椭圆及其标准方程.docx

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椭圆及其标准方程

2。

2.1椭圆及其标准方程

（1）

教学目标:

重点：

椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程。

难点：

椭圆标准方程的建立和推导.

知识点:

椭圆定义及标准方程．

能力点：

通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力;通过对椭圆标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.

教育点:

通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣,激发学生的学习热情。

自主探究点：

1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等）,引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义;

2.探讨椭圆标准方程的最简形式,并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法．

考试点：

椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题

易错易混点：

在用椭圆标准方程时，　学生一般在“焦点的位置”上容易出错．

拓展点：

如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程。

教具准备多媒体课件和三角板

课堂模式学案导学

一、引入新课

【创设情景】

材料1:

对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆。

材料2：

2012年6月１6日下午1８时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：

“神州九号"飞船的运行轨道是什么?

多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．

【设计意图】利用多媒体,展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实,激发学生的学习兴趣,培养爱国思想。

思考１：

自然界处处存在着椭圆，我们如何用自己的双手画出椭圆呢？

思考２:

在圆的学习中我们知道，平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆。

那么,到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？

【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆,学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆．

学生分组做试验，教师同时做好指导:

按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆,让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究。

（提醒学生：

作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）

思考：

点运动时，移动了吗?

点按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？

1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件?

其轨迹如何？

２．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？

3．当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,

师生共同总结规律:

当时,点的轨迹为椭圆;

　　　　　当时,点的轨迹为线段；

当时,点的轨迹不存在。

【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义,而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会,让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．

二、探究新知

（一）归纳定义

通过师生共同总结归纳，形成椭圆概念

椭圆定义:

在平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.

这两个定点、叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

注意：

“和",“常数”及“常数”的范围（常数大于）

思考:

焦点为的椭圆上任一点，有什么性质？

设椭圆上任一点为，则有

【设计意图】通过学生观察、思考、讨论,概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程,加深理解,提高概括能力和数学语言的表达能力.

（二）椭圆标准方程的推导

复习提问求曲线方程的一般步骤:

（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结）

（１）建系、设点；（２）写出点的集合;（3）列式;（４）化简；（5）证明.

思考：

如何建系,才能使求出的方程最简呢?

由学生自主提出建立坐标系的不同方法,教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程,进行比较.

常遇到的建系方法如下:

（供教师参考）

方案一：

把、建在轴上，以、的中点为原点；

方案二：

把、建在轴上,以为原点；

方案三：

把、建在轴上，以、与轴的左交点为原点；

方案四：

把、建在轴上，以、的中点为原点；

【设计意图】积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．

通过师生分析对比，选择方案一比较简洁：

（师生共同求解椭圆方程）

（1）建系：

以所在直线为x轴,以线段的垂直

平分线为y轴，建立直角坐标系.

设点：

设是椭圆上任意一点，为了使的

坐标简单及化简过程不那么繁杂,设,则

设与两定点的距离的和等于

（２）写点的集合：

由椭圆的定义，椭圆就是集合

（３）列式：

　∴

（４）化简：

教师引导学生思考：

我们怎么化简两个带根式的式子？

对于本式是直接平方好还是移项后再平方好呢？

（通过分析对比，最后选择移项平方）

两边平方，得:

即

两边平方，得：

整理,得：

两边同除以，得①

由椭圆的定义知,所以

注：

教师板书化简过程，让学生进一步明确标准方程的由来,体会化简的技巧.

思考1:

请同学观察右图，你能从中找出表示的线段吗？

由图可知，

令即,则方程可简化为:

整理成：

　②

【设计意图】通过思考可以让学生进一步明确的几何意义,加深对椭圆定义及标准方程的理解.

（5）证明：

从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②,以方程②的解为坐标的点到椭圆的两个焦点的距离之和为，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系知,方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.

方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上,焦点是

思考2:

如果以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,

建立直角坐标系,焦点是,椭圆的方程又如何呢？

如果不想重复上述繁琐的化简过程,我们将如何做呢？

分析：

由　且

变为:

　即变量与互换位置;所以

变为

即：

椭圆的标准方程

注：

椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。

【设计意图】椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试,教师跟踪指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导,让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算。

三、理解新知

1．椭圆的标准方程：

（1）　　焦点在轴上，焦点是

（2）　焦点在轴上，焦点是

2.归纳概括，椭圆方程特征

（1）椭圆标准方程形式:

左边是两个分式的平方和，右边是1；

（2）不可少,体会的几何意义;

（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;

（4）椭圆标准方程中三个参数关系：

，最大，大小不定.

【设计意图】通过将两个标准方程的总结加深学生对椭圆标准方程的理解掌握，特别是焦点位置，三个参数的关系，为求解椭圆的相关问题打下基础．

四、运用新知

题型一:

求椭圆标准方程

例1。

已知椭圆的两个两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点,求它的标准方程

分析：

要求椭圆的标准方程，关键先确定参数,本题已知，结合及标准方程，进一步确定．

教师板书例题求解过程：

法１：

因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为

由椭圆定义知：

所以:

　又因为　所以

因此，所求椭圆的标准方程为

　　思考与探究:

是否还有其他方法解决此类型问题

　法2:

因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为

因为椭圆经过点且　　所以:

所以解方程得:

　　因此,所求椭圆的标准方程为

注：

本题多以方法二为主,如:

已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆上一点到两焦点、的距离的和等于，求椭圆的标准方程及焦点坐标。

本题再用方法一解决显着比较麻烦了。

方法小结:

求椭圆标准方程的步骤

（1）“定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上;

（２）“定量”即确定的具体数值；

（3）求椭圆标准方程的常用方法:

待定系数法及定义法。

变式训练１：

已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程．

分析：

通过条件看不出焦点的位置，因此在解决问题前应先考虑焦点位置的两种情况，然后带入两点的坐标求参数即可．

方法1：

（１）若焦点在轴上,设椭圆的标准方程为,由已知条件可得

解得,即所求椭圆的标准方程为;

（2）若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为,由已知条件可得

，解得，即，且,与题设矛盾,舍去

综上，所求椭圆的标准方程为。

方法２:

分析：

结合方法1的两种情况，影响最后结果的只是，所以我们可以设,求出来具体值后在比较大小，进一步确定表达式，这样可以减少讨论的复杂性。

设椭圆的一般方程为.将两点带入,得

，解得即所求椭圆的标准方程为。

小结：

在对椭圆定义充分理解的基础上，显然方法2解决问题要比方法１要简单.

【设计意图】培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯，同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的的解题思路．本题突出椭圆定义的应用和待定系数法的解题方法.

题型二:

椭圆标准方程的识别

例２。

当时,指出方程表示的曲线．

分析：

要想确定表示的曲线，首先应确定的取值范围.

教师板书例题求解过程：

由,则。

（1）当，即时,方程表示焦点在轴上的椭圆;

（２）当，即时，方程表示圆;

（3）当，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆.

方法小结：

根据椭圆方程的两种基本形式可知，焦点在哪一个轴上，那一个变量就对应的分母大,即：

对应的分母大,焦点就在轴上；对应的分母大，焦点就在轴上。

当两变量的分母相同时就变成圆了。

变式训练２:

已知曲线:

则“”是“曲线表示焦点在轴上的椭圆”的什么条件?

分析:

将曲线的方程化为:

　,若曲线是焦点在轴的椭圆,则，即

;故“"是“曲线表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件。

注:

在解决此类问题前应将先化成标准式。

【设计意图】通过此类型问题进一步加深学生对椭圆定义及标准方程的理解，强调椭圆焦点位置的决定因素,对于含参问题一直是学生的难点，通过此题可以让学生进一步体会参数问题的解决方法.

题型三：

椭圆定义及其应用

例３：

已知为椭圆上一点，、为椭圆的两焦点,，求的面积.

分析:

本题解决关于椭圆和三角形问题，通常利用椭圆的定义,结合正余弦定理等知识求解．

教师板书例题求解过程：

设，由，所以,

则，又由，则

所以,，即。

则

变式训练3:

已知椭圆，、为椭圆的两焦点，过的直线与椭圆交于两点,求的周长。

分析：

因为

则的周长为

即的周长为．

思考：

当直线过焦点时，随着位置的该变,是否的周长也在跟着改变呢？

分析：

由椭圆的定义可得的周长是个定值，即为.

【设计意图】通过题型三，一是加强学生对椭圆定义和标准方程的理解,二是加强了椭圆与三角函数的联系.并且通过思考进一步明确三角形一边过焦点时周长为定值的情况。

五、课堂小结　

1。

知识:

本节课学习了椭圆的定义及标准方程，应注意以下几点：

（1）椭圆的定义中皆为正值，,其中是椭圆焦距;

（２）要注意特征量的几何意义，它们确定椭圆的形状.

（3）焦点的位置由椭圆的标准方程中的分母大小或焦点坐标来决定;求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确定代入哪个方程解题.

２．思想：

曲线与方程的轨迹思想，方程的思想、分类讨论的思想、待定系数法。

在归纳总结的基础上,学生完成下表

标准方程

图形

关系

焦点坐标

焦点位置

在轴上

在轴上

【设计意图】通过椭圆的教学,加强