精选江苏专用版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形47解三角形的综合应用教师用书理苏教版.docx

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精选江苏专用版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形47解三角形的综合应用教师用书理苏教版

第四章三角函数、解三角形4.7解三角形的综合应用教师用书理苏教版

1.仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角（如图①）.

2.方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.

3.方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）.

【知识拓展】

1.三角形的面积公式

S＝（p＝），

S＝＝rp（R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝）.

2.坡度（又称坡比）：

坡面的垂直高度与水平长度之比.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（　×　）

（2）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，].（　×　）

（3）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.（　√　）

（4）方位角大小的范围是[0，2π），方向角大小的范围一般是[0，）.（　√　）

1.（教材改编）

如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.

答案　50

解析　由正弦定理得＝，

又∵B＝30°，

∴AB＝＝＝50（m）.

2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.

答案　70

解析　设两船之间的距离为d，

则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，

∴d＝70，即两船相距70nmile.

3.（教材改编）海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________nmile.

答案　5

解析　如图，在△ABC中，

AB＝10，A＝60°，B＝75°，

∴＝，

∴BC＝5.

4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.

答案　a

解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，又在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.

5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________km/h.

答案　60°　20

解析　如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.

题型一　求距离、高度问题

例1　

（1）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60m，则河流的宽度BC＝________m.

（2）如图，A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，则山高CD＝________m.

答案　

（1）120（－1）　

（2）800（＋1）

解析　

（1）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60（m）.

在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，

所以BD＝AD·tan15°＝60（2－）（m）.

所以BC＝CD－BD＝60－60（2－）

＝120（－1）（m）.

（2）在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.

由＝，得AD＝＝

＝800（＋1）（m）.

∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，

∴CD＝AD＝800（＋1）m.

思维升华　求距离、高度问题应注意

（1）理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.

（2）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.

（3）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

（1）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.

（2）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为________m.

答案　

（1）30　

（2）30＋30

解析　

（1）如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，

∴B＝45°，AC＝60km，

由正弦定理＝，

∴BC＝30km.

（2）在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，

sin15°＝sin（45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝×－×＝，

由正弦定理得＝，

∴PB＝＝30（＋），

∴树的高度为PB·sin45°＝30（＋）×

＝（30＋30）（m）.

题型二　求角度问题

例2　甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值.（结果保留根号，无需求近似值）

解　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，

由余弦定理，得

（28t）2＝81＋（20t）2－2×9×20t×（－），

128t2－60t－27＝0，

解得t＝或t＝－（舍去），

所以AC＝21（海里），BC＝15（海里），

根据正弦定理，得

sin∠BAC＝＝，

cos∠BAC＝＝.

又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，

所以θ＝45°－∠BAC，

sinθ＝sin（45°－∠BAC）

＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC

＝.

思维升华　解决测量角度问题的注意事项

（1）首先应明确方位角或方向角的含义；

（2）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；

（3）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.

（1）（2016·苏州模拟）如图所示，位于A处的信息中心获悉：

在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________.

答案　

解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，

由余弦定理得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20.

由正弦定理，得＝

⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.

由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.

由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos（∠ACB＋30°）

＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.

题型三　三角形与三角函数的综合问题

例3　（2016·扬州调研）在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1.

（1）求C的值；

（2）若A＝15°，AB＝，求△ABC的周长.

解　

（1）方法一　因为tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，

因为在斜三角形ABC中，1－tanAtanB≠0，

所以tan（A＋B）＝＝1，

即tan（180°－C）＝1，即tanC＝－1，

因为0°

方法二　由tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，

得＋＋＝1，

化简得sinAcosB＋sinBcosA＋sinAsinB

＝cosAcosB，

即sin（A＋B）＝cos（A＋B），

所以sinC＝－cosC，

因为斜三角形ABC，所以C＝135°.

（2）在△ABC中，A＝15°，C＝135°，则B＝180°－A－C＝30°.

由正弦定理＝＝得

＝＝＝2，

故BC＝2sin15°＝2sin（45°－30°）

＝2（sin45°cos30°－cos45°sin30°）＝，

CA＝2sin30°＝1.

所以△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝＋＋1

＝.

思维升华　三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.

　（2016·南京学情调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝bcosA.

（1）求的值；

（2）若sinA＝，求sin（C－）的值.

解　

（1）方法一　由acosB＝bcosA，

结合正弦定理得sinAcosB＝sinBcosA，

即sin（A－B）＝0.

因为A，B∈（0，π），所以A－B∈（－π，π），

所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b，即＝1.

方法二　由acosB＝bcosA，

结合余弦定理得a·＝b·，

即2a2＝2b2，即＝1.

（2）因为sinA＝，由

（1）知A＝B，

因此A为锐角，所以cosA＝.

所以sinC＝sin（π－2A）＝sin2A＝2sinAcosA＝，

cosC＝cos（π－2A）＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－.

所以sin（C－）＝sinCcos－cosCsin

＝×＋×＝.

10.函数思想在解三角形中的应用

典例　（14分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

思想方法指导　已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.

规范解答

解　

（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，[1分]

则S＝

＝＝.[3分]

故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.[6分]

即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.[7分]

（2）设小艇与轮船在B处相遇.

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos（90°－30°），

故v2＝900－＋.[10分]

∵0

∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.

又t＝时，v＝30，

故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.[13分]

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.[14分]

1.（2017·苏北四市联考）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里.

答案　10

解析　如图所示，易知，

在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，

根据正弦定理得＝，

解得BC＝10（海里）.

2.在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.

答案　200（＋1）

解析　

过点A作AH⊥BC于点H，

由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，

则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200（m）.

故两船距离BC＝BH＋CH＝200（＋1）（m）.

3.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.

答案　10

解析　如图，OM＝AOtan45°＝30（m），

ON＝AOtan30°＝30×

＝10（m），

在△MON中，由余弦定理得，

MN＝

＝＝10（m）.

4.（2016·南京模拟）如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.

答案　45°

解析　依题意可得AD＝20（m），AC＝30（m），

又CD＝50（m），所以在△ACD中，

由余弦定理得cos∠CAD＝

＝＝＝，

又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.

答案　15

解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.

由正弦定理得＝，

所以BC＝15.

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.

6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以________（米/秒）的速度匀速升旗.

答案　0.6

解析　在△BCD中，

∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10（米）.

由正弦定理，得BC＝＝20（米）.

在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30（米）.

所以升旗速度v＝＝＝0.6（米/秒）.

7.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAD＝π，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为________米.

答案　350

解析　在△ABC中，AB＝BC＝400米，∠ABC＝，

∴AC＝AB＝400米，∠BAC＝.

∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝－＝.

∴在△CAD中，由余弦定理，得

CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD

＝4002＋2502－2·400·250·cos＝122500.

∴CD＝350米.

8.如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是______nmile/h.

答案　32

解析　设航速为vnmile/h，

在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，

由正弦定理得＝，∴v＝32.

9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.

答案　50

解析　如图，连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50.

*10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________.

答案　（1，]

解析　x＝＝＝sinA＋cosA

＝sin.又A∈，

∴sin＜sin≤sin，即x∈（1，].

11.要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度.

解　

如图，

设电视塔AB高为xm，

则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.

在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，

则BD＝x.

在△BDC中，由余弦定理得，

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，

即（x）2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，

解得x＝40，所以电视塔高为40m.

12.（2015·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－.

（1）求a和sinC的值；

（2）求cos的值.

解　

（1）在△ABC中，由cosA＝－，

可得sinA＝.

由S△ABC＝bcsinA＝3，

得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.

由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.

由＝，得sinC＝.

（2）cos＝cos2A·cos－sin2A·sin

＝（2cos2A－1）－×2sinA·cosA＝.

*13.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问：

缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？

并求出所需时间.

解　如图，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船（在D点），则CD＝10t海里，BD＝10t海里，

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA

＝（－1）2＋22－2·（－1）·2·cos120°

＝6，

解得BC＝.

又＝，

∴sin∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°，故B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理，得＝，

∴sin∠BCD＝

＝＝.

∴∠BCD＝30°，

∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，

解得t＝小时≈15分钟.

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.

14.（教材改编）如图，有两条相交成60°角的直路X′X，Y′Y，交点是O，甲、乙两人分别在OX、OY上，甲的起始位置离点O3km，乙的起始位置离点O1km.后来甲沿XX′的方向，乙沿YY′的方向，同时以4km/h的速度步行.

（1）求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；

（2）设th后甲、乙两人的距离为d（t），写出d（t）的表达式.当t为何值时，甲、乙两人之间的距离最短？

并求出两人之间的最短距离.

解　

（1）由余弦定理，得起初两人的距离为

＝（km）.

（2）设th后两人的距离为d（t），则

当0≤t≤时，

d（t）＝

＝；

当t>时，

d（t）＝

＝；

当

d（t）＝

＝.

所以d（t）＝

＝（t≥0），

当t＝时，两人的距离最短.

答当t＝时，两人的最短距离为km.