十三章《轴对称》导学案.docx

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十三章《轴对称》导学案

人教版八年级数学第十三章《轴对称》导学案

13.1.1轴对称新授课

主备：

刘珊审核：

王雪时间：

班级：

姓名：

学习目标：

1.能够识别简单的轴对称图形、轴对称及其对称轴,能指出轴对称图形和成轴对称的图形的对称轴.

2.能说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系.

3.知道轴对称的性质.

学习重点和难点

重点：

理解轴对称图形的概念.

难点：

轴对称的性质和应用.

一、预习内容

1.观察教材P58图片，他们都是（）的，在生活中还能找到类似图形吗？

2.把一张纸对折，然后剪出一个图形（折痕处不完全剪断），展开后观察所得到的图形，位于折痕两侧的部分有什么关系？

归纳总结：

如果一个图形沿一条（　　）折叠,直线两旁的部分能够完全（　　）这个图形就叫做（　）,这条直线就是它的（　　　）.

3.观察Ｐ５９三幅图，每对图形沿虚线对折后，虚线两旁的部分能（　　）.归纳总结：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与（　　）重合，那么就说明这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫（　　），折叠后重合的点叫做（　　）.

4.成轴对称的两个图形全等吗？

为什么？

5.全等的两个图形成轴对称吗？

举例说明（可以画图说明）

6．如图,△ABC和△A'B'C'关于直线M对称,点A'B'C'分别是点ABC的对称点.线段AA'BB'CC'与直线MN有什么关系？

（1）设AA'交对称轴MN于点，将△ABC和△A'B'C'沿MN折叠后，点A和A'重合吗？

（ＰＡ＝　　　　，∠ＭＰＡ＝　　＝　　）

（2）对于其他对应点，点B　B'；C　C'也有类似的情况吗？

（3）MN与线段AA'BB'CC'有什么关系？

2、　数学概念

1.

　　　　　　轴对称图形　　　　　　　　两个图形成轴对称

区别　　　　（　　）个图形　　　　　　（　　）个图形

　　　　　１.沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能（　）

　　　　　２.都有（　　）

联系　　　３.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么

　　　　　这两个图形关于这条直线（　　）如果把这两个成轴对　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　称的图形看成一个图形，那么这个图形就是（　　）　　　　　　　　　

轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系

２.垂直平分线的定义：

经过线段（　）并且（　　）这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

３.轴对称的性质：

如果两个图形关于这条直线对称，那么（　　）是任何一对对应电所连线段的（　　）.类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的（　　）.

例题讲解

例1.轴对称图形的对称轴是一条（）

A直线   B射线       C线段

例2.找出英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？

例３.李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是（    ） 

例４．参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系？

例５．观察规律并填空

四、总结反思

1.说说你的收获；

2.你还有什么问题？

五、反馈练习

1.下列图形是部分汽车的标志,哪些是轴对称图形?

2.点A、B关于直线l对称,P是直线l上的任意一点,则下列说法中 不正确的是（ ）  

A.线段AB与直线l垂直 

B.直线l是点A和点B的对称轴 

C.线段PA与线段PB相等   

D.若PA=PB,则点P是线段AB的中点

3.下面哪些选项的右边图形与左边图形成轴对称?

4.下列图案中，不是轴对称图形的是（      ）

5.下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（      ）

6.仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形 

7.如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?

哪些线段相等?

6、能力提升

1.在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是（   ）

A．21:

02       B．21:

05     C．20:

15        D．20:

05 

2.正方形有_______条对称轴，长方形有________条对称轴，等边三角形有________条对称轴，圆有________条对称轴.

3.线段是轴对称图形，它的对称轴是_______    ；角是轴对称图形，它的对称轴是_______  .

4.已知△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,A、B、C的对应点分别为A'、B'、C',AD和A'D'分别为边BC和B'C'上的中线.若S△ABC=18,求△A'B'D'的面积.

5.如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称.

1）A、B、C、D的对称点分别是      ，线段AD、AB的对应线段分别是    ，CD=    ， ∠CBA=   ， ∠ADC=     ．

2）AE与BF平行吗？

为什么？

3）AE与BF平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？

7、作业布置

13.1.2线段垂直平分线的性质（第一课时）新授课

主备：

王雪审核：

刘珊时间：

班级：

姓名：

学习目标：

1、探究线段垂直平分线的性质定理及逆定理．

2、会用尺规过一点做已知直线的垂线.

3、经历探索线段垂直平分线的性质的过程，培养认真探究、积极思考的能力．

学习重点和难点

学习重点：

1、掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理.

2、会用尺规过一点做已知直线的垂线.

学习难点：

线段垂直平分线的性质定理及逆定理的应用.

一、预习内容

阅读课本P61～62页，思考下列问题：

1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理是什么？

2、如何用尺规过一点做已知直线的垂线？

二、数学概念（或模型）

问题探究　线段垂直平分线的性质和判定

阅读教材P61的内容,解决下列问题:

1.测量教材P61“图13.1-6”中的线段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B,可以发现有结果P1A　　P1B、P2A　　P2B、P3A　　P3B（填“=”、“>”或“<”）. 

2.如图,直线

⊥AB,垂足为C,AC=BC,点P在

上,试补全以下证明:

证明:

∵

⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=　　. 

又AC=CB,　　, 

∴△PCA≌△　　（SAS）. 

∴PA=　　. 

3.将上述问题中的已知和结论进行交换,即如果PA=PB,求证点P在线段AB的垂直平分线上.试完成如下证明:

证明:

取AB的中点C,连PC.∵AC=BC,PA=　　,PC=　　, 

∴△PCA≌　　（SSS）. 

∴∠PCA=∠PCB=　　. 

即

垂直并且通过AB的中点C,所以P点在线段AB的垂直平分线上.

总结：

1、定理：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　　. 

逆定理：

与一条线段两个端点距离　的点,在这条线段的　　上. 

2、线段的垂直平分线可以看作是　的所有点的集合.

三、例题讲解（精讲）

例1尺规作图：

经过已知直线外一点作这条直线的垂线

已知：

直线AB和AB外一点C

求作：

AB的垂线，使它经过点C

作法：

（1）任取一点K,使点K和点C在AB的　　; 

（2）以C为圆心,CK为半径作弧,交　　于点D和E; 

（3）分别以D和E为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点F; 

（4）作直线CF,直线CF就是所求的垂线.

例2、已知:

如右图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D.求证:

（1）OC=OD.

（2）OP是CD的垂直平分线.

归纳方法：

证明一条直线是一条线段的垂直平分线时,必须同时证明这条直线上的两点都在线段的　　上,才能说明这条直线就是　　. 

四、总结反思

3.说说你的收获；

4.你还有什么问题？

五、

反馈练习

1、如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是（）

A.ED=CDB.∠DAC=∠BC.∠C＞2∠BD.∠B+∠ADE=90°

2、如图所示,DE是△ABC的AB边的垂直平分线,分别交AB、BC于D、E,AE平分∠BAC,若∠B=30°,则∠C的度数为　　. 

六、能力提升加点难度，你还能完成吗？

1、如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

2、如图AB=AC,MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

七、作业布置

13.1.2线段的垂直平分线的性质（第二课时）新授课

主备：

毛炳强审核：

刘珊时间：

班级：

姓名：

学习目标：

1.会用尺规作线段的垂直平分线.

2．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3、掌握轴对称图形对称轴的作法．

4、通过提问、思考、归纳、探究来激发学习数学的兴趣，并了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力，培养创新精神．

学习重点和难点

重点：

尺规作线段的垂直平分线.

难点：

探索轴对称图形对称轴的作法．

一、预习内容

1、阅读课本P62～63页，思考下列问题：

（1）如何验证两个图形是轴对称图形？

（2）如何用尺规作线段的垂直平分线？

二、数学概念（或模型）

1.轴对称图形的性质是什么？

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连线段的．

轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

2.轴对称图形的对称轴如何来作呢？

三、例题讲解（精讲）

例1

1．如何作出线段的垂直平分线？

A

B

已知：

线段AB

求作：

线段AB的垂直平分线．

（提示：

由两点确定一条直线和

线段垂直平分线的性质，只要

作出到线段两端点距离相等的

两点即可．）

∴直线就是所求的垂直平分线

2．根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，请与同伴进行交流．

3．我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

4．同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么．

为了作出轴对称图形的．

5．如何作出一个轴对称图形的对称轴呢？

我们只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴．

例2

1.下图中的五角星有几条对称轴？

作出这些对称轴．

作法：

（1）找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．

（2）作出线段AA′的垂直平分线L．

则L就是这个五角星的一条对称轴．

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

2.现在同学们自己画一个轴对称图形，再按照上述方法，

作出这个轴对称图形的对称轴．

3.画出下图甲中的各图的对称轴．

四、总结反思

5.说说你本节课学到了什么？

有哪些收获；

6.

你还有什么疑问？

五、反馈练习

课本P64页练习

六、能力提升

1.如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，

请你以树干为对称轴画出树的另一半

2.如上图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：

（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？

（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？

七、作业布置

1.课本P66页习题13.1第10、11、12、13题.

2.完成练习册中本课的练习.

13.2画轴对称图形（第一课时）新授课

主备：

王小佳审核：

王小佳时间：

班级：

姓名：

学习目标：

1.能画出一个图形关于某条直线对称的图形.

2.能利用轴对称变化解决日常生活中的一些简单问题.

学习重点和难点

重点：

画轴对称图形

难点：

利用知识解决简单问题

一、预习内容

1、轴对称的概念：

_________________________________________________

_________________________________________________________________；

2、图形轴对称的性质：

_____________________________________________

_________________________________________________________________.

3、阅读教材P67至P68“练习”前面的内容,解决下列问题:

（1）将一张纸对折,然后稍用劲在纸上画一个三角形,将纸打开,根据痕迹在折痕的另一侧画出另一个三角形,则这两个三角形关于折痕　　,这两个三角形是　　三角形. 

（2）连接上述两个三角形的对应点,通过测量可以发现它们到折痕的距离　　,并且连线　　于折痕,所以连接任意一对对应点的线段被对称轴　　. 

二、数学模型：

由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小相同.新图形上每个点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点.连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分.

三、例题讲解

例1如图

（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．

作法：

1.由例1可知:

（1）△ABC关于直线l的对称图形是什么形状?

（2）△ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定?

（3）在△ABC上,取哪几个点作出其关于l的对称点?

2.

（1）过已知点作对称轴的　　; 

（2）在对称轴的另一侧延长垂线段,使延长后的部分　　所作的垂线段; 

（3）延长后得到的线段的另一端点即为求作的_____________.

归纳总结：

画已知图形关于某直线对称的图形的方法

（1）确定原图形中的　　（一般为端点或顶点）;

（2）画出关键点关于直线的　　;（3）连接所求作的对称点,所得图形就是求作的图形. 

四、总结反思

1、想想你的收获：

_____________________________________________________;

2、看看还有什么问题？

________________________________________________.

五、巩固练习

1.把图中的图形补成以l为对称轴的轴对称图形

2.如图所示,为保持原图案的模式,应在空白处补上（　　）

六、能力提升

1.如图,已知△ABC和直线MN.求作:

△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法,只保留作图痕迹）

[变式训练]上题中的直线MN移动到如图位置时,你还能作出△A'B'C'吗?

【心得体会】若某点在对称轴上,则其对应点也在　　上.如果一个点在对称轴一侧,则其对称点一定在对称轴的　　. 

2.已知a⊥b,a、b相交于点O,点P为a、b外一点.

求作:

点P关于a、b的对称点M、N,并证明OM=ON（不许用全等）.

3.某居民小区要在如图所示的一块长方形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图形由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限）,并且使整个长方形场地成轴对称图形,请在如图所示的长方形中画出你的设计方案.

七、作业布置P68-1P71-1

13.2画轴对称图形（第二课时）新授课

主备：

王小佳审核：

王小佳时间：

班级：

姓名：

学习目标：

1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称

2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点

学习重点和难点

重点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标特点

难点：

用坐标表示轴对称的应

一、预习内容

1、已知△ABC，求作△A’B’C’，使它与△ABC关于直线l成轴对称

2、关于x轴、y轴对称的点的坐标特点

探究1：

如图，在平面直角坐标系中你能画出点A（2，3）关于x轴的对称点吗?

它的坐标是______.

再画B（-4,-1）点关于X轴对称点B’（）.

观察每对对称点横坐标、纵坐标各有什么关系？

总结：

关于x轴对称的点的坐标的特点是:

关于x轴对称的两个点横坐标_____,纵坐标_____________.

3、如右图，在平面直角坐标系中你能画出点A（2，4）关于y轴的对称点吗?

它的坐标是______.

再画B（-4,-3）点关于y轴对称点B’（）.

观察每对对称点横坐标、纵坐标各有什么关系？

总结：

关于y轴对称的点的坐标的特点是:

关于y轴对称的两个点横坐标_____,纵坐标_____________.

二、数学模型

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是

三、例题讲解

例2如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形

四、总结与反思

1、说说你的收获：

_____________________________________________________；

2、你还有什么问题：

___________________________________________________.

五、巩固练习

1、点P（-5,6）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.

2、点M（a,-5）与点N（-2,b）关于x轴对称，则a=_____，b=_____.

六、能力提升

1、已知点P（2a+b,-3a）与点P’（8,b+2）.

若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____b=_______

若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____b=_______.

2、如下图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形

七、作业布置

课本第71页第2题第91页第4题

13.3.1等腰三角形的判定新授课

主备：

姜保艳审核：

张建宾时间：

班级：

姓名：

学习目标：

1、探索等腰三角形的判定方法.

2、掌握并能够运用等腰三角形的判定解决相应的数学问题.

学习重点和难点

重点：

等腰三角形判定定理证明.

难点：

等腰三角形判定的应用.

一、预习内容

1、复习旧知

（1）．等腰三角形的定义：

．

（2）．等腰三角形的性质：

性质1；

性质2．

2、知识探究

我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

如图，在△ABC中，若∠B=∠C，求证：

AB=AC.（多种方法证明）

思考：

怎么作辅助线？

目的是什么？

你能证明吗？

二、数学概念

等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等.（简写成）

符号语言：

如图∵

∴

三、例题讲解

例1、求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

已知：

如图，∠CAD是△ABC的外角，∠1=∠2,AD∥BC。

求证：

AB=AC

（1）分析：

要证明AB=AC,可先证明∠B=,

因为∠1=，以可以设法找出∠B,∠C与∠1，∠2的关系.

（2）请同学们写出解题过程.

四、总结反思

1、说说你的收获；

2、你还有什么问题？

五、反馈练习

1、已知：

如图，∠A=36

，∠DBC=36

∠C=72

。

求∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.

2、如图6，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？

3、如图7，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB.

求证：

OC=OD.

六、能力提升

1.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD=______

2、.如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：

△CEB是等腰三角形.

3．如图9，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，

并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．

4、如图，DB=DC，∠ABD=∠ACD，求证：

AB=AC.

5、已知：

如图，O为∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，DE过点O且DE∥BC交AB，AC分别于D，E.

探索：

DE，BD，CE的关系.

七、作业布置

13.3.1等腰三角形的性质新授课

主备：

张国栋审核：

张建宾时间：

班级：

姓名：

学习目标：

1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质.

2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题.

教学重、难点：

重点：

探索并证明等腰三角形性质．

难点：

等腰三角形性质的熟练应用．

一、预习内容

1、知识准备

如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称.

2、动手操作，合作探究结论

阅读教材P75-77“探究与例1”，掌握等腰三角形的性质并学会运用，学生独立完成.

（1）如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则AB＝AC.

（2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：

重合的线段

重合的角

与

_____与

与

与

与

与

二、数学概念

总结等腰三角形的性质

①等腰三角形的两个相等（简写成“”）.

②等腰三角形的顶角的平分线、底边上的、底边上的互相重合.

③等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线、顶角平分线、底边上的高所在的直线是同一条线，简称“三线合一”.

三、例题讲解

（1）在△ABC中，若AC=AB，则∠=∠.

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上.

①∵AD⊥BC，

∴∠1=∠，=；

②∵AD是中线，

∴⊥，∠=∠；

③∵AD是角平分线，

∴⊥，=.

四、总结反思

1、说出你的收获是：

2、你还有什么问题？

五、反馈练习

1、等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是.

2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是.

3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为.

4、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm，则它的底边长为.

六、能力提升

1、如图，在△ABC中，如果AB=AC，AE∥BC，

求证：

AE平分△ABC的外角∠DAC.

2、如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的度数是多少.

3、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：

PE＝PF.

七、布置作业

13.3.1等腰三角形性质与判定复习课

主备：

张建宾审核：

张建宾时间：

班级：

姓名：

学习目标：

1.理解和掌握等腰三角形的性质与判定.

2.能运用等腰三角形的性质与判定进行计算和证明.

3.在探究过程中提高运用知识解决问题的能力.

学习重点和难点

重点：

等腰三角形的性质与判定.

难点：

等腰三角形的性质与判定的应用.

一、预习内容

加深记忆，做好准备.

等腰三角形的性质与判定是什么？

相信自己，独立整理出来.

性