高等代数北大版第章习题参考答案.docx

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高等代数北大版第章习题参考答案

第六章线性空间

1.设MN,证明:

M「|N二M,M|JN二N。

证任取圧三M,由M二N,得很三N,所以—MN,即证M•M。

又因

MNM,故M"N=M。

再证第二式，任取很-M或x-N,但MN,因此无论哪一种情形，都有：

…N,此即。

但NMN,所以MUN=N。

2.证明M（NL）=（MN）（ML），M（NL）=（MN）（ML）。

证-xM（NL）,则xM且xNL.在后一情形，于是xMN或xML.

所以x（MN）（ML），由此得M（NL）=（MN）（ML）。

反之，若

x（MN）（ML），则xMN或xML.在前一情形，xM,xN,因此

x・NL.故得x•M（NL）,在后一情形，因而x・M,x・L,NUL，得xM（NL）,故（MN）（ML）M（NL）,

于是M（NL）=（MN）（ML）。

若xM（NRL），则xM，xN"L。

在前一情形Xx・MUN，且X・MUL,因而x（MUN）（M_L）。

在后一情形，xN,x•L,因而xMUN,且X•MUL，即X（MJN）D（MUL）所以（MuN）n（MUL）mU（NUL）

故mU（nF1l）=（mUn）n（mUl）

即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1）次数等于n（n一1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2）设A是一个nxn实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；

3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；

5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

（ai，ab（qa2，bib2aia2）

6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

kQa=0；

7）集合与加法同6），数量乘法定义为：

kOa=a；

8）全体正实数r，加法与数量乘法定义为：

a二b=ab，kQa=ak；

解1）否。

因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如

（xn•5）•（「xn-2）=3。

2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是nxn实矩阵}

因为

f（x）+g（x）=h（x）,kf（x）=d（x）

所以

f（A）+g（A）=h（A）,kf（A）=d（A）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三

角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。

下面仅对反对称矩阵证明：

当A,B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有

（A+B）'=A+B=-A-B=-（A+B,A+B仍是反对称矩阵。

（KA）=KA"二K（—A）=（KA）,所以kA是反对称矩阵。

故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。

例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。

5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0,0）是零元，任意（a,b）的负元是

（-a,a-b）。

对于数乘：

1（a,b）=（1a,。

b=―a2）=（a,b）,

咛）a2]咛（“）

kl（kl—1）2丄k（k—1）“、2、

=（kla,a（la））

k.（l.（a,b）=k.（la,lb出^a2）=（kla,k[lb

l（l—1）2k（k—1）2

-（kla,k[lba]（la））

kl（kl-1）2

=（kla,aklb）=（kl）.（a,b）,

k.（a,b）二丨.（a,b）=（ka,kb^a2）二（la,lb山^a2

=（kala,kb坐9玄2世a2kla2）

4（kl）a,（k1）（k|-1）a2（kl）b].

即（kl）（a,b）二k（a,b）二l（a,b）。

k[（a1,b1）二（a2,b2）]=k（a1a2,b|b2a1a2）

k（k—1）2

=[k（a1a2）,k（b1b2a1a2（a1a2））],

k。

佝0）㊉k°（a2,b2）

k（k-1）2k（k—1）2、

=（kai,kbi&）二（ka2,kba?

）

k（k-1）2k（k-1）22

=（ka1ka2，kb1-^-印kb2-f-a2ka1a2）

k（k—1）2k（k—1）22

=（k（a1a2）,k（b1b2a1a2）a1a2ka1a^ka1a2）

k（k—1）222

=（k@1a2）,k（db2da?

）（da?

））,

即k°（ai，bi）❸（a2，b2）=k°（ai,bj❸k°（a2,b2），所以，所给集合构成线性空间。

6）否，因为1=0=〕.。

7）否，因为（k丨）：

=,k七川'Ir=2,所以（k丨）乜严（k".：

s）-（I・）,

所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

i）a二b=ab二ba=b二a;

ii）（a二b）二c=（ab）二c=abc=a二（be）=a二（b二c）;

iii）1是零元:

a二1=a1=a;

iv）a的负元是丄：

a二1二a丄=1,且丄二a=1;

aaaa

v）1二a=aa;

vi）（k0（I：

a））=kQ（d）=（a）k=alk=akl=（kl）Qa;

vii）（kI）'[a=ak丨=aka'二（ka）二（la）;

viii）kQ（a二b）=kQ（ab）=（ab）k=akbk=（k：

a）二（kQb）.

所以，所给集合R■构成线性空间。

4在线性空间中，证明：

1）kO=02）k（：

--）二k：

-k：

。

证1）kO二k（：

：

（一二））二k：

k（Y）二心；k（-1）：

=（k（-k））：

=0：

=0。

5证明：

在实函数空间中，1,cos2t,cos2t式线性相关的。

证因为cos2t=2cos2t-1，所以1,cos2t,cos2t式线性相关的。

6如果fi（x）,f2（x）,f3（x）是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互

素，那么他们线性无关。

证若有不全为零的数k2,k3使kfi（x）k2f2（x）k3f3（x）=0,

不妨设ki厂0,则fi（x）=-邑f2（x）—'f3（x），这说明f2（x）,f3（x）的公因式也是fi（x）k1k1

的因式，即fi（X）,f2（X）,f3（X）有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以fl（x）,f2（X）,f3（X）线性无关。

7在P4中，求向量•在基；1,23；4下的坐标。

设

1）；i=（1,W）,；2=（1,1,-1,一1）,；3=（1，-1,1一1），；4=（1,一1,一1,1）,=（1,2,1,1）；

2）；1=（1,1,0,1）,；2=（2,1,3,1）「3=（1,1,0,0）,；4=（0,1,-1,-1）,=（0,0,0,1）。

「a+b+c+d=1

ab「c「d=2

解1）设有线性关系二ar•b；2•c；3d；4，则，

|a-b+c_d=1

a「b「cd=1

s5111

可得在基；1,；2,；3,；4下的坐标为a,b,c,d=

4444

'a+2b+c=0

t尸a+b+c+d=0

2）设有线性关系1「b；2*c；3*d；4，则，

3b—d=0

ab-d=1

可得在基；1,；2,；3,；4下的坐标为a=1,b=0,c=T,d=0。

上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3）第3题8）中的空间；4）实数域上由矩阵A的全体实

解1）Pnn的基是「Eij}（i,j=1,2,...,n）,且dim（Pnn）二n2。

'F11，…,F1n,F22,…，F2n,…,Fnn

是对称矩阵所成线性空间Mn的一组基，所以Mn是

维的。

ii）令Gj

，即a0=-aji=1,（^-j）,其余元素均为零,则

{G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn4,n}是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基，所以它是

n（n-1）维的。

iii）{En,...,Em,E22,...,E2n,...,Enn}是上三角阵所成线性空间的一组基，所以它是n（n1）维的。

3）任一不等于1的正实数都是线性无关的向量，例如取2,且对于任一正实数a,可经2线性

表出，即.（log2a）2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。

9.在P4中,求由基軌,到基n1?

12?

13^4的过渡矩阵,并求向量芒在所指基下的

坐标。

设

色=（1,0,0,0八佃=（2,1,-1,1）

二X1,X2,X3,X4在1,2,3,4下的坐标;

-=11,0,0,0在；1,；2,；3,；4,下的坐标;

二1,0,0,-1在1,2,3,4下的坐标;

这里A即为所求由基；1,；2,；3,；4,到1,2,3,4的过渡矩阵，将上式两边右乘得二'，

（；1,；2,；3,；4）=（1,2,3,4）丄‘，

于是

所以在基下的坐标为

-1

11、

27」

2令e1=（1,0,0,0）,e2=（0,1,0,0）（3=（0,0,1,0）（4=（0,0,0,1）则

-1

（1,2,3,4）

将（e1,e2,e3,e4）=

=（e1,e2,e3,e4）

=（©,e2,e3,e4）

-1

=（e1,e2,e3,e4）A,

-2

=（e1,e2,e3,e4）B,

（；1,；2,；3,；4）A'代入上式，得

（1,2,3,4）=（；1,2；3,；4）AB,

这里

乜

AJ=

<13

且A，B即为所求由基

A’Bn

0」

13/

；2,；3,；4,到基1,2,3,4的过渡矩阵，进而有

=1,0,0,0=（ei,®2,e3，e4）

-1

1丿

-4_

-1

—1

-1

）

3ei,e2,e3,e4同2，同理可得

则所求由

；3,；4到1,2,

3,4

的过渡矩阵为

'、、4

丄

4丿

再令=a

1+b2+c3

+d4，即

标。

4下有相同的坐

1、

J-

=（a,b,c,d）

宀丿

1°

-1

-1」

1,0,0,0二a,b,c,d

由上式可解得在下的坐标为1,2,3,4下的坐标为

f13\

（a,b,c,d）=-2,-—-4,-—=a^

<22丿

10.继第9题1）求一非零向量,它在基；「；2,；3,；4与1,2,3,

解设在两基下的坐标为（X-Xz’XsXq），则

=（口1?

13?

4）

'=（；1，；2,；3,；4）

又因为

（1,2,3,4）

=（"1,；2,；3,；4）

-1

3」

=（；1,

；2,；3,；4）A，

所以

ZX1、

二（A-E）

"丿

1X4」

=0。

=0,且

A—E

于是只要令x4二-c,就有

x-i2x23x3二6c

-x1x2x3=c,

为+x3=2c

解此方程组得

Xi,X2,X3,X4=c,c,c,-c（c为任意非零常数），

取c为某个非零常数c0,则所求为

—c^-1'Co二2''c°3_Co4。

11.证明：

实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。

证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。

12.设V1,V2都是线性空间V的子空间，且Vi二V2，证明：

如果Vi的维数与V2的维数相

等，那么V^V2。

证设dim（Vi）=r，则由基的扩充定理，可找到Vi的一组基ai’a?

••…a「，，因ViV?

，

且它们的唯数相等，故ai,a2,••…ar,，也是V2的一组基，所以Vi=V2。

i3.APnn。

i）证明：

全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）;

2）当A=E时，求C（A）;

3）当A=2时，求C（A）的维数和一组基。

证i）设与A可交换的矩阵的集合记为C（A）。

若B,D属于C（A），可得

A（B+D）=AB+AD=BA+DA=（B+D）A,

故B+DC（A）。

若k是一数，BC（A），可得

A（kB）=k（AB）=k（BA）=（kB）A,

所以kBC（A）。

故C（A）构成Pnn子空间。

2）当A=E时，C（A）=Pnn。

3）设与A可交换的矩阵为B=（bj）,则B只能是对角矩阵，故维数为n,Eii,E22,…Enn即为它的一组基。

i4.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。

解若记

zi00x

■z000x

0i0

000

=E+S,

v00h

<3ib

并设B=

■0

SB=

0ai

与A可交换，即AB=BA

贝USB=BS且由

3b■b1b2

rabc

‘000、

‘3ccc、

BS=

aibiCi

000

3CiCiCi，

^2b2C2j

<311」

C2C2/

可是c1=c=0,

1a2

c23aaia2

—3c?

'3a+ar+a2

3b+d+b2

—3c?

+3a=—ai—a?

c2=3b+0+b2

该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。

取自由未知量a,c2，并

令b=1，其余为0，得c2=3,a=3;

令ai=1，其余为0，得c?

=3,a=…;

令bi=1，其余为0，得C2=1,a=1;

令a?

=1，其余为0，得C2=0,a=;

令b2=1，其余为0，得c2=1,a=1;

则与A可交换的矩阵为

'ab0

B=a1D0

&2b2c2；

（1

310

-00

000

100

卫03』

000

其中，a，C2可经b,ai,a2,bi,

（1、

q00'

-00

010

000

e0b

100

表示,所求子空间的一组基为

*100'

000

1°1b

且维数为5。

15.如果c1a-c2^'C3=0,且c1c^-0，证明：

La,：

=L-。

证由C1C3=0，知。

=0,所以a可一:

，经线性表出，即:

/■可经一:

，线性表出,

同理，'-,也可经:

线性表出。

故Laj=L■-,。

16.

在P4中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。

设

解1）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组a1,a2,a4,因此a1,a2,a4为

La1,a2,a3,a4的一组基，且的维数是3。

2）a「a2,a3,a4的一个极大线性无关组为a「a2，故a,a2是La1,a2,a3,a4的

一组基，且维数为2。

17.在P4中，由齐次方程组

3x12x2-5x34x4=0

3%_x2+3x3_3x4=0+5x2T3x3+11^=0

确定的解空间的基与维数。

解对系数矩阵作行初等变换，有

-5

4、

-5

4、

勺

-5

4、

-1

-3

-7

-3

-7

-13

11>

—8

7」

1°

0」

所以解空间的维数是2,它的一组基为

‘‘18加‘2T冲\

a1=——，一,1,0Ia：

=一，一,0,1|。

I93丿<93）

18.求由向量：

-1^2生成的子空间与由向量1,匕生成的子空间的交的基与维数，设

“:

內=（1,2,1,0）卩1=（2,-1,0,1）

1）」」-;

2）丿

严1=（2,5,—6,—5）爲=（-1,Z-7,3）°

解1）设所求交向量

则有

Ia1=1,2,一12

3Ma2=（3,1,1,1）

a3=（—1,0,1,—1）

=k1：

-k2j.2=h已•l2场2，

k1：

1k2：

2-h：

1丨2：

2=0,

k_k2_2h_l2=o

2匕+k2十h十l2=0

«k2—3I20

-h-712=0

可算得

-1

-2

-1

-2

=0,

且

-3

-1

-7

=0,

故交的维数也为

1，

1。

因此方程组的解空间维数为

任取一非零解（k-k?

l1,l2）=

（-1,4,-.3，1），得一组基

4：

2=（-5,2,3,4），

所以它们的交L（）是一维的,

就是其一组基。

2）设所求交向量

=k1:

-1k22=hrl2：

2，

k1k2

则有k1」2,

半2-h“2=0

k2-h=0

因方程组的系数行列式不等于0,故方程组只有零解，即=k2=12

-0,从而

交的维数为0。

3）设所求交向量为

”'=k1：

1■k^^l1-1I2：

2，

匕+3k2_k3_2h+l2=0

2k1k?

~'5^~'21?

-0

-k1k2k36I171^0?

-2k1k^k35h-312=0

13-11

-0知解空间是一维的，因此交的维数是1。

令1^1,，可

210-2

—1117

-21-1-3

得12=0，因此交向量二山^■丨2"2='1就是一组基。

19.设V与V分别是齐次方程组x1x2...xn=0^=X2二…二Xn」二Xn的解空间，证明：

pn=y㊉V2.

证由于x1x2...xn=0的解空间是你n—1维的，其基为：

1=（-1,1,0，…,0）,：

2=（-1,0,1，…,0）,...,：

n」=（-1,0,0，…,1）而由X1=X2二…二Xn」二Xn知其解空间是1维的，令Xn-1,则其基为］=（1,1,...,1）.且：

-1^-2,.../nJ/-即为pn的一组基，从而pn=y+V2.又dim（Pn）=dim（V1）+dim（V2），故Pn=y^V2.。

20.证明：

如果v^V1V2,V^V1^V12,那么Vr'Vn二V12二V2。

证由题设知v=v11v12v2,因为v二v2,所以

dim（V^dim（V1）dim（v2）,又因为V^V1^V12,所以

dim（V1^dim（v11）dim（v12）,

故dim（v）=dim（v11）

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