排列组合基础知识及解题技巧.docx
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排列组合基础知识及解题技巧
排列组合基础知识及习题分析
在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！
＝（5×4×3）/（3×2×1）
＝（6×5）/（2×1）
通过这2个例子看出
公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。
以取值N的阶层作为分母
＝5×4×3
＝6×5×4×3×2×1
通过这2个例子
＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层
排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.
解答排列、组合问题的思维模式有二：
其一是看问题是有序的还是无序的？
有序用“排列”，无序用“组合”；
其二是看问题需要分类还是需要分步？
分类用“加法”，分步用“乘法”.
分类：
“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：
①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.
分步：
“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.
在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：
1．有限制条件的排列问题常见命题形式：
“在”与“不在”
“邻”与“不邻”
在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：
⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.
⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.
⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.
⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.
2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：
“含”与“不含”
“至少”与“至多”
在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.
3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.
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提供10道习题供大家练习
1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（C）
（A）25个（B）26个（C）36个（D）37个
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【解析】
根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
可见最大的边是11
则两外两边之和不能超过22因为当三边都为11时是两边之和最大的时候
因此我们以一条边的长度开始分析
如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。
。
。
。
。
。
1
如果为10则另外一个边的长度是10，9，8。
。
。
。
。
。
2，
（不能为1否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合）
如果为9则另外一个边的长度是9，8，7，。
。
。
。
。
。
。
3
（理由同上，可见规律出现）
规律出现总数是11＋9＋7＋。
。
。
。
1＝（1＋11）×6÷2＝36
2、
（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
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【解析】每封信都有3个选择。
信与信之间是分步关系。
比如说我先放第1封信，有3种可能性。
接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封，所以分步属于乘法原则即3×3×3×3＝3^4
（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
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【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。
彼此之间选择没有关系不够成分类关系。
属于分步关系。
如：
我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。
知道最后一个旅客也是4种可能。
根据分步原则属于乘法关系即4×4×4＝4^3
（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？
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【解析】分步来做
第一步：
我们先选出3本书即多少种可能性C8取3＝56种
第二步：
分配给3个同学。
P33＝6种
这里稍微介绍一下为什么是P33，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。
即3×2×1这是分步选择符合乘法原则。
最常见的例子就是1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？
也是满足这样的分步原则。
用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。
所以该题结果是56×6＝336
3、七个同学排成一横排照相.
（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？
（3600）
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【解析】
这个题目我们分2步完成
第一步：
先给甲排应该排在中间的5个位置中的一个即C5取1＝5
第二步：
剩下的6个人即满足P原则P66＝720
所以总数是720×5＝3600
（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？
（1440）
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【解析】第一步：
确定乙在哪个位置排头排尾选其一C2取1＝2
第二步：
剩下的6个人满足P原则P66＝720
则总数是720×2＝1440
（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？
（3120）
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【解析】特殊情况先安排特殊
第一种情况：
甲不在排头排尾并且不在中间的情况
去除3个位置剩下4个位置供甲选择C4取1＝4，剩下6个位置先安中间位置即除了甲乙2人，其他5人都可以即以5开始，剩下的5个位置满足P原则即5×P55＝5×120＝600总数是4×600＝2400
第2种情况：
甲不在排头排尾，甲排在中间位置则剩下的6个位置满足P66＝720
因为是分类讨论。
所以最后的结果是两种情况之和即2400＋720＝3120
（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？
（1440）
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【解析】相邻用捆绑原则2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论
第1：
选位置C6取1＝6
第2：
选出来的2个位置对甲乙在排即P22＝2则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12
剩下的5个人即满足P55的规律＝120则最后结果是120×12＝1440
（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？
（2520）
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【解析】
这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。
所以我们不考虑左右问题则总数是P77＝5040,根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520
4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.
（1）能组成多少个四位数？
（300）
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【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。
则只有5种可能性
接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60即总数是60×5＝300
（2）能组成多少个自然数？
（1631）
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【解析】自然数是从个位数开始所有情况
分情况
1位数：
C6取1＝6
2位数：
C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
3位数：
C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100
4位数：
C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300
5位数：
C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600
6位数：
5×P55＝5×120＝600
总数是1631
这里解释一下计算方式比如说2位数：
C5取2×P22＋C5取1×P11＝25
先从不是0的5个数字中取2个排列即C5取2×P22还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数即C5取1×P11因为0不能作为最高位所以最高位只有1种可能
（3）能组成多少个六位奇数？
（288）
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【解析】高位不能为0个位为奇数1，3，5则先考虑低位，再考虑高位即3×4×P44＝12×24＝288
（4）能组成多少个能被25整除的四位数？
（21）
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【解析】能被25整除的4位数有2种可能
后2位是25：
3×3＝9后2位是50：
P42＝4×3＝12共计9＋12＝21
（5）能组成多少个比201345大的数？
（479）
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【解析】从数字201345这个6位数看是最高位为2的最小6位数所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？
4×P55＝4×120＝480去掉201345这个数即比201345大的有480－1＝479
（6）求所有组成三位数的总和.（32640）
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【解析】每个位置都来分析一下
百位上的和：
M1=100×P52（5+4+3+2+1）
十位上的和：
M2=4×4×10（5+4+3+2+1）
个位上的和：
M3=4×4（5+4+3+2+1）
总和M＝M1+M2+M3=32640
5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.
（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？
（152096）
【解析】也就是说被抽查的5件中有3件合格的，即是从98件合格的取出来的
所以即C2取2×C98取3＝152096
（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？
（7224560）
【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个
C2取1×C98取4＝7224560
（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？
（67910864）
【解析】则即在98个合格的中抽取5个C98取5＝67910864
（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？
（7376656）
【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的
C100取5－C98取5＝7376656
（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？
（75135424）
【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的
C100取5－C98取3＝75135424
6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）
（A）140种（B）84种（C）70种（D）35种
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【解析】根据条件我们可以分2种情况
第一种情况：
2台甲＋1台乙即C4取2×C5取1＝6×5＝30
第二种情况：
1台甲＋2台乙即C4取1×C5取2＝4×10＝40所以总数是30＋40＝70种
7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种.
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【解析】至少有3件则说明是3件或4件
3件：
C4取3×C46取2＝41404件：
C4取4×C46取1＝46
共计是4140＋46＝4186
8、有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有（C）
（A）1260种（B）2025种（C）2520种（D）5040种
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【解析】分步完成
第一步：
先从10人中挑选4人的方法有：
C10取4＝210
第二步：
分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种情况
则根据分步原则乘法关系210×12＝2520
9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有_____种
C（4,12）C（4,8）C（4,4）
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【解析】每个路口都按次序考虑
第一个路口是C12取4
第二个路口是C8取4
第三个路口是C4取4
则结果是C12取4×C8取4×C4取4
可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗其实不是这样的在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。
如果再×P33则是重复考虑了
如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。
所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要÷P33
10、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
990
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【解析】
这是排列组合的一种方法叫做2次插空法
直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P（9,1）种方法；再用另一个节目去插10个空位，有P（10,1）种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P（11,1）方法，由乘法原理得：
所有不同的添加方法为P（9,1）×P（10,1）×P（11,1）=990种。
另解：
先在11个位置中排上新添的三个节目有P（11,3）种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990种。
解决排列组合问题的策略
1、逆向思维法：
我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。
我们可以把这个集合看成数学上的单位1，那么1＝a＋b就是我们构建逆向思维的数学模型了，当a不利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出a＝1－b。
例题：
7个人排座，甲坐在乙的左边（不一定相邻）的情况有多少种？
例题：
一个正方体有8个顶点我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构成四面体的。
例题：
用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：
（1）无关型：
两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集
例题：
用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?
（2）包含型：
两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系
例题：
用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?
P55×－P44＝120－24＝96
用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?
25，75（3×3×2×1）×2＋P44＝36＋24＝60
（3）影响型：
两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。
例题：
用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?
3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略
例题：
平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。
简析：
按构成矩形的过程可分为如下两步：
第一步．先在4条平行线中任取两条，有C4取2种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有C5取2种取法。
这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有6×10=60个
4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略
对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。
例：
4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种。
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5、插板法
插板法的条件构成：
1元素相同，2分组不同，3必须至少分得1个
插板法的类型：
（1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？
（典型插板法点评略）
（2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？
（凑数插板法：
这个题目对照插板法的3个条件我们发现至少满足1个这个条件没有，所以我们必须使其满足，最好的方法就是用14块奶糖来分，至少每人1块，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分了，就回归到了原题）
（3）、10块奶糖放到编号为1，2，3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，则有几种方法？
（定制插板法：
已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1个，从这个思路出发，跟第二个例题是姊妹题思路是一样的对照条件想办法使其和条件吻合！
）
（4）、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1～11的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？
（多次插空法这里不多讲，见我排列组合基础讲义）
6、递归法（枚举法）
公考也有这样的类型，排错信封问题，还有一些邮票问题
归纳法：
例如：
5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？
枚举法：
例如：
10张相同的邮票分别装到4个相同的信封里面，每个信封至少1张邮票，有多少种方法？
枚举：
1，1，1，7
1，1，2，6
1，1，3，5
1，1，4，4
1，2，2，5
1，2，3，4
1，3，3，3
2，2，2，4
2，2，3，39种方法！
疑难问题
1、如何验证重复问题
2、关于位置与元素的相同问题，
例如：
6个人平均分配给3个不同的班级，跟6个学生平分成3组的区别
3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。
例题：
1，2，3，4，5五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？
例题：
7个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？
注解：
分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。
当对立情况的概率相等，即对称原理。
4、环形排列和线性排列问题。
（见我的基础排列组合讲义二习题讲解）
例如：
3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。
问有多少种方法？
例如：
3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？
注解：
排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴，我们知道，环形排列中每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作为参照位置。
5、几何问题：
见下面部分的内容。
例析立体几何中的排列组合问题
在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
1点
1．1共面的点
例题：
四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）
A．30种B．33种C．36种D．39种
答案：
B
点评：
此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。
1．2不共面的点
例2：
四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）
A．150种B．147种C．144种D．141种
解析：
从10个点中任取4个点有C（10，4）＝210种取法，其中4点共面的情况有三类：
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C（6，2）＝15种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有210－4×15－6－3＝141种。
答案：
D。
点评：
此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
几何型排列组合问题的求解策略
有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略.
一分步求解
例1圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______．
解：
本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：
先从2n个点中构成直径（即斜边）共有n种取法；再从余下的（2n－2）个点中取一点作为直角顶点，有（2n－2）种不同取法．故总共有n（2n－2）＝2n（n－1）个直角三角形．故填2n（n－1）．
例2：
从集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点原直线共有____条（结果用数值来表示）.
解：
因为直线过原点，所以C＝0.从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为P（6，2）＝30．
二分类求解
例3四边体的一
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