第2讲 二次函数的综合应用 学生版.docx

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第2讲二次函数的综合应用学生版

第2讲　二次函数的综合应用

一、二次函数结合方程，不等式的应用：

（1）二次函数与其他函数联立求交点问题

（2）已知函数值的取值范围求自变量的取值范围

（3）函数比较大小

二、二次函数中三角形的面积最值问题：

借助面积公式

三、根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．

四、二次函数的应用

1．利用二次函数解决利润问题：

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

2．几何图形中的最值问题：

几何图形中的二次函数问题常见的有：

几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．

3．构建二次函数模型解决实际问题：

利用二次函数解决抛物线形的隧道．大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

注：

二次函数的取值范围：

一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．

考点一、二次函数与方程、不等式的综合

【例1】（☆☆）点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）是关于x的函数y=mx2﹣（2m+1）x+m+1（m为实数）图象上两个不同的点．对于下列说法：

①不论m为何实数，关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m+1=0必有一个根为x=1；

②当m=0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0成立；

③当x1+x2=0时，若y1+y2=0，则m=﹣1；

④当m≠0时，抛物线顶点在直线y=﹣

x+1上．

其中正确的是（　　）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

【例2】（☆☆）已知Y1，Y2，Y3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A（﹣1，﹣2）、B（2，1）和C（

，3），规定M={Y1，Y2，Y3中最小的函数值}，则下列结论错误的是（　　）

A．当x＜﹣1时，M=Y1

B．当﹣1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1

C．当0≤x≤2时，M的最大值是1，无最小值

D．当x≥2时，M最大值是1，无最小值

【例3】（☆☆☆）二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（　　）

A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜b＜nC．a＜m＜n＜bD．m＜a＜n＜b

【例4】（☆☆☆）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：

①b2﹣4ac＞0；

②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；

③x1＜x0＜x2

④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；

⑤x0＜x1或x0＞x2，

其中正确的有（　　）

A．①②B．①②④C．①②⑤D．①②④⑤

举一反三

1.（☆☆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（　　）

A．﹣1，3B．﹣2，3C．1，3D．3，4

2.（☆☆）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y2=kx+m的图象相交于A（﹣1，4）、B（4，2）两点，则能使关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．2＜x＜4B．﹣1＜x＜4C．x＜﹣1或x＞4D．x＞4

3.（☆☆☆）已知关于x的方程2+（x﹣m）（x﹣n）=0，存在a，b是方程2+（x﹣m）（x﹣n）=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）

A．m＜a＜b＜nB．m＜a＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．a＜m＜n＜b

4.（☆☆☆）若二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），且在x轴下方，对于以下说法：

①b2﹣4ac＞0②方程ax2+bx+c=y0的解是x=x0③当x0=

时，y0的值最小④（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，其中正确的序号是　　．

5.（☆☆）关于x的不等式组

无解，则二次函数图象y=ax2﹣2x﹣1与x轴的交点（　　）

A．没有交点B．一个交点C．两个交点D．不能确定

考点二、二次函数与几何图形的综合

【例1】（☆☆）如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）

A．

B．

C．﹣2D．

【例2】（☆☆☆）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

A．

B．

C．3D．4

举一反三

1.（☆☆☆）如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）

A．

B．

C．﹣2D．

2.（☆☆）二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：

①m=3；

②当∠APB=120°时，a=

；

③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；

正确的是（　　）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

3.（☆☆☆）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．

（1）求A、B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

考点三、二次函数的应用

【例1】（☆☆☆）某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：

如果单独投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：

x（万元）

1

2

2.5

3

5

yA（万元）

0.4

0.8

1

1.2

2

信息二：

如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：

yB=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．

（1）求出yB与x的函数关系式；

（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式；

（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

【例2】（☆☆）如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为x米．

（1）若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；

（2）两个鸡场面积和S有最大值吗？

若有，最大值是多少？

【例3】（☆☆）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛季后赛正如火如荼的进行．在浙江广厦队与深圳马可波罗对的一场比赛中，广厦队员福特森在距篮下4米处跳起投篮，篮球准确落入篮圈．已知篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，篮圈中心到地面的距离为3.05m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数表达式；

（2）已知福特森身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少？

举一反三

1.（☆☆）盐阜商场试销一种品牌服装，成本为每件300元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于20%，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表：

销售单价x（元）

…

330

335

340

345

…

销售量y（件）

…

240

230

220

210

…

（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；

（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？

最大利润是多少？

2.（☆☆）某养鸡专业户准备用一段长48米的篱笆，再利用鸡舍的一面墙（墙足够长）围成一个中间隔有一道篱笆EF（EF⊥AD）的矩形场地ABCD，用来供鸡室外活动时使用，设矩形的一边AB长x米，矩形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）当x为何值时，S有最大值？

最大值是多少？

3.（☆☆）身高为1.8m的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为3.05m，小王站在与篮圈中心的水平距离4m的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，球达到距离地面3.5m的最高点，运行一段时间后篮球最后恰好落入篮圈．

（1）请建立适当的坐标系，并以此求出球的运动路线的解析式；

（2）若篮球在小王的头顶上方0.25m出手，问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少米？

（3）若是身高2.26m的姚明练习定点投篮，球的运动路线也和本题的一样，球在姚明头顶上方0.34m处出手，则姚明应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮球准确落入篮圈？

4.（☆☆）如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，有以下两种围法，

（1）如图1，设花圃的宽AB为x米，面积为y米2，求y与x之间的含函数表达式，并确定x的取值范围；

（2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，设花圃的宽AB为a米，面积为S米2，求S与a之间的函数表达式及S的最大值？

1．（☆）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．由b2-4ac的值确定

2.（☆☆）已知直线y=mx+n和抛物线

在同一坐标系中的位置如图所示,且抛物线与x轴交于点（−1,0），（2,0）,抛物线与直线交点的横坐标为1和

那么不等式mx+n<

<0的解集是（）

A. 1

或x>1C. −

3.（☆☆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（　　）

A．-1.3B．-2.3C．-3.3D．-4.3

4.（☆☆☆）如图，已知函数

与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式ax2+bx

＞0的解为（　　）

A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3C．x＞0D．x＜﹣3或x＞0

5.（☆☆）若不等式组

（x为未知数）无解，则二次函数的图象y=ax2﹣4x+1与x轴的交点（　　）

A．没有交点B．一个交点C．两个交点D．不能确定

6.（☆☆）若二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+f的图象如图，当y1＜y2时，关于x的取值范围，有可能是下列不等式组解中的哪一个（　　）

A．

B．

C．

D．

7.（☆☆☆）二次函数y=1﹣（x﹣a）（x﹣b），（a、b为常数，且a＜b）与x轴的交点的横坐标分别为m、n（m＜n），则m、n、a、b的大小关系是（　　）

A．m＜a＜b＜nB．m＜n＜a＜bC．m＜a＜n＜bD．a＜b＜m＜n

8.（☆☆☆）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（﹣3，﹣6），有以下结论：

①当a＞0时，b2＞4ac；②当a＞0时，ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＜n；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的一根为﹣5，则另一根为﹣1．

其中正确的是（　　）

A．①②B．①③C．②③④D．①②④

9.（☆☆）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A（-1，2）、B（4，1）两点，则能使关于x的不等式ax2+（b-k）x+c-m＞0成立的x的取值范围是．

10．（☆☆）如图，抛物线

与双曲线y=

的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式

<0的解集是。

11.（☆☆）如上图，在平面直角坐标系中，点M是直线y=3与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线

的顶点，则方程

的解的个数是．

12.（☆☆）某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆（EF），如图，BE，EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD＞AB，矩形ABCD的面积为S平方米．

（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，S有最大值？

求出这个最大值．

[参考公式：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=﹣

时，y最大（小）值=

．]

13.（☆☆☆）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．

（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：

a＞0．

14.（☆☆☆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；

（3）已知一定点M（﹣2，0）．问：

是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？

若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．