不断扩大的市宜兴国立年产1.5万tHMMM生产线投产中图分类号:

TQ330.38+7　　文献标识码:

D宜兴国立助剂厂（以下简称宜兴国立创办于1988年,从2000元起家,经过全体员工的艰苦创业、奋力拼搏,已由一个名不见经传的小厂发展成为专业生产橡胶粘合剂的龙头企业。

十几年来,在老厂长胡国斌的领导下,全体员工始终坚持“质量兴企、追求卓越、用户至上、诚信经营”的办厂理念,把“零缺陷质量”“零缺陷服务”作为企业的追求目标;把“提供一流产品,竭诚为橡胶行业服务”作为办厂宗旨,坚持科学发展观,主动与北京橡胶工业研究设计院等科研院所建立长期合作关系,不断创新技术,研发新产品,使企业实现了跨越式的发展。

宜兴国立坚持企业规范管理,注重提高员工整体素质,先后通过了ISO9002质量管理体系认证、14001环境管理体系认证、S9000质量ISOQ管理体系认证及ISO/TS16949:

2002质量管理体系认证,并获农业部全面质量管理达标证书。

该厂生产的陶都牌橡胶粘合剂获得江苏省名牌产品称号。

宜兴国立一直致力于中国橡胶助剂的技术进步和产品创新。

他们充分利用自身的优越条件和研发能力并积极与科研院所合作,已经由建厂初期只生产粘合剂A（RA这一单一产品发展成为包括间2甲2白（HRH全系列产品和粘合树脂类产品的国内最大的间2甲2白粘合体系助剂制造商。

2004年宜兴国立生产的橡胶粘合剂包括七大系列20多个品种,年销售额近亿元,产品畅销全国十几个省（市30多家重点轮胎企业,产品在国内粘合剂市场的占有率达65%左右。

近年来,我国汽车工业的迅猛发展带动轮胎行业不断发展壮大,从而对橡胶助剂的产量、品种和质量提出了新要求,给橡胶粘合剂行业的发展带来了新机遇。

宜兴国立审时度势,决定扩大场需求。

该厂投资1500多万元建设1000m2的新厂房,新上一条HMMM生产线。

该生产线有5个6m3的反应釜,年总生产能力达1.5万t以上。

据预测,新生产线达产后,企业的经济规模将进一步扩大,市场竞争力将进一步提升,产品市场占有率与覆盖面将出现质的飞跃,2006年销售额可达2亿元,利税可达2500多万元。

2005年11月3日,宜兴国立为新建1.5万tHMMM生产线举行了投产庆典,宜兴市领导、各有关单位及用户代表100多人出席了庆典活动。

宜兴国立胡立新总经理在欢迎词中回顾了宜兴国立的发展史,对创业的艰辛感慨万千,展望未来,信心百倍。

宜兴市领导对宜兴国立的成就给予了充分肯定,祝愿宜兴国立越走越好。

作为用户代表的上海轮胎橡胶（集团股份有限公司对宜兴国立新建生产线投产表示衷心祝贺,对其产品质量和诚信服务表示赞赏,祝愿宜兴国立前程似锦,未来更加辉煌。

有关市领导、厂领导及来宾代表8人为庆典仪式剪彩,在欢乐的锣鼓及鞭炮声中庆典活动顺利结束。

（本刊编辑部　涂学忠供稿国内外简讯16则△2005年以来,在轮胎市场竞争日益激烈的情况下,青岛双星轮胎工业有限公司加大出口力度,针对国际市场要求积极调整产品结构,2005年前三季度出口创汇突破1亿美元,同比增长40%。

（双星集团　王开良　李洪德供稿△山东三工橡胶有限公司近日被中国农业银行山东省分行评估为AAA”“级资信企业,这是该公司连续2年获此殊荣。

（山东三工橡胶有限公司　王旭涛供稿△中国江西联合轮胎公司投资3000万美元增添设备和人员以便使其年生产能力到2005年©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.