最新高二下学期期末模拟数学试题.docx
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最新高二下学期期末模拟数学试题
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知集合，，则 ▲．
2．函数的定义域为 ▲．
3．命题“，”的否定是 ▲．
4.已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为，，，则这名学生不乘汽车的概率为 ▲．
5．用系统抽样的方法从某校名高二学生中抽取容量为的样本，将名学生随机编
号为～，按编号顺序平均分为个组（～号，～号，……，～号），
While
EndWhile
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（第6题）
若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为，则第组抽取的号
码为 ▲．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的的值是 ▲．
7．若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为 ▲．
8．已知实数满足，则的取值范围是 ▲．
9．为了了解某校高二年级名男生的健康状况，随机抽测了其中名学生的身高（单位：
），所得数据均在区间上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在以上的男生人数为 ▲．
10．已知某市2016年6月26日到6月30日的最高气温依次为，，，，，那么这天最高气温的方差为 ▲．（单位：
）
11.已知是定义在上且周期为4的函数，在区间上，，其中为实数，若，则 ▲．
12.若函数对任意都有，则实数的取值范围是 ▲．
13．在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，则tanA的最大值为 ▲．
14．已知，函数若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ▲．
二、解答题（本大题共8小题，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.（本小题满分14分）
U=R，函数的定义域为A，函数的值域为B.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
16．本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为．
（1）求cos2α的值；y
Q
P
（2）求2α－β的值.
x
O
（第16题图）
17．（本小题满分14分）设函数f（x）＝，a，b为正实数．
（1）用分析法证明：
f＋f≤；
（2）设a＋b>4，求证：
af（b），bf（a）中至少有一个大于.
18．（本小题满分16分）
某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于万元且不多于万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额（单位：
万元）和投资收益（单位：
万元）近似满足函数，奖励方案满足如下两个标准：
①为单调递增函数，②，其中．
（1）若，试判断函数是否符合奖励方案，并说明理由；
（2）若函数符合奖励方案，求实数的最小值．
19.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为.已知过点M（，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试问x轴上是否存在定点N，使得·为定值．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分16分）
已知函数，，其中，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：
存在唯一的正实数，使函数在处取得极小值；
（3）若，且函数有个互不相同的零点，求实数的取值范围．
高二数学（文科）答案
一、填空题
1． 2． 3．， 4．5．
6． 7． 8． 9．10．
11．612．13.14.
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.
（1）由，解得x<1或x>3，所以=[1，3]，........2分
又函数在区间上单调递减，所以，即，.....4分
当时，，所以=[，3]........6分
（2）首先要求，.......8分
而“”是“”的必要不充分条件，所以，即[1，3]，........10分
从而，.......12分
解得.......14分
注意：
不考虑端点扣2分。
16．解：
（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，
所以cosα＝，………………………………2分
所以cos2α＝2cos2α－1＝．………………………………4分
（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．………………………………6分
又因为β为锐角，所以cosβ＝．………………………………8分
因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，
因此sin2α＝2sinαcosα＝，……………………………10分
所以sin（2α－β）＝×－×＝．……………………………12分
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
又cos2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．…………………………………14分
17.证明：
（1）欲证f＋f≤，
即证＋≤，…………………2分
只要证≤.…………………4分
因为a，b为正实数，只要证3（a2＋b2＋4ab）≤2（2a2＋2b2＋5ab），
即a2＋b2≥2ab，…………………6分
因为a2＋b2≥2ab显然成立，故原不等式成立．…………………7分
（2）假设af（b）＝≤，bf（a）＝≤，…………………9分
由于a，b为正实数，所以2＋b≥2a，2＋a≥2b，
两式相加得：
4＋a＋b≥2a＋2b，…………………11分
即a＋b≤4，与条件a＋b>4矛盾，…………………13分
故af（b），bf（a）中至少有一个大于.…………………14分
18．解：
（1）∵，
∴，
∴函数是区间上的单调递增函数，满足标准①，…………2分
当时，，不满足标准②，
综上所述：
不符合奖励方案．…………4分
（2）∵函数符合奖励标准，
∴，即，
∴，…………6分
∴设，，
∴，
令，∴，
增
极大值
减
…………8分
∴的极大值是，且为最大值，
∴，…………10分
又∵函数，，
∴，∴函数在区间上单调递增，满足标准①，
∵，∴，
综上所述：
实数的最小值是．…………12分
19．解
（1）离心率e＝＝，所以c＝a，b＝＝a，………………………2分
所以椭圆C的方程为＋＝1．
因为椭圆C经过点P（，），所以＋＝1，
所以b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．……………………………4分
（2）解法一设N（n，0），当l斜率不存在时，A（，y），B（，－y），则y2＝1－＝，
则⋅＝（－n）2－y2＝（－n）2－＝n2－n－，…………………………6分
当l经过左､右顶点时，⋅＝（－2－n）（2－n）＝n2－4．
令n2－n－＝n2－4，得n＝4．………………………………8分
下面证明当N为（4，0）时，对斜率为k的直线l：
y＝k（x－），恒有⋅＝12．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y，得（4k2＋1）x2－k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，…………………………………10分
所以⋅＝（x1－4）（x2－4）＋y1y2
＝（x1－4）（x2－4）＋k2（x1－）（x2－）
＝（k2＋1）x1x2－（4＋k2）（x1＋x2）＋16＋k2…………………12分
＝（k2＋1）－（4＋k2）＋16＋k2
＝＋16
＝＋16＝12．
所以在x轴上存在定点N（4，0），使得⋅为定值．……………………16分
解法二
设N（n，0），当直线l斜率存在时，设l：
y＝k（x－），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y，得（4k2＋1）x2－k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，…………………………………6分
所以⋅＝（x1－n）（x2－n）＋y1y2＝（x1－n）（x2－n）＋k2（x1－）（x2－）
＝（k2＋1）x1x2－（n＋k2）（x1＋x2）＋n2＋k2
＝（k2＋1）－（n＋k2）＋n2＋k2…………………………8分
＝＋n2
＝＋n2．……………………………12分
若⋅为常数，则为常数，设＝λ，λ为常数，
则（－n－）k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立，
所以所以n＝4，λ＝－4，
此时⋅＝12．…………………………………14分
当直线l斜率不存在时，A（，y），B（，－y），则y2＝1－＝，
所以⋅＝（－4）2－y2＝（－4）2－＝12，
所以在x轴上存在定点N（4，0），使得⋅为定值．………………………16分
20．解：
∵，
∴，
（1）∵，
∴，，…………2分
∴切点为，即，切线的斜率为，即切线的斜率为，
∴函数在处的切线方程为，
即．…………4分
（2）令，得，
设，，
∴，∴在区间上单调递增，
∵，，
∴，且在区间上的图象不间断，
∴存在唯一的，使，…………6分
减
极小
增
∴存在唯一的，使函数在处取得极小值．…………8分
（3）∵，∴，， ∴，
由
（2）可得：
函数的极小值为，且，
∴，
设，，∴，
∴当时，，当时，，…………10分
由
（2）可得：
函数在区间上单调递增，
（ⅰ）当时，
∵，∴，∴，
∴，
∴当，，无零点， …………12分
（ⅱ）当时，
∵，∴，∴，
∵在区间上单调递减，
∴，
∴，
∵，其中，
∴，且函数在区间上单调递减，图象不间断，
∴在区间上上有唯一的零点，
又∵，，
设，，∴，
∵，∴在区间上单调递增，
∴，∴在区间上单调递增，
∴，即，
又∵，
∵，且函数在区间上单调递增，图象不间断，
∴在区间上上有唯一的零点，
综上所述：
函数有个互不相同的零点时，实数的取值范围为．……16分
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