Matlab数据处理函数插值拟合回归分析.docx

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Matlab数据处理函数插值拟合回归分析

Matlab曲线拟合工具箱

zy搜集整理

1插值1

1.1一维插值interp11

1.2二维数据内插值interp23

1.3三维插值interp34

1.4快速Fourier算法作一维插值interpft5

1.5命令5griddata5

1.6三次样条数据插值spline6

1.7n维数据插值interpn7

1.8生成三位图形矩阵数据meshgrid8

1.9多维函数数据产生函数ndgrid8

2拟合9

2.1多项式曲线拟合ployfit9

2.2多项式曲线求值函数polyval10

2.3多项式曲线拟合的评价和置信区间函数polyconf10

2.4稳健回归函数robust11

2.5向自定义函数拟合nlinfit12

2.6拟合工具cftool13

3回归分析15

3.1多元线性回归分析函数regress15

1插值

Matlab中插值函数汇总和使用说明

1.1一维插值interp1

MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为：

yi=interp1（x,y,xi,'method'）

其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量，'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种：

'method'是最邻近插值，'linear'线性插值；'spline'三次样条插值；'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值

注意：

所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。

例如：

在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为

12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13，

推测中午12点（即13点）时的温度．

x=0:

2:

24;

y=[129910182428272520181513];

a=13;

y1=interp1（x,y,a,'spline'）

结果为：

27.8725

若要得到一天24小时的温度曲线，则：

xi=0:

1/3600:

24;

yi=interp1（x,y,xi,'spline'）;

plot（x,y,'o',xi,yi）

命令1interp1

功能一维数据插值（表格查找）。

该命令对数据点之间计算内插值。

它找出一元函数f（x）在中间点的数值。

其中函数f（x）由所给数据决定。

x：

原始数据点

Y：

原始数据点

xi：

插值点

Yi：

插值点

格式

（1）yi=interp1（x,Y,xi）

返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内插值决定。

参量x指定数据Y的点。

若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。

yi是阶数为length（xi）*size（Y,2）的输出矩阵。

（2）yi=interp1（Y,xi）

假定x=1:

N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。

（3）yi=interp1（x,Y,xi,method）

用指定的算法计算插值：

’nearest’：

最近邻点插值，直接完成计算；

’linear’：

线性插值（缺省方式），直接完成计算；

’spline’：

三次样条函数插值。

对于该方法，命令interp1调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。

这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。

命令spline用它们执行三次样条函数插值；

’pchip’：

分段三次Hermite插值。

对于该方法，命令interp1调用函数pchip，用于对向量x与y执行分段三次内插值。

该方法保留单调性与数据的外形；

’cubic’：

与’pchip’操作相同；

’v5cubic’：

在MATLAB5.0中的三次插值。

对于超出x范围的xi的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。

对其他的方法，interp1将对超出的分量执行外插值算法。

（4）yi=interp1（x,Y,xi,method,'extrap'）

对于超出x范围的xi中的分量将执行特殊的外插值法extrap。

（5）yi=interp1（x,Y,xi,method,extrapval）

确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。

例1

>>x=0:

10;y=x.*sin（x）;

>>xx=0:

.25:

10;yy=interp1（x,y,xx）;

>>plot（x,y,'kd',xx,yy）

例2

>>year=1900:

10:

2010;

>>product=[75.99591.972105.711123.203131.669150.697179.323203.212226.505

249.633256.344267.893];

>>p1995=interp1（year,product,1995）

>>x=1900:

1:

2010;

>>y=interp1（year,product,x,'pchip'）;

>>plot（year,product,'o',x,y）

复制代码

插值结果为：

p1995=

252.9885

1.2二维数据内插值interp2

命令2interp2

功能二维数据内插值（表格查找）

格式

（1）ZI=interp2（X,Y,Z,XI,YI）

返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素，即Zi（i,j）←[Xi（i,j）,yi（i,j）]。

用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid（xi,yi）是同型的。

同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数Z=f（X,Y）。

参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样。

若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点，则相应地返回nan（NotaNumber）。

（2）ZI=interp2（Z,XI,YI）

缺省地，X=1:

n、Y=1:

m，其中[m,n]=size（Z）。

再按第一种情形进行计算。

（3）ZI=interp2（Z,n）

作n次递归计算，在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值，这样，Z的阶数将不断增加。

interp2（Z）等价于interp2（z,1）。

（4）ZI=interp2（X,Y,Z,XI,YI,method）

用指定的算法method计算二维插值：

’linear’：

双线性插值算法（缺省算法）；

’nearest’：

最临近插值；

’spline’：

三次样条插值；

’cubic’：

双三次插值。

例3：

>>[X,Y]=meshgrid（-3:

.25:

3）;

>>Z=peaks（X,Y）;

>>[XI,YI]=meshgrid（-3:

.125:

3）;

>>ZZ=interp2（X,Y,Z,XI,YI）;

>>surfl（X,Y,Z）;holdon;

>>surfl（XI,YI,ZZ+15）

>>axis（[-33-33-520]）;shadingflat

>>holdoff

复制代码

例4：

>>years=1950:

10:

1990;

>>service=10:

10:

30;

>>wage=[150.697199.592187.625

179.323195.072250.287

203.212179.092322.767

226.505153.706426.730

249.633120.281598.243];

>>w=interp2（service,years,wage,15,1975）

复制代码

插值结果为：

w=

190.6288

复制代码

1.3三维插值interp3

命令3interp3

功能三维数据插值（查表）

格式

（1）VI=interp3（X,Y,Z,V,XI,YI,ZI）

找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V（X,Y,Z）在点（XI,YI,ZI）的值。

参量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。

若向量参量XI,YI,ZI是不同长度，不同方向（行或列）的向量，这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩阵。

其中Y1,Y2,Y3为用命令meshgrid（XI,YI,ZI）生成的同型阵列。

若插值点（XI,YI,ZI）中有位于点（X,Y,Z）之外的点，则相应地返回特殊变量值NaN。

（2）VI=interp3（V,XI,YI,ZI）

缺省地，X=1:

N，Y=1:

M，Z=1：

P，其中，[M,N,P]=size（V），再按上面的情形计算。

（3）VI=interp3（V,n）

作n次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。

这样，V的阶数将不断增加。

interp3（V）等价于interp3（V,1）。

（4）VI=interp3（......,method）%用指定的算法method作插值计算：

‘linear’：

线性插值（缺省算法）；

‘cubic’：

三次插值；

‘spline’：

三次样条插值；

‘nearest’：

最邻近插值。

说明在所有的算法中，都要求X,Y,Z是单调且有相同的格点形式。

当X,Y,Z是等距且单调时，用算法’*linear’，’*cubic’，’*nearest’，可得到快速插值。

例5

>>[x,y,z,v]=flow（20）;

>>[xx,yy,zz]=meshgrid（.1:

.25:

10,-3:

.25:

3,-3:

.25:

3）;

>>vv=interp3（x,y,z,v,xx,yy,zz）;

>>slice（xx,yy,zz,vv,[69.5],[12],[-2.2]）;shadinginterp;colormapcool

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1.4快速Fourier算法作一维插值interpft

命令4interpft

功能用快速Fourier算法作一维插值

格式

（1）y=interpft（x,n）

返回包含周期函数x在重采样的n个等距的点的插值y。

若length（x）=m，且x有采样间隔dx，则新的y的采样间隔dy=dx*m/n。

注意的是必须n≥m。

若x为一矩阵，则按x的列进行计算。

返回的矩阵y有与x相同的列数，但有n行。

（2）y=interpft（x,n,dim）

沿着指定的方向dim进行计算

1.5命令5griddata

功能数据格点

格式

（1）ZI=griddata（x,y,z,XI,YI）

用二元函数z=f（x,y）的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。

griddata将返回曲面z在点（XI,YI）处的插值。

曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的。

输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid生成的一样）。

XI可以是一行向量，这时XI指定一有常数列向量的矩阵。

类似地，YI可以是一列向量，它指定一有常数行向量的矩阵。

（2）[XI,YI,ZI]=griddata（x,y,z,xi,yi）

返回的矩阵ZI含义同上，同时，返回的矩阵XI,YI是由行向量xi与列向量yi用命令meshgrid生成的。

（3）[XI,YI,ZI]=griddata（.......,method）

用指定的算法method计算：

‘linear’：

基于三角形的线性插值（缺省算法）；

‘cubic’：

基于三角形的三次插值；

‘nearest’：

最邻近插值法；

‘v4’：

MATLAB4中的griddata算法。

1.6三次样条数据插值spline

命令6spline

功能三次样条数据插值spline

格式

（1）yy=spline（x,y,xx）

对于给定的离散的测量数据x,y（称为断点），要寻找一个三项多项式y=p（x），以逼近每对数据（x,y）点间的曲线。

过两点（xi,yi）和（xi+1,yi+1）只能确定一条直线，而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。

为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性，要增加两个条件（因为三次多项式有4个系数）：

a．三次多项式在点（xi,yi）处有：

p¢i（xi）=p¢i（xi）；

b．三次多项式在点（xi+1,yi+1）处有：

p¢i（xi+1）=pi¢（xi+1）；

c．p（x）在点（xi,yi）处的斜率是连续的（为了使三次多项式具有良好的解析性，加上的条件）；

d．p（x）在点（xi,yi）处的曲率是连续的；

对于第一个和最后一个多项式，人为地规定如下条件：

①p¢1¢（x）=p¢2¢（x）

②p¢n¢（x）=p¢n¢-1（x）

上述两个条件称为非结点（not-a-knot）条件。

综合上述内容，可知对数据拟合的三次样条函数p（x）是一个分段的三次多项式：

ïïî

ïïí

ì

££

££

££

=

nnn+1

223

112

p（x）xxx

p（x）xxx

p（x）xxx

p（x）

LLLL

其中每段pi（x）都是三次多项式。

该命令用三次样条插值计算出由向量x与y确定的一元函数y=f（x）在点xx处的值。

若参量y是一矩阵，则以y的每一列和x配对，再分别计算由它们确定的函数在点xx处的值。

则yy是一阶数为length（xx）*size（y,2）的矩阵。

（2）pp=spline（x,y）

返回由向量x与y确定的分段样条多项式的系数矩阵pp，它可用于命令ppval、unmkpp的计算。

例6

对离散地分布在y=exp（x）sin（x）函数曲线上的数据点进行样条插值计算：

>>x=[024581212.817.219.920];y=exp（x）.*sin（x）;

>>xx=0:

.25:

20;

>>yy=spline（x,y,xx）;

>>plot（x,y,'o',xx,yy）

复制代码

1.7n维数据插值interpn

命令7interpn

功能n维数据插值（查表）

格式

（1）VI=interpn（X1,X2,,,Xn,V,Y1,Y2,⋯,Yn）%返回由参量X1,X2,…,Xn,V确定的n元函数V=V（X1,X2,…,Xn）在点（Y1,Y2,…,Yn）处的插值。

参量Y1,Y2,…,Yn是同型的矩阵或向量。

若Y1,Y2,…,Yn是向量，则可以

是不同长度，不同方向（行或列）的向量。

它们将通过命令ndgrid生成同型的矩阵，再作计算。

若点（Y1,Y2,…,Yn）中有位于点（X1,X2,…,Xn）之外的点，则相应地返回特殊变量NaN。

VI=interpn（V,Y1,Y2,⋯,Yn）%缺省地，X1=1:

size（V,1），X2=1:

size（V,2），…，

Xn=1:

size（V,n），再按上面的情形计算。

VI=interpn（V,ntimes）%作ntimes次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的n维插值。

这样，V的阶数将不断增加。

interpn（V）

等价于interpn（V,1）。

VI=interpn（⋯,method）%用指定的算法method计算：

‘linear’：

线性插值（缺省算法）；

‘cubic’：

三次插值；

‘spline’：

三次样条插值法；

‘nearest’：

最邻近插值算法。

1.8生成三位图形矩阵数据meshgrid

功能生成用于画三维图形的矩阵数据。

格式[X,Y]=meshgrid（x,y）将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min（x），max（x），min（y），max（y）]用直线x=x（i）,y=y（j）（i=1,2,…,length（x），j=1,2,…,length（y））进行划分。

这样，得到了length（x）*length（y）个点，

这些点的横坐标用矩阵X表示，X的每个行向量与向量x相同；这些点的纵坐标用矩阵Y表示，Y的每个列向量与向量y相同。

其中X,Y可用于计算二元函数z=f（x,y）与三维图形中xy平面矩形定义域的划分或

曲面作图。

[X,Y]=meshgrid（x）%等价于[X,Y]=meshgrid（x,x）。

[X,Y,Z]=meshgrid（x,y,z）%生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f（x,y,z）或三维容积图。

例7

[X,Y]=meshgrid（1:

3,10:

14）

复制代码

计算结果为：

X=

123

123

123

123

123

Y=

101010

111111

121212

131313

141414

复制代码

1.9多维函数数据产生函数ndgrid

命令9ndgrid功能生成用于多维函数计算或多维插值用的阵列

格式[X1,X2,…,Xn]=ndgrid（x1,x2,…,xn）%把通过向量x1,x2,x3…,xn指定的区域转换为数组x1,x2,x3,…,xn。

这样，得到了length（x1）*length（x2）*…*length（xn）个点，这些点的第一维坐标用矩阵X1表

示，X1的每个第一维向量与向量x1相同；这些点的第二维坐标用矩阵X2表示，X2的每个第二维向量与向量x2相同；如此等等。

其中X1,X2,…,Xn可用于计算多元函数y=f（x1,x2,…,xn）以及多维插值命令用到的阵列。

[X1,X2,…,Xn]=ndgrid（x）%等价于[X1,X2,…,Xn]=ndgrid（x,x,…,x）

2拟合

2.1多项式曲线拟合ployfit

二、求解多项式曲线拟合函数ployfit

调用格式：

p=polyfit（x,y,n）

[p,s]=polyfit（x,y,n）

说明：

x,y为数据点，n为多项式阶数，p为幂次从高到低的多项式系数向量。

矩阵s用于生成预测值的误差估计。

（见下一函数polyval）

三、举例

例2：

由离散数据拟合出多项式。

x

0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1

y

.3

.5

1

1.4

1.6

1.9

.6

.4

.8

1.5

2

程序：

x=0:

.1:

1;

y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]；

n=3;

p=polyfit（x,y,n）

xi=linspace（0,1,100）;

z=polyval（p,xi）;%多项式求值

plot（x,y,'o',xi,z,'k:

',x,y,'b'）

legend（'原始数据','3阶曲线'）

结果：

p=16.7832-25.745910.9802-0.0035

多项式为：

16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035

曲线拟合图形：

例3：

x=1:

20,y=x+3*sin（x）

程序：

x=1:

20;

y=x+3*sin（x）;

p=polyfit（x,y,6）

xi=1inspace（1,20,100）;

z=poyval（p,xi）;%多项式求值函数

plot（x,y,’o’,xi,z,’k:

’,x,y,’b’）

legend（‘原始数据’,’6阶曲线’）

结果：

p=0.0000-0.00210.0505-0.59713.6472-9.729511.3304

图6阶曲线图10阶曲线

例4：

再用10阶多项式拟合

程序：

x=1:

20;

y=x+3*sin（x）;

p=polyfit（x,y,10）

xi=linspace（1,20,100）;

z=polyval（p,xi）;

plot（x,y,'o',xi,z,'k:

',x,y,'b'）

legend（'原始数据','10阶多项式'）

结果：

p=Columns1through7

0.0000-0.00000.0004-0.01140.1814-1.806511.2360

Columns8through11

-42.086188.5907-92.815540.2671

说明：

可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。

2.2多项式曲线求值函数polyval

调用格式：

y=polyval（p,x）

[y,DELTA]=polyval（p,x,s）

说明：

y=polyval（p,x）为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y

DELTA。

它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。

则Y

DELTA将至少包含50%的预测值。

2.3多项式曲线拟合的评价和置信区间函数polyconf

调用格式：

[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）

[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）

说明：

[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间Y

DELTA。

它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。

1-alpha为置信度。

例5：

给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。

程序：

x=0:

.1:

1;

y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]

n=3;

[p,s]=polyfit（x,y,n）

alpha=0.05;

[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）

结果：

p=16.7832-25.745910.9802-0.0035

s=R:

[4x4double]

df:

7

normr:

1.1406

Y=Columns1through7

-0.00350.85381.29701.42661.34341.14800.9413

Columns8through11

0.82380.89631.25942.0140

DELTA=Columns1through7