届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学理试题Word版含答案.docx
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届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学理试题Word版含答案
2021届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试
数学（理）试题
第I卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A＝{1，3}，B＝{3，9}，则AB＝．
答案：
{1，3，9}
2．如果复数（bR）的实部与虚部互为相反数，则b等于．
答案：
1
3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为．
次数
1
2
3
4
5
得分
33
30
27
29
31
答案：
4
4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为．
答案：
5．根据如图所示的伪代码，当输入的a，b分别为2，3时，最后输出的b的值为．
答案：
2
6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为．
答案：
7．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1—MBC1的体积为．
答案：
4
8．已知等差数列的前n项和为，若，，则的值为．
答案：
﹣5
9．若是定义在R上的偶函数，当[0，）时，，则＝．
答案：
10．已知在△ABC中，AC＝1，BC＝3，若O是该三角形内的一点，满足＝0，则＝．
答案：
4
11．已知，则＝．
答案：
1或
12．已知点A、B是圆O：
上任意两点，且满足AB＝．点P是圆C：
（x＋4）2＋（y＋3）2＝4上任意一点，则的取值范围是．
答案：
[4，16]
13．设实数a≥1，若不等式，对任意的实数[1，3]恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是．
答案：
[1，2][，）
14．在△ABC中，若＝3，则sinA的最大值为．
答案：
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，点P是棱AC的中点．
（1）求证：
AB1∥平面PBC1；
（2）求证：
平面PBC1⊥平面AA1C1C．
16．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x[0，π]时，试求函数的最大值，并写出取得最大值时自变量x的值．
17．（本小题满分14分）
已知椭圆C：
（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：
x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求实数k的值．
18．（本小题满分16分）
某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）
（1）若v＝4，AB＝2km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．
19．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）设，求函数的单调增区间；
（2）设，求证：
存在唯一的，使得函数的图像在点A（，）处的切线l与函数的图像也相切；
（3）求证：
对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．
20．（本小题满分16分）
等差数列的前n项和为，数列满足：
，，当n≥3时，＞，且，，成等比数列，n．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：
数列中的项都在数列中；
（3）将数列、的项按照：
当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：
，，，，，，，…这个新数列的前n和为，试求的表达式．
第II卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：
矩阵与变换
设变换T是按逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M．
（1）求点P（1，1）在T作用下的点P′的坐标；
（2）求曲线C：
y＝x2在变换T的作用下所得到的曲线C′的方程．
B．选修4—4：
坐标系与参数方程
己知直线的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（a＞0，为参数），点P是圆C上的任意点，若点P到直线的距离的最大值为，求实数a的值．
解：
由直线的参数方程为（t为参数）可得
由圆C的参数方程为可得圆的标准方程为
求得圆心O到直线的距离为，所以a＋＝，求得a的值为1．
C．选修4—5：
不等式选讲
已知x、y、z均为正数，求证：
．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X表示取球终止时取球的总次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．
23．（本小题满分10分）
设集合M＝{﹣1，0，1}，集合An＝，集合An中满足条件“1≤≤m”的元素个数记为．
（1）求和的值；
（2）当m＜n时，求证：
．
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