数学疑难题目1.docx

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数学疑难题目1

1.观察下列一组勾股数:

（4,3,5）；（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；（12，35，37）

1）猜想其组成规律并只含字母n的代数式表示这一类勾股数组：

----------

2）试对你的猜想加以证明.（即证明以它们为三边长的三角形是直角三角形）

解：

1）.这一类勾股数组为（2n＋2,n^2+2n,n^2+2n＋2）其中n为自然数；2）.n^2+2n＋2最大，且（n^2+2n）＋（2n＋2）＞n^2+2n＋2,故以此数组可以组成三角形的三边，以n^2+2n+2为最大边。

（n^2+2n+2）^2－（n^2+2n）^2＝2[（n^2+2n+2）+（n^2+2n）]＝4n^2+8n+4＝（2n+2）^2,即（2n+2）^2+（n^2+2n）^2＝（n^2+2n+2）^2,故该三角形为直角三角形。

2.如图，以平行四边形ADEF两边AD、AF向外作等边△ADB、△AFC，连接EB、EC、BC.

1）求证：

△BDE≌△EFC；

2）猜想：

△EBC是-----三角形，并对你的猜想加以证明.

（二）证明：

1）.由等边Δabd,等边Δacf以及平行四边形adef可得：

ba＝bd＝ad＝ef,ca＝cf＝fa＝ed,其中∠cad＝360°－∠daf－（∠caf＋∠bad）＝360°－（180°－∠ade）－120°＝60°＋∠ade,∠edb＝60°＋∠eda,∠cfe＝60°＋∠afe＝60°＋∠ade。

即∠cad＝∠edb＝cfe。

在Δcad,Δedb与Δcfe中：

ba＝bd＝ef；ca＝ed＝cf；∠cad＝∠edb＝∠cfe（sas）。

∴Δcad≌Δedb≌Δcfe。

2）.由1）可知cb＝eb＝ce,∴Δbce为等边三角形。

如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD,等边△BCE,等边△ACF,请回答下列问题：

（1）四边形ADEF是什么四边形？

（给予证明）

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，以A,D,E,F为顶点的四边形不存在？

（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．

（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°．

（3）当∠BAC=60°时，∠DAE=180°，此时D、A、E三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．

解：

（1）是四边形ADEF平行四边形．理由：

∵△ABD，△EBC都是等边三角形．

∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．

∴∠DBE=∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，

∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．

同理可证：

AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．

∴∠BAC=360°-∠DAF-DAB-FAC=360°-90°-60°-60°=150°．

∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

如图在平行四边形ABCD中，已知：

AE=CF,EF与BD交于点H，由图中可以得到许多结论。

例如：

∠A=∠C;△ADB≌△CBD;S梯形ADFE=S梯形BCEF等等，你一定还能从图中得出其他有趣的结论，请你写出一个你认为有价值的正确的结论，并说明你的理由。

BD,EF互相平分连接DE,BF因为平行四边形ABCD所以AB=CD,AB平行CD因为AE=CF所以BE=DF所以四边形BEDF是平行四边形所以BD,EF互相平分

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°，AE⊥BD于点E,AE=1求梯形ABCD的高。

延长AE交BC于F由题意，易知∠ABC=∠C=60°AD‖BC，则∠BAD=120°

三角形BAD是等腰三角形，AE⊥BD，则∠BAE=∠DAE=60°。

所以，三角形ABF是等边三角形。

梯形ABCD的高即是等边三角形ABF的高。

由题意，BE是等边三角形ABF的高。

在直角三角形ABE中∠AEB=90°,∠ABE=60°所以，BE=AE*tg∠ABE=1*tg60°=根号3

（或者：

解：

设AB=CD=AD=x，△ABD为等腰三角形，又∵AE⊥BD

∴E为BD中点∵∠C=∠B=60°∴∠BAD=120°∴∠CBD=30°

∠BDC=90°∴BC=2CD又∵AD‖BC∴△AED∽△CDB

∴AE/CD=AD/BC1/x=x/2x∴AB=CD=AD=2

过E点作AD的垂线交于点F∴高h=2EF在三角形AED中

ED=√3∴AExED=EFxADEF=√3/2h=√3）

解：

因为AD‖BC所以∠ADB=∠DBC又因为AB=DC=AD，∠C=60度

所以∠ABC=∠C=60度，∠ADB=∠ABD=∠DBC=30度因为AE=1

所以AB=DC=AD=2过A.D点作垂线交BC分别于点E.F

因为∠C=60°所以CF=DC的一半=1同理BE=AB的一半=1所以AE=DF=根号3

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

设AE=1，则四边形DEGF的面积是

考点：

等腰梯形的性质；三角形的面积．

分析：

（1）由等腰三角形的性质（三线合一），可得BE=DE，又由F是CD的中点，可得EF是△DBC的中位线，易得四边形AEFD是平行四边形，即可证得AE=DF=CF；

（2）由

（1）可知：

EF⊥DG，所以四边形DEGF的面积=

EF•DG；根据直角三角形的性质，即可求得EF与DG的长，即可求得四边形的面积．

解答：

（1）证明：

∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，

又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．

由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，

∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．

∴AE=DF∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，∴AE=GF．

（2）解：

在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，

并且DC=AD=2，∴DG=

．由

（1）知：

在平行四边形AEFD中EF=AD=2，

又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=

EF•DG=

．

如图，已知菱形

，

。

内一点

满足

，若直线

与

交于点

，直线

与

交于点

，求证：

、

、

三点共线。

求证：

P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证．

证明：

连接PD，DQ，

由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．

∴

，

．∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．

∴

，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．

∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．

已知实数

、

、

满足：

，

。

又

、

为方程

的两个实根，试求

的值。

设p=a^2+b^2+c^2a^2+b^2+c^2+2ab=1ab=（1-a^2-b^2-c^2）/2=（1-p）/2

ab（a^2+b^2+c^2）=[1-（a^2+b^2+c^2）]（a^2+b^2+c^2）=p*（1-p）/2=1/8

4p（1-p）=14p^2-4p+1=0（2p-1）^2=0p=1/21/2+2ab=1ab=1/4

所以，a^2+b^2+c^2=2ab（a^2+b^2-2ab）+c^2=0（a-b）^2+c^2=0所以a=b，c=0根据韦达定理，

m+n=（2a+c）/（a+b）=（2a）/（2a）=1mn=-1

（m^3+n^3）/（m+n）=（m+n）（m^2-mn+n^2）/（m+n）=m^2-mn+n^2=（m+n）^2-3mn=1^2-3*（-1）=1+3=4

若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2x1≠x2时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（D）

解：

∵在y=ax2+c中，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，∴抛物线的对称轴是y轴，

∴x1，x2互为相反数，∴x1+x2=0，当x=0时，y=c．故填空答案：

c．

已知二次函数y=x2+px+q=0，若p+q=0，则它的图像必经过（）

因为p+q=0只有当x=1即y=1+p+q时才能利用已知条件同时因为p+q=0可得y=1

a答案为

已知抛物线y=5x2+（m-1）x+m与x轴的两个交点在y轴同侧，这两个交点间的距离的平方等于

，则m=（24）

解：

两个交点在y轴同侧，也就是方程5x2+（m-1）x+m=0的两根同号

那么x1<0且x2<0或者x1>0且x2>0∵x1+x2=-（m-1）/5，x1×x2=m/5>0

∴（x1+x2）2=x12+x22+2x1×x2=（m-1）2/25∴x12+x22=（m-1）2/25-2x1×x2=（m2-12m+1）/25

∴（x1-x2）2=x12+x22-2x1×x2=（m2-22m+1）/25

∵|x1-x2|2=（x1-x2）2=49/25∴m2-22m+1=49∴m=24,m=-2（舍去）

验算：

原方程是y=5x2+23x+24，两交点是（-3,0）和（-8/5,0）

m=-2时，两交点是（1,0）和（-2/5,0），在y轴两侧所以m=24

已知y关于x的函数y=（k-2）x2-2（k-1）x+k+1中满足k≤3。

（1）求证：

此函数图像与x轴总是有交点；

（2）当关于z的方程

=

+2有增根时，求上述函数图像与x轴的交点坐标。

（1）本题可将函数分成一次函数和二次函数两种情况讨论：

当k=2时，函数为一次函数，与x轴一定有交点；

当k≠2时，函数为二次函数，让y=0，根据根与系数的关系以及k的取值范围我们可判断出此时的方程是否有解，如果有解，则必与x轴有交点．

（2）这个方程有增根，那么增根必为z=3，让方程去分母后，将z=3代入化简而得的整式方程中求出k的值，就可得出函数的关系式，有了函数关系式就能求出其与x轴的交点了．

解：

（1）当k=2时，函数为y=-2x+3，图象与x轴有交点．

当k≠2时，△=4（k-1）2-4（k-2）（k+1）=-4k+12；

当k≤3时，△≥0，此时抛物线与x轴有交点．

因此，k≤3时，y关于x的函数y=（k-2）x2-2（k-1）x+k+1的图象与x轴总有交点．

（2）关于z的方程去分母得：

z-2=k+2z-6，k=4-z．

由于原分式方程有增根，其根必为z=3．这时k=1

这时函数为y=-x2+2．它与x轴的交点是（±√2，0）

（2）有增根则有z=4-k=3,k=1y=-x^2+2,令y=0显然有x=±√2∴交点坐标为（±√2，0）

如图，已知抛物线y=-x+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x1,0）,B（x2,0），且x1+x2=4,x1/x2=1/3.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过点B，C作直线，求此直线的解析式；（3）求△ABC的面积

（1）当Y=aX^2+BX+C时，X1+X2=-a/b=-（b/-1）=4得，b=4

X1/X2=1/3得3X1=X2且X1+X2=4得X1=1X2=3c=-3综上Y=-X^2+4X-3

（1）,因为x1+x2=4,且x1/x2=1/3,解得x1=1,x2=3.则A（1,0）、B（3,0）代入到抛物线方程，解得b=4,c=-3,则抛物线表达式为：

y=-x^2+4x-3.

（2）,抛物线与Y轴交点，就是x=0时，则C（0，-3）BC的斜率为1，在Y轴截距为-3，则直线方程为：

y=x-3.

（3）,△ABC可以看成以BC为底，BC=2，C点到X轴距离就是△ABC的高，高为3。

所以△ABC的面积=1/2*2*3=3

1.因为x1/x2=1/3，且x1+x2=4，所以x1=1x2=3把x1=1x2=3代入抛物线y=x²+bx+c,得到b=-4c=-3

所以抛物线的解析式为y=x²-4x-3

2.设直线为y=kx+b,因为x2=3，所以点B坐标为（3，0）把x=0代入抛物线，所以y=-3，所以点C坐标为（0，-3）把点C，点B的坐标代入直线y=kx+b所以k=1b=-3所以直线的解析式为y=x-3

3.因为点B坐标为（3，0）所以OB的距离=3点C坐标为（0，-3），所以OC的距离=3

所以S三角形OBC=3×3÷2=4.5因为抛物线过点A，所以根据题意，

利用抛物线，0=x²-4x-3求出x的另一个值为1，做一点A坐标为（1，0）

所以OA距离=1，所以S三角形OAC=1×3÷2=1.5

所以S三角形ABC=S三角形OBC-S三角形OAC=4.5-1.5=3

已知抛物线y1=x2和双曲线y2=

交于A点，那么当x在什么范围内取值时，函数值y1＞y2?

依题意：

y1＞y2则x²＞8/x

①当x＞0时，x³＞8∴x＞2

②当x＜0时，x³＜8∴x＜2∴x＜0

综上，x＜0或x＞2时，y1>y2

如图13-21，函数y＝（k-2）x2-

x+（k-5）的图像与x轴只有一个交点，则交点的横坐标x0是.

　　分析本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，关键在建立抛物线与x轴交点个数与Δ间关系以及抛物线与x轴交点横坐标与相应一元二次方程根之间的关系.

　　解∵抛物线y＝（k-2）x2-

x+（k-5）与x轴只有一个交点，　∴（-

）2-4（k-2）（k-5）＝0.

　　整理得　　4k2-28k+33＝0,

　　k1＝

，k2＝

.　当k＝

时，k-2＞0，抛物线开口向上不符合题意.舍去.

　　当k＝

时，k-2＜0，适合题意.∴k＝

.　把k＝

代入（k-2）x2-

x+（k-5）＝0，

　　得x2+2

x+7＝0,（x+

）2＝0,　x1＝x2＝-

.　即交点的横坐标x0是-

.

　　注解答本题要注意其中的隐含条件k-2≠0，即k≠2的情形，并要结合题中给出的图形对求得的值进行必要的取舍.

如图，已知抛物线Y=-2/3X2+4/3X+2的图像与X轴交于点A，B，与Y轴交于点C，抛物线的对称轴与X轴交于点D,点M在线段OB上从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，过点M作X轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于点Q。

（1）求点B，点C和点D的坐标。

（2）设当点M运动了X（S）时，四边形OBPC的面积为S，求S与X的函数关系式，并指出自变量X的取值范围，当X为何值时，四边形OBPC的面积取得最大值，并求出最大值。

（3）在线段BC上是否存在点Q，使得三角形DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？

若存在，求出所有这样的点Q的坐标，若不存在，说明理由。

解：

（1）当y=0时，有方程-2x^2+4x+6=0解得:

x1=-1,x2=3

所以点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）。

由于点D在抛物线y=（-2/3）x^2+（4/3）x+2的对称轴上，所以D点的横坐标为–{（4/3）/[2*（-2/3）]}=1即D点的坐标为（1，0）。

X=0时，y=2,即C点坐标为（0，2）。

（2）由图可知：

S=（1/2）*（DC+PM）*OM+（1/2）*PM*MB=（1/2）*OC*OM+（1/2）*PM*OB

在y=（-2/3）x^2+（4/3）x+2中，当x=0时，y=2.即OC=2.由

（1）题可知，OB=3.

而OM,MP是点P的横纵坐标，所以OM=x,OP=y其中x>0,y>0.

所以S=（1/2）*2x+（1/2）*3y=x+（3/2）y而y=（-2/3）x^2+（4/3）x+2。

代人上式得：

S=（1/2）*2x+（1/2）*3[（-2/3）x^2+（4/3）x+2]=-x^2+3x+3

所以S与X的函数关系式为S=-x^2+3x+3（其中0

当x=-3/[2*（-1）]=3/2时，S大=-（4*3-3^2）/（-4）=（12+9）/4=21/4=5.25

（3）当M运行到2s时，⊿DQB为等腰三角形，Q点坐标为（2，2/3）

答：

（1）点B，点C和点D的坐标分别为（3，0）、（0，2）、（1，0）。

（2）S与X的函数关系式为S=-x^2+3x+3（0

（3）当M运行到2s时，⊿DQB为等腰三角形，Q点坐标为（2，2/3）。

某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立如图的直角坐标系.

①请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标.

②求出这条抛物线的解析式.

③施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值.试问:

其最大值是多少?

解：

①M（12，0）P（6，6）

②设抛物线的解析式为：

y=ax²+bx+c∵M（0，12）P（6,6）O（0,0）∴0=144a+12b+c

6=36a+6b+c0=c∴a=-1/6b=2c=0∴抛物线的解析式为：

y=-1/6x²+2x

③设A（m,n）则B（m,0）C（12-m,0）D（12-m,n）∴AB=nAD=2（6-m）DC=AB=n

∴AB，AD，CD的长度之和L=AB+AD+CD=n+2（6-m）+n=12-2m+2n

∵点A在抛物线上∴n=-1/6m²+2m∴L=12-2m+2（-1/6m²+2m）=-1/3m²+2m+12=-1/3（m-3）²+15

∴当m=3时，L取得最大值。

L最大值=15（米）

某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立如图的直角坐标系.

①请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标.

②求出这条抛物线的解析式.

③施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值.试问:

其最大值是多少?

解：

①M（12，0）P（6，6）

②设抛物线的解析式为：

y=ax²+bx+c∵M（0，12）P（6,6）O（0,0）∴0=144a+12b+c

6=36a+6b+c0=c∴a=-1/6b=2c=0∴抛物线的解析式为：

y=-1/6x²+2x

③设A（m,n）则B（m,0）C（12-m,0）D（12-m,n）∴AB=nAD=2（6-m）DC=AB=n

∴AB，AD，CD的长度之和L=AB+AD+CD=n+2（6-m）+n=12-2m+2n

∵点A在抛物线上∴n=-1/6m²+2m∴L=12-2m+2（-1/6m²+2m）=-1/3m²+2m+12=-1/3（m-3）²+15

∴当m=3时，L取得最大值。

L最大值=15（米）

【例1】平时同学们在跳长绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线。

如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的甲的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，则学生丁的身高为（如图建立的平面坐标系）（B）（A）1.6米（B）1.625米（C）1.63米（D）1.64米

　　【解】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知条件知，函数的图像过（-1，1）、（0，1.5）、（3，1）三点，将三点坐标代入，易求得其解析式为因为丁头顶的横坐标为1.5，代入其解析式可求得其纵坐标为1.625。

故丁的身高为1.625米，答案为B。

　　【例2】（东阳卷）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。

据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。

⑴求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。

⑵足球第一次落地点C距守门员多少米？

（取）⑶运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？

（取）

　　1）设y=a（x+b）^2+c（a<0）x=6,ymax=4所以b=-6，c=4x=0，y=1所以有

1=a（0-6）^2+4解得a=-1/12所以y=-1/12（x-6）^2+4y=-1/12x^2+x+1

2）第一次落点即y=0代入上面的方程有0=-1/12x^2+x+1

解得x=6+4√3=6+7=13或x=6-4√3=6-7=-1（舍去）足球第一次落地点C距守门员13米

3）根据题意，要求BD的距离，只需要求CD的距离

CD的距离又可以转化为2=-1/12x^2+x+1的两根之差的绝对值化简上方程有x^2-12x+12=0

所以有x1+x2=-b/a=12,x1*x2=c/a=12|x1-x2|=√[（x1+x2）^2-4x1x2]=√（12^2-4*12）=4√6=2*2√6=10

所以BD=BC+CD=OC-OB+CD=13-6+10=17

所以运动员乙要抢到第二个落点D，他应该再向前跑17米

　　【例3】（兰州卷）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米。

现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系。

⑴直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；⑵求这条抛物线的解析式；⑶若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB使C,D点在抛物线上，A,B点在地面OM上，则这“支撑架”总长的最大值是多少？

　　【解】⑴M（12，0），P（6，6）。

　　⑵设抛物线解析式为：

y=a（x-6）2+6∵抛物线y=a（x-6）2+6经过点（0，0），

　　∴0=a（0-6）2+6，即∴抛物线解析式为：

　　⑶设A（m,0），则B（12-m,0），　∴“支撑架”总长AD+DC+CB=∵此二次函数的图像开口向下

　　∴当m=3米时，有最大值为15米。

　　【例4】（重庆卷）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周